1、考研数学（数学三）模拟试卷 437 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设在区间(0，+)内连续函数 f(x)的原函数为 F(x)，则（A）（B）（C） xF(x)（D）2xF(x)2 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数图形如图所示，则在(一，+) 内（A）函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点（B）函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f(x)有一个拐点（C）函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有一个拐点（D）函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点3 设 z=f(x2 一 y2，e xy)，其中
2、f(u，v)具有连续二阶偏导数，则（A）(x 2+y2)exyfv（B） 4xyfu+2xyexyfv（C） (x2+y2)exyfu（D）2xye xyfv4 设函数 f(x， y)连续，则累次积分 12dxx2f(x，y)dy+ 12dyy4-yf(x，y)dx 等于（A） 12dyy2f(x，y)dx （B） 12dx14-xf(x，y)dy（C） 12dy14-yf(x，y)dx（D） 12dxx4-xf(x，y)dy 5 设向量 其中 a，b，c ，d 是任意常数，则必有（A）r( 1， 2， 3)2（B） r(1， 2， 4)2（C） r(1， 3， 4)3（D）r( 2， 3，
3、4)36 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，其矩阵 A 满足 A3=A，且行列式A 0，矩阵A 的迹 trA（A）z 12+z22+z32（B） z12+z22 一 z32（C） z12z22 一 z32（D）一 z12 一 z22 一 z327 设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，其分布函数和概率密度分别为 F(x)和 f(x)，则随机变量 Z=minX，Y)的概率密度为（A）2F(x)f(x)（B） 21 一 F(x)f(x)（C） 21f(x)F(x)（D）21 一 F(x)1f(x)8 设 X1，X 2，X n 为来自指数总体 E()的简单随机样本，X 和 S2 分别
4、是样本均值和样本方差若 ，则 k=（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题9 设 =_。10 曲线 yxey=1 在 x=0 处的法线方程为_11 =_。12 差分方程 yt+1y t=t2t 的通解为_13 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 经正交变换 x=Qy 化为标准形 y22+4y32，则 a2+b2=_14 设一本书各页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布已知该书中有一个和两个印刷错误的页数相同，现任意随机抽查 3 页，则此 3 页中都没有印刷错误的概率为p=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
5、求极限16 求不定积分17 设 x(0，1)，证明：18 设 u=f(x， y，z)具有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由 exy 一xy=2 和 确定，求 dy，dz 及19 设区域 D=(x，y) x 2+y242，y0，计算二重积分 其中20 设齐次线性方程组(I)为 又已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=(0，1，1，0) T， 2=(一 1，2，2，1) T试问 a，b 为何值时，(I)与()有非零公共解? 并求出所有的非零公共解21 设 A 为 3 阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 又已知 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为 =1，相应的特征向量
6、为 =(1，1，1) T(I)求正交矩阵 Q；() 求二次型 xT(A*)-1x 的表达式，并确定其正负惯性指数22 设二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 是由 xy=1 与 x=0 所围成的三角形区域 (I)求 Y 的概率密度 fY(y)； ( )求条件概率密度 fYX (yx)； ()求 PX Y22 设总体 X 的分布函数为 其中参数(01)未知X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值23 求参数 的矩估计量 ；24 求 EX2考研数学（数学三）模拟试卷 437 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
7、 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设所给 y=f(x)的图形可看出，F(x 1)=f(x2)=f(x3)=0，f(x)在 x=0处不可导，即 f(x)可能有 4 个极值点，且曲线 y=f(x)在 x 轴上方时 f(x)0，在 x轴下方时 f(x)0，可见这四个点都是极值点 (x1，x 2 为极大值点，原点与 x3 为极小值点，为什么?)仍由 y=f(x)的图形可看出，f(x 4)=0(因 x3 是 f(x)的驻点)，f(x)在 x=0 处的二阶导数不存在，即曲线 y=f(x)可能有两个拐点因为除了 x=0 外，y=f(x)处处光滑，存在不垂直于 x 轴的切线
8、，故可推测 f(x)除 x=0 外具有二阶导数，因此在 f(x)的严格单调增加区间内有 f(x)0；在f(x)严格单调减少区间内有f(x)0，可见(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点，(x 4，f(x 4)是曲线 y=f(x)的拐点(为什么?请读者结合 y=f(x)的图形思考，并找出曲线 y=f(x)的凹凸区间)3 【正确答案】 A【试题解析】 因故4 【正确答案】 C【试题解析】 由题设所给累次积分可画出积分区域如图所示，故有 I=12dy14-yf(x，y)dx 5 【正确答案】 C【试题解析】 对( 1,2,3,4)作初等行变换，得由此可见，无论a，b，c，d 为何值，总有行列式(
9、 1， 3， 4) =0，即 r(1， 3， 4)3而又a，b，f，d 是任意常数，故无法判定选项(A)，(B)，(D) 是否正确6 【正确答案】 C【试题解析】 由条件 A3=A 可知 A 的特征值必满足 3=，故 =0，1又由A= 1230，trA= 1+2+30 知，矩阵 A 的特征值为 1，一 1，一 1，故二次型 xTAx 的规范形为 f(x1，x 2，x 3)=z12 一 z22 一 z327 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 F(1)=1，得 C=0，故 于是10 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对
10、x 求导，得 y一 eyxe y.y=0 原方程中令 x=0，得y=1，代入上式可得 y x=0=e故所求的法线方程为11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 C+(t2) 2【试题解析】 对应的齐次差分方程为 yt+1 一 yt=0，显然有不恒为零的特解y t=1由 f(t)=t2，可设非齐次差分方程的特解为 yt*=(At+B)2t，代入原方程中，可得 A=1，B=-2故原方程的通解为 yt=C+(t2)2 t13 【正确答案】 2【试题解析】 二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 由题设条件可知，从而可知矩阵 A 的特征值为 1=0 2=1， 3=4进而可得A=0，E
11、A=0 即 经计算上述行列式可得 a=b=1，因此 a2+b2=214 【正确答案】 e -6【试题解析】 由题设条件有 PX=1=PX=2)，即 得 =2(=0 舍去)以 Xk(k=1，2，3)表示抽取的第 k 页上印刷错误的个数，则 X1，X 2，X 3 相互独立且与 X 同分布，于是所求概率为 P=PX1=0，X 2=0，X 3=0 =PX1=0PX2=0PAX3=0=(e-2)3=e-6三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 ，则16 【正确答案】 17 【正确答案】 因 x(0，1) ，不等式两边取对数，得当 x(0，1)时，f(x) 0，故 f(x
12、)单调增加，而 f(0)=0，于是有 f(x)f(0)=0，即f(x)在区间(0，1)内单调增加又 f(0)=0因此 x(0，1) 时，f(x)f(0)=0，即18 【正确答案】 方程 exy 一 xy=2 两边对 x 求导，得19 【正确答案】 如图所示，以 x2+y2=2 分区域 D 为 D1，D 2 两部分，则20 【正确答案】 由齐次线性方程组()的基础解系可得以 x3，x 4 为自由变量，则上述基础解系可由以下等价方程组得到 去掉 x3，x 4 两个自由变量的恒等式方程，可得以 1， 2 为基础解系的一个齐次线性方程组为将题设条件中的方程组(I)与上述式中的方程组联立，得参数 a，b
13、 的值只要使得方程组 有非零解，并解之即可，由可见，当 a+1=0，且 b=0，即 a=一 1，b=0 时，r(A)=34，方程组 必有非零解此非零解既满足方程组(I)，也满足方程组 ，从而是(I)与()的非零公共解此时由 可得方程组的一个基础解系为 =(一 1，1，1，1) T，因此(I) 与( )的所有非零公共解为 x=k 考，其中 k 是不为零的任意常数21 【正确答案】 (1)由题设条件可知， 从而矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 2，且A= 123=一 2又由 A*=，知 AA*=A，即A=A=一 2，可见 3=(1，1，1) T 是 A 的属于特征值 3=一 2 的一个特
14、征向量设 1=2=1 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则 3Tx=0，即 x1+x2+x3=0求得基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T，即为特征值 1=2=1 所对应的两个线性无关的特征向量先将 1， 2 正交化，得 1=1=(一 1，1，0) T，再将 1， 2， 3 单位化，得则 Q 即为所求的正交矩阵，即有 QTAQ() 因 而A= 一 2，故要求得矩阵 A 即可，这可由 A 的特征值、特征向量求得.22 【正确答案】 (I)二维随机变量(X ，Y)的概率密度为如图，可得23 【正确答案】 由题设条件可知总体 X 的概率密度为24 【正确答案】 由方差的计算公式有
