1、考研数学（数学三）模拟试卷 444 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()的导数在 a 处连续，又 1，则( )（A）a 是 f()的极小值点（B） a 是 f()的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 yf() 的拐点（D）a 不是 f()的极值点，(a ，f(a)也不是曲线 yf()的拐点2 已知边际收益函数 MR k，其中常数 a0，b0，k0，则需求函数QQ(p)的表达式为 ( )（A）Q b（B） Q a（C） Q b（D）Q a3 设 f(，y) 在 (0，0)处连续，且 2，则 f(，y)在(0，0)处( )（A）不存在偏导数（B
2、）存在偏导数但不可微（C）可微且 f(0，0)0，f y(0，0)0（D）可微且 f(0，0)0，f y(0，0) 04 设有以下命题： 若正项级数 n 收敛，则 n2 收敛； 若 1，则 n 收敛； 若 (2n-1， 2n)收敛，则 n 收敛； 若 n 收敛，( 1)nn 发散，则 2n 发散 则以上命题正确的是( )（A）（B） （C） （D）5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 ABAB，下列命题：若 A 可逆，则 B 可逆；若 AB 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 AB 可逆；AE 恒可逆则以上命题正确的有( )个（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 3 维列向量组 1，
3、2， 3 线性无关，1 1 2 3， 23 1 2， 34 1 3， 42 12 2 3，则向量组1， 2， 3， 4 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 X 为随机变量，若矩阵 A 的特征值全为实数的概率为05，则( ) （A）X 服从区间0，2 的均匀分布（B） X 服从二项分布 B(2，05)（C） X 服从参数为 1 的指数分布（D）X 服从正态分布8 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n+1 为来自总体 X 的简单随机样本记 T (Xi+1X i)2，则 E(T)( )（A）（B） 2（C） 2（D）2 2二、填空题9 _10 设 f(
4、)有一个原函数 ln( )，则 01f()d_11 已知幂级数 在 2 处发散，在 1 处收敛，则幂级数(1) n 的收敛域是_12 微分方程 y3y2ye 的通解为_13 设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A23A2EO，且 A2，则二次型 f TA 的标准形为_14 在总体 N(1，4) 中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，则概率 PminX1，X 2，X 3，X 4，X 51_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f() ，g() ，且 f(0)g(0)0，试求 16 设常数 a 0，求arcsin 17 设 f()在0，1连续
5、，在(0，1)可导，f(0) 0，0f()1， (0，1) 证明：01f()d2 01f3()d18 设 二阶连续可导，又因为 2，且1当 0 时，求 f()19 求幂级数 的收敛域及和函数20 设 1， 2， 3， 4， 为 4 维列向量，A( 1， 2， 3， 4)，若 A 的通解为(1， 1，0，2) Tk(1，1，2，0) T，则 () 能否由 1， 2， 3 线性表示?为什么?()求 1， 2， 3， 4， 的一个极大无关组21 设二次型 f(1， 2， 3) 12a 22 322 122 232a 13 的正、负惯性指数都是 1 ()计算 a 的值； ()用正交变换将二次型化为标准
6、形； ()当 满足T2 时，求 f 的最大值与最小值22 设箱中有 5 件产品，其中 3 件是优质品从该箱中任取 2 件，以 X 表示所取的2 件产品中的优质品件数，y 表示箱中 3 件剩余产品中的优质品件数()求(X，Y)的概率分布；()求 Cov(X，Y)23 设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 f() 若各周对该商品的需要相互独立 ()以 Uk 表示前 k 周的需求量，求 U2 和 U3 的概率密度 f2(u)和 f3(u)； ()以 Y 表示三周中各周需求量的最大值，求 Y 的概率密度fY(y)考研数学（数学三）模拟试卷 444 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 f()在 a 点连续，由 1 得 f(a)0，即a 是 f()的驻点 又 f(a) 10， 由极值的第二充分条件，知 a 为 f()的极大值点 由拐点的判定可得，因 f(a)10，则(a，f(a)不是曲线 yf()的拐点 故应选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 设总收益函数为 RR(Q)，则 R(0)0，且边际收益函数为 MRk ，于是又因为 R(Q)PQ，从而 P ，推得 Q 故应选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 由 2，知 f(，y)10，即 f(，y) f(0 ，0)1 由极限与无穷小的关系，得2(，y)，其中 (，y
8、)0 则 f(，y)f(0，0)2( 2y 2)(，y)( 2y 2)0()( 0)，故 f(，y)f(0，0) 0.0. y0() 由可微定义知 f(，y)在(0，0)点可微且 f(0，0) f y(0，0)0 故应选 D4 【正确答案】 B【试题解析】 命题正确，由正项级数的比较判别法判定即可因为正项级数n 收敛，知 0， 又 0由正项级数比较判别法( 极限形式)知 n2 收敛 命题错误，因 n 不一定是正项级数，所以没有此判定方法，如 n(1) n，则 11，但 (1) n 发散 命题错误，(2n-1 2n)收敛，但 n 不一定收敛，如 n(1) n-1，则 (2n-11 2n)0收敛但
9、 n 发散 命题正确，因 n 收敛， (1) nn 发散， 由级数性质知 发散， 2n 发散 故应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 由于(AE)BABBABBA，若 A 可逆，则 B 可逆，即正确若 AB 可逆，则ABAB0，则B0，即 B 可逆，正确由于 A(BE)B，ABEB ，若 B 可逆，则A0，即 A 可逆，从而 ABAB 可逆，正确对于，由 ABAB，可得(AE)(BE)E，故 AE 恒可逆故应选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 B( 1， 2， 3， 4)( 1， 2， 3) AC 由 1， 2， 3，线性无关，A 可逆，所以，R(B) R(C)故 R(B)R(C)2
10、故应选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 由EA (2)( 22X)， 其特征值全为实数的概率为 P224X0PX105， 可见当 X 服从0，2上的均匀分布时成立 故应选 A8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X()，所以 E(Xi)D(X i) ，则故应选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 故应填 10 【正确答案】 【试题解析】 又因为 f() ，故 f(1) ，所以 01f()d故应11 【正确答案】 【试题解析】 令 t，由题设知幂级数 antn 在 t2 处发散， 从而 antn 当t 时发散 又因为 antn 在 t1 处收敛， 则可知 antn 当t 时收敛 由
11、此可知 antn 的收敛半径为 R ， 进而可得antn 的收敛域为 ，令 t1，代入即 得幂级数 an(1) n 的收敛域为 1 ，即 故应填12 【正确答案】 yC 1eC 2e2( 2)e 【试题解析】 对应的齐次方程为 y3y2y0，其特征方程为 23 20，解得 12， 21，则齐次方程 y3y2y0 的通解为 C1eC2e2 设 y3y2ye 的一个特解为 y*(AB)e ，将 y*代入方程得A ，B1，则特解 y *( 2)e ，所以原方程的通解为yC 1eC 2e2( 2)e 故应填 yC 1eC 2e2( 2)e13 【正确答案】 y 12y 22y 32【试题解析】 由 A
12、23A2EO，得 A 的特征值为 1 或 2 又因为A2，即特征值乘积为 2，故 A 的特征值为 1，1，2 所以二次型的标准形为y12y 222y 32 故应填 y12y 22y 3214 【正确答案】 【试题解析】 PminX 1，X 2，X 3，X 4，X 511PminX 1，X 2，X 3，X 4，X 51 1PX 11，X 21，X 511PX 115 11(0) 5 1 故应填三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 f() 知，又 f(0)0，代入 f()表达式得C0，故 f()ln( ) 由 g() ，则 g() ln(1 )C 1， 又 g(
13、0)0 得 C10，知 g()ln(1)于是故当 0 时，ln( )，所以，16 【正确答案】 17 【正确答案】 令 F() 0f(t)dt2 0f3(t)dt，易知 F(0)0，且 F(z)在0，1可导，则 F()2f() 0f(t)dtf 3()f()2 0f(t)dtf 2() 记 g()2 0f(t)dtf 2()，则g()在(0 ，1) 可导，即 g() 2f()2f()f()2f()1f()， 由于 0f()1，(0 ， 1)，则 f()在 0，1内递增 则当 01 时，f()f(0)0， 于是g()0，(0 ，1)，则 g()在0，1递增， 即当 01 时，g() g(0) 0
14、， 所以，当 01 时，F() f()g()0， 即 F()在 01 时递增，故当 01 时，F()F(0)0， 特别地，有 F(1)0，即 01f()d2 01f3()d0， 所以 01f()d2 01f3()d18 【正确答案】 由 2，f 二阶连续可导，知 f(1) f()0，由对称性知即 f(t) C 1lntC 2，C 1，C 2 为常数 由 f(1) 0，f(1)2，知C1 ，C 2 故 f() (0)19 【正确答案】 1，收敛半径R 1 当 1 时，原级数为 ，收敛，当 1 时，原级数为，收敛，故幂级数的收敛域为1，1 令 S() ， 1，1，则则 2S() ln(1)， 当
15、0 时，S() 1ln(1)，所以当 0 时， S(0)0， 当 1 时，原级数为 S(1) 1(用收敛的定义)， 当 1 时，原级数为故的和函数为20 【正确答案】 () 假设可以，即 k 11k 22 k33，则（k 1，k 2，k 3，0） T 是A 的解 从而(k 1，k 2，k 3，0) T(1，1，0，2) T(k 11，k 21，k 3，2) T就是 A0 的解 但是显然(k 11，k 21，k 32) T 和(1，1，2，0) T 线性无关 所以 不可以由 1， 2， 3 线性表示 () 因为( 1，1，0，2) T 是 A 的解，则 1 22 4 又因为(1，1，2，0) T
16、 是 A0 的解，则 1 2 30 所以， 和 3 都可由 1， 2， 4 线性表示 又由 R(1， 2， 3， 4，)R( 1， 2， 3， 4)3，所以， 1， 2， 4 是极大无关组21 【正确答案】 () 二次型的矩阵为 A ，则二次型的正、负惯性指数都是 1，可知 R(A)2， A (a2)(a1)20， 所以 a2，或 a1，又 a1 时，显然 R(A)1，故只取 a2 ()此时EA (3)(3)，所以 A 的特征值是 3，3，0 当 13 时，解方程组(3EA)0，得基础解系为 1(1，0，1) T； 当 23 时，解方程组(3EA) 0，得基础解系为 2(1，2，1) T； 当
17、 20 时，解方程组(0EA) 0 ，得基础解系为 3(1，1，1) T 将 1， 2， 3 单位化得因此所求的正交变换为 所求的标准形为3y123y 22 () 由于 Qy，可知 T(Qy) TQyy TQTQyy Ty因此限制条件T2 也等价于 yTyy 12y 22y 322 由于二次型为 3y123y 22， 易知其在y12y22y322 时，最大值为 6，最小值为622 【正确答案】 () 因为 X 的所有可能的取值为 0，1，2，Yy 的所有可能的取值为 3，2，1，且 XY3，所以， PX0，Y3PX0 ， PX1，Y2PX1 ， PX 2，Y 1 PX2 ， PX0，Y 1PX0，Y2PX1，y1 0， PX1，Y3PX2，Y2PX 2，Y30 由此得(X，Y) 的概率分布为 ()因为 Y3X ，所以 Cov(X，Y)Cov(X，3X)C0v(X，X) D(X) 易知 X 的概率分布为所以 Cov(X，Y) 23 【正确答案】 设 Xi 表示第 i 周的需求量，i1，2，3，则 X1，X 2，X 3 独立同分布 ( )令 U2X 1X 2，令 UX 1X 2X 3()因为YmaxX 1，X 2，X 3， 所以 FY(y)F(y) 3，其中 F() 0f(t)dt故 fY(y)F Y(y)3F(y) 2f(y)
