1、考研数学（数学三）模拟试卷 435 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，f(x)=ln(1+x)一(ax 2+bx)与 g(x)=xtanx 是等价的无穷小，则常数 a，b的取值为（A）（B）（C）（D）2 使函数 f(x)=x3+ax+b 在区间(一，+)内只有一个零点 x0(且 x00)的常数 a、b的取值范围是（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 b03 已知 f(x)的导函数的图形如下图所示，记 I1=(1)=f(0)，I 2=F(2)一 F(1)，则必有（A）f(1)f(2)，I 1I 2（B） f(
2、1)f(2)，I 1I 2（C） f(1)f(2)，I 1I 2（D）f(1)f(2)，I 1I 24 设某商品的需求函数为 Q=802p，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，若该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（A）10（B） 20（C） 30（D）405 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ms 矩阵若矩阵方程 AX=B 有解，则必有（A）矩阵 A 的列向量组可由矩阵 B 的列向量组线性表示（B）矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示（C）矩阵 A 的行向量组可由矩阵 B 的行向量组线性表示（D）矩阵 B 的行向量组可由矩阵 A 的行向量组线性表示6 设二次型 f(x
3、1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 2，且矩阵 A 满足 A2+A=0，则与 A 相似的矩阵是（A）（B）（C）（D）7 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X 3，X 4 是来自总体 X 的简单随机样本，X 为样本均值，若概率 PX （A）a=b （B） a=2b（C） 2a=b（D）a=4b 8 设 X1，X 2，X n(n1)是取自总体 X 的简单随机样本，且 DX=20，X 为样本均值，则 Xn 一 X 与 X 的相关系数为（A）一 1（B） 0（C）（D）二、填空题9 设函数 在 x=1 处连续，则 a=_10 设二元函数 f(x，y)可微，且 f(x，x 3
4、)=1，f x(x，x 3)=x2，则当 x0 时，f y(x，x 3)=_11 微分方程 x lnx dy+(ylnx)dx=0 满足条件 y(e)=1 的解为_12 设某商品需求量 Q 是价格 p 的函数 Q=Q(p)，其需求弹性 则 p=6时，总收益对价格的弹性为_13 已知正负惯性指数均为 1 的二次型 xTAx 经过合同变换 x=Py 化为 yTBy，其中矩阵 则 a=_14 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立同分布，且 DXi=2(i=1，2，3，4)，记X=X1+X2+X3，Y=X 3+X4，则 X 与 Y 的相关系数等于 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤。15 (I)设 x(0，+)，证明： ()记 试求函数 f(x)在0，+)内的值域16 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，收益函数为 R=pQ，其中 p 为产品价格，Q 为需求量(产品的产量) ，Q(p)为单调减函数如果当价格为 p0，对应产量为 Q0 时，边际收益 ，收益对价格的边际效应 需求对价格的弹性 Ep=b1，求 p0 和 Q017 在平面直角坐标系中，求椭圆 C：x 2+2Ty+5y2 一 16y=0 与直线 L：x+y 一 8=0的最短距离18 设区域 ，计算二重积分19 求幂级数 的收敛域与和函数20 设 n 元(n 3) 线性方程组 Ax=b，其中式问 a 满足
6、什么条件时，该方程组有解、无解?有唯一解时求出 x1；有无穷多解时，求其通解21 设实对称矩阵 求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP 为对角矩阵，并问 a 满足什么关系时，矩阵 A+E 正定?22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间(0，1)上的均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布(I)求概率 PX+Y1)；()令 求 Z 的概率密度 fZ(z)23 设袋中有 2 个红球，2 个黑球现从中不放回随机取球，每次取 1 个记 X 为首次取到黑球时取球的次数，Y 为第二次取到黑球时取球的总次数(I)求 (X，Y)的概率分布；()求 X=2 条件下关于 Y 的条件分布律；()求 X
7、与 Y 的协方差 cov(X，Y)，并问 X 与 Y 是否相互独立?考研数学（数学三）模拟试卷 435 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 0 时，g(x)x 2由 ，得2 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)在(一 ，+) 内连续，故由零点定理可知 f(x)在(一，+)内至少有一个零点又 f(x)=3x2+a，为使 f(x)只有一个零点，需 a0(保证 f(x)单调)，而零点 x00，f(0)=b，故只要 b03 【正确答案】 A【试题解析】 由所给 y=f(x)的图形可知，f(x) 在包含 x=1，x=2 的区间内
8、单调减少，故 f(1)f(2) 又 I1=f(1)一 f(0)=01f(x)dx，I=f(2)一 f(1)=12f(x)dx，由定积分几何意义及所给图形可看出，I 1I 24 【正确答案】 B【试题解析】 由需求弹性定义可得5 【正确答案】 B【试题解析】 记 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，则由条件有即有 x111+x212+xn12=1， x121+x222+xn2n=2， x1s1+x2s2+xnss=s可见矩阵 B 的每一个列向量均可由 A 的列向量组线性表示6 【正确答案】 C【试题解析】 设 是矩阵 A 的任意一个特征值， 是相应的特征向量，即A=用 右乘题设等式
9、条件，得 A2+A=0， 即有( 2+)=0 因 0，故有2+=0，从而 =0 或 =一 1又由矩阵 A 的秩为 2 可知，矩阵 A 的特征值为 0，一 1，一 1，实对称矩阵 A 必与以它的特征值 0，一 1，一 1 为主对角线元素的对角矩阵相似7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件可知，DX i=2， 故由于 X1，X 2，X n 相互独立，所以 in 时，cov(X n,Xi)=0，于是因此 Xn 一 X与 X 的相关系数为 0，应选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因 x1 时，lncos(x 一 1)=ln1+cos(x 一 1)
10、一 1cos(x 一 1)一 1，故10 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x，y)可微，等式 f(x，x 2)=1 两边对 x 求导，得 fx(x，x 3)+fy(x，x 3).3x2=0，而 fx(x，x 3)=x2，故有 x2+fy(x， x2).3x2=0，当 x0 时，解得11 【正确答案】 【试题解析】 方程变形为 故12 【正确答案】 【试题解析】 总收益函数为 R(p)=pQ(p)，两边对 p 求导，得13 【正确答案】 一 2【试题解析】 因二次型的秩等于其正、负惯性指数之和，故 r(A)=2，从而 r(B)=2，B =0由得 a=1或 a=一 2由于 a=1 时，r(B)
11、=1，不合题意，故 a=一 214 【正确答案】 【试题解析】 因 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立同分布，故有 cov(X，Y)=cov(X+X2+X3，X 3+X4)=cov(X1，X 3)=DX3=2又 DX=D(X 1+X2+X3)=32， DY=D(X3+X4)=22，因此三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 而由(I) 可知，当 x0 时，有 从而有 f(x)0，即 f(x)在(0，+)内单调减小又16 【正确答案】 由收益 R=pQ 对 Q 求导，注意到 p 与 Q 存在函数关系，得17 【正确答案】 设 P(x，y)为椭圆上任意一点，则点
12、P 到直线 L 的距离为下面只要求 d2 在约束条件 x2+2xy+5y2 一16y=0 下的最小值点即可 得(x 1，y 1)=(2，2) 或 (x2，y 2)=(-6，2)又故椭圆 C 与直线 L 的最短距离为18 【正确答案】 如图所示，显然积分区域 D 关于 y 轴对称，而被积函数中是 x 的奇函数，故19 【正确答案】 由 得收敛半径 R=1，收敛区间为(一 1，1) 当 x=1 时， 收敛，故原级数绝对收敛，因而收敛域为一 1，1 因此20 【正确答案】 故当 a1n 且以0 时，A0，此时方程组 Ax=b 有唯一解又故由克拉默法则，得当 a=0 时，Ax=b 为齐次线性方程组Ax
13、=0，由 知 r(A)=1，nr(A)=n 一 1，由 得基础解系为方程组 Ax=0 的通解为x=k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 是任意常数当 a=1 一 n 时，由可知 r(A)r(A，b) ，方程组 Ax=b 无解21 【正确答案】 由得矩阵 A 的特征值为 1=2=a+1， 3=a 一 2对于 1=2=a+1，求解方程组(a+1)EAx=0 的基础解系，可得 1=2=a+1 对应的特征向量为 1=(1，1，0)T， 2=(1，0，1) T对于 2=a 一 2，求解方程组(a 一 2)EAx=0 的基础解系，可得 3=a 一 2 对应的特征向量为 =(一 1，1，1) T因为矩阵 A+E 的特征值为 a+2，a+2，a 一 1，由 a+20，a 一 10，得 a1，故 a1时，实对称矩阵 A+E 是正定矩阵22 【正确答案】 (I)由题设条件可知随机变量 X 与 Y 的概率密度分别为因 X 与 Y 相互独立，故(X， Y)的概率密度为23 【正确答案】 (I)由题意可知 X 的所有可能取值为 1，2，3；Y 的所有可能取值为 2，3，4，且 故(X，Y) 的分布律为()由(I)可知，
