1、考研数学（数学三）模拟试卷 432 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )（A）e xetanx（B）（C） ln(1+x)一 sinx（D）2 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在 x 一 x0 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 x0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续， 存在，则 f(x)在 x0 处可导，且3 设 f(x)二阶连续可导，g(x
2、)连续，且，则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 设 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k25 设则 B 等于 ( )（A）P 1P2 一 1A（B） AP1P2 一 1（C） P1AP2 一 1（D）P 2 一 1AP16 设 A 为 3 阶矩阵，=( 1， 2， 3)， 1 为 AX=O 的解， 2 不是 AX=O 的解，又r(AB)minr(A) ，r(B
3、)，则 r(AB)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X).D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不相关8 设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（A）nXN(0，1)（B） nS2 2(n)（C）（D）二、填空题9 =_.10 设 z=z(x，y)由 (x2z 2,ez+2y)=0 确定，其中 连续可偏导，则 =_11 设 y=y(x)由 确定，则 =_12 设 D 是由曲线 与直线 y
4、=x 围成，则=_13 设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=一 1， 2=1 为矩阵 A 的两个特征值，又，则 =_.14 设总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 g(x)二阶可导，且 (I)求常数 a，使得 f(x)在 x=0处连续；()求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性16 讨论方程 lnx=kx 的根的个数17 计算 ，其中 D 是由 x2+y2=4 与 x2+(y+1)2=1 围成的区域18 已知微分方程 作变换确定函数 w=w(u，v)，求经过变换
5、后原方程化成的关于 w，u，v 的微分方程的形式19 设 un(x)满足的和函数20 设 讨论当 a，b 取何值时，方程组 AX=b 无解、有唯一解、有无数个解，有无数个解时求通解20 设 A 为三阶矩阵， 1,2,3 是三维线性无关的向量组，且 A1=1+32，A 2=51一 2， A3=1 一 2+4321 求矩阵 A 的特征值；22 求可逆 Q，使得 Q 一 1AQ 为对角阵22 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 求：23 PX+Y=0)；24 随机变量 Y 的分布函数；25 E(Y)26 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i(i=1，2，n)用
6、这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问 k1，k 2，k n 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 最小?考研数学（数学三）模拟试卷 432 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 令得 f(x)在 x=0 处可导(也连续 )对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，A ，B 不对；令 所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，
7、C 不对；因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f(x)一 f(x0)=f()(xx0)或其中 介于 x0 与 x 之间，两边取极限得存在，即 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=，选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，由 得 g(0)=0，g(0)=一 2故(0， f(0)为 y=f(x)的拐点，选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零f(x)=3(x 2 一 1)=0，得驻点x=1，且由图形可知， x=一 1 为极
8、大点，x=1 为极小点故 f(一 1)=2+k0k一 2，f(1)=一 2+k0k2，选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2 不是 AX=O 的解，所以 ABO，从而 r(AB)1；显然 1， 2不成比例，则 r(B)2，由 r(AB)minr(A) ，r(B)得 r(AB)r(A)，从而 B 不可逆，于是 r(B)3，故 r(B)=2再由 r(AB)r(B)得 r(AB)=1，选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，于是 pXY=0，即 X，Y 不
9、相关，应选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 (x 2 一 z2，e x+2y)=0 两边对 x 求偏导，得，解得11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，所以B=3，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3，由A=B= 123，得 3=一 3，因为A 一 3E 的特征值为一 4，一 2，一 6，所以A 一 3E=一 48因为14 【正确答案】 t(1)【试题解析】 由 X1+X2N(0，2)得 由 X3+X4N(0
10、，2)得且 独立，由 t 分布的定义得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1，16 【正确答案】 情形一：当 k=0 时，方程只有唯一实根 x=1；情形二：当 k0 时，令 f(x)=lnxkx(x0，17 【正确答案】 由对称性得18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 当 b1 时，方程组无解；当 b=1 时，方程组有无数个解，方程组的通解为21 【正确答案】 令 P=(1,2,3)，因为 1,2,3 线性无关，所以 P 可逆因为A=+3，A=5 一 ，A= 一 +43，所以(A 1，4
11、2，A 3)=(1+32，5 1 一2， 1 一 2+43)，从而 A(1,2,3)=(1,2,3)或者得 A 的特征值为 1=一 4， 2=3=422 【正确答案】 因为 AB，所以 B 的特征值为 1=一 4， 2=3=4当 1=一 4 时，由(一 4EB)X=0 得 当 2=3=4 时，由(4EB)X=0 得因为 P 一 1AP=B，所以 P1 一 1P 一 1APP1=P 一 1BP1=取 Q=PP1=(一1+2，5 1+32， 1+33)，则23 【正确答案】 PX+Y=0)=PY=一 X)=PX1) =1 一 PX1)=1 一(1 一 e-)=e-24 【正确答案】 F Y(y)=PYy)=PYy，0X1+PYY，X1=PXy ，0 Y(y)=PX一 y)=1-PX一 y)=y；当一 1Y0 时，F Y(y)=PX1)=e -；当 0y1 时，FY(y)=P0XY)+PX1)=1 一 e-y+e-；当 y1 时，F Y(y)=P0X1)+PX 1)=1于是25 【正确答案】 因为 所以26 【正确答案】 因为 E(Xi)=(i=1；2，n)，所以这就是约束条件，而目标函数为由拉格朗日乘数法，作函数
