[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷444及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学三)模拟试卷 444 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f()的导数在 a 处连续,又 1,则( )(A)a 是 f()的极小值点(B) a 是 f()的极大值点(C) (a,f(a)是曲线 yf() 的拐点(D)a 不是 f()的极值点,(a ,f(a)也不是曲线 yf()的拐点2 已知边际收益函数 MR k,其中常数 a0,b0,k0,则需求函数QQ(p)的表达式为 ( )(A)Q b(B) Q a(C) Q b(D)Q a3 设 f(,y) 在 (0,0)处连续,且 2,则 f(,y)在(0,0)处( )(A)不存在偏导数(B

2、)存在偏导数但不可微(C)可微且 f(0,0)0,f y(0,0)0(D)可微且 f(0,0)0,f y(0,0) 04 设有以下命题: 若正项级数 n 收敛,则 n2 收敛; 若 1,则 n 收敛; 若 (2n-1, 2n)收敛,则 n 收敛; 若 n 收敛,( 1)nn 发散,则 2n 发散 则以上命题正确的是( )(A)(B) (C) (D)5 设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 ABAB,下列命题:若 A 可逆,则 B 可逆;若 AB 可逆,则 B 可逆;若 B 可逆,则 AB 可逆;AE 恒可逆则以上命题正确的有( )个(A)1(B) 2(C) 3(D)46 设 3 维列向量组 1,

3、2, 3 线性无关,1 1 2 3, 23 1 2, 34 1 3, 42 12 2 3,则向量组1, 2, 3, 4 的秩为( )(A)1(B) 2(C) 3(D)47 设 X 为随机变量,若矩阵 A 的特征值全为实数的概率为05,则( ) (A)X 服从区间0,2 的均匀分布(B) X 服从二项分布 B(2,05)(C) X 服从参数为 1 的指数分布(D)X 服从正态分布8 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布,X 1,X 2,X n+1 为来自总体 X 的简单随机样本记 T (Xi+1X i)2,则 E(T)( )(A)(B) 2(C) 2(D)2 2二、填空题9 _10 设 f(

4、)有一个原函数 ln( ),则 01f()d_11 已知幂级数 在 2 处发散,在 1 处收敛,则幂级数(1) n 的收敛域是_12 微分方程 y3y2ye 的通解为_13 设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A23A2EO,且 A2,则二次型 f TA 的标准形为_14 在总体 N(1,4) 中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X1,X 2,X 3,X 4,X 5,则概率 PminX1,X 2,X 3,X 4,X 51_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f() ,g() ,且 f(0)g(0)0,试求 16 设常数 a 0,求arcsin 17 设 f()在0,1连续

5、,在(0,1)可导,f(0) 0,0f()1, (0,1) 证明:01f()d2 01f3()d18 设 二阶连续可导,又因为 2,且1当 0 时,求 f()19 求幂级数 的收敛域及和函数20 设 1, 2, 3, 4, 为 4 维列向量,A( 1, 2, 3, 4),若 A 的通解为(1, 1,0,2) Tk(1,1,2,0) T,则 () 能否由 1, 2, 3 线性表示?为什么?()求 1, 2, 3, 4, 的一个极大无关组21 设二次型 f(1, 2, 3) 12a 22 322 122 232a 13 的正、负惯性指数都是 1 ()计算 a 的值; ()用正交变换将二次型化为标准

6、形; ()当 满足T2 时,求 f 的最大值与最小值22 设箱中有 5 件产品,其中 3 件是优质品从该箱中任取 2 件,以 X 表示所取的2 件产品中的优质品件数,y 表示箱中 3 件剩余产品中的优质品件数()求(X,Y)的概率分布;()求 Cov(X,Y)23 设某商品一周的需求量是 X,其概率密度为 f() 若各周对该商品的需要相互独立 ()以 Uk 表示前 k 周的需求量,求 U2 和 U3 的概率密度 f2(u)和 f3(u); ()以 Y 表示三周中各周需求量的最大值,求 Y 的概率密度fY(y)考研数学(数学三)模拟试卷 444 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有

7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 f()在 a 点连续,由 1 得 f(a)0,即a 是 f()的驻点 又 f(a) 10, 由极值的第二充分条件,知 a 为 f()的极大值点 由拐点的判定可得,因 f(a)10,则(a,f(a)不是曲线 yf()的拐点 故应选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 设总收益函数为 RR(Q),则 R(0)0,且边际收益函数为 MRk ,于是又因为 R(Q)PQ,从而 P ,推得 Q 故应选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 由 2,知 f(,y)10,即 f(,y) f(0 ,0)1 由极限与无穷小的关系,得2(,y),其中 (,y

8、)0 则 f(,y)f(0,0)2( 2y 2)(,y)( 2y 2)0()( 0),故 f(,y)f(0,0) 0.0. y0() 由可微定义知 f(,y)在(0,0)点可微且 f(0,0) f y(0,0)0 故应选 D4 【正确答案】 B【试题解析】 命题正确,由正项级数的比较判别法判定即可因为正项级数n 收敛,知 0, 又 0由正项级数比较判别法( 极限形式)知 n2 收敛 命题错误,因 n 不一定是正项级数,所以没有此判定方法,如 n(1) n,则 11,但 (1) n 发散 命题错误,(2n-1 2n)收敛,但 n 不一定收敛,如 n(1) n-1,则 (2n-11 2n)0收敛但

9、 n 发散 命题正确,因 n 收敛, (1) nn 发散, 由级数性质知 发散, 2n 发散 故应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 由于(AE)BABBABBA,若 A 可逆,则 B 可逆,即正确若 AB 可逆,则ABAB0,则B0,即 B 可逆,正确由于 A(BE)B,ABEB ,若 B 可逆,则A0,即 A 可逆,从而 ABAB 可逆,正确对于,由 ABAB,可得(AE)(BE)E,故 AE 恒可逆故应选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 B( 1, 2, 3, 4)( 1, 2, 3) AC 由 1, 2, 3,线性无关,A 可逆,所以,R(B) R(C)故 R(B)R(C)2

10、故应选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 由EA (2)( 22X), 其特征值全为实数的概率为 P224X0PX105, 可见当 X 服从0,2上的均匀分布时成立 故应选 A8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X(),所以 E(Xi)D(X i) ,则故应选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 故应填 10 【正确答案】 【试题解析】 又因为 f() ,故 f(1) ,所以 01f()d故应11 【正确答案】 【试题解析】 令 t,由题设知幂级数 antn 在 t2 处发散, 从而 antn 当t 时发散 又因为 antn 在 t1 处收敛, 则可知 antn 当t 时收敛 由

11、此可知 antn 的收敛半径为 R , 进而可得antn 的收敛域为 ,令 t1,代入即 得幂级数 an(1) n 的收敛域为 1 ,即 故应填12 【正确答案】 yC 1eC 2e2( 2)e 【试题解析】 对应的齐次方程为 y3y2y0,其特征方程为 23 20,解得 12, 21,则齐次方程 y3y2y0 的通解为 C1eC2e2 设 y3y2ye 的一个特解为 y*(AB)e ,将 y*代入方程得A ,B1,则特解 y *( 2)e ,所以原方程的通解为yC 1eC 2e2( 2)e 故应填 yC 1eC 2e2( 2)e13 【正确答案】 y 12y 22y 32【试题解析】 由 A

12、23A2EO,得 A 的特征值为 1 或 2 又因为A2,即特征值乘积为 2,故 A 的特征值为 1,1,2 所以二次型的标准形为y12y 222y 32 故应填 y12y 22y 3214 【正确答案】 【试题解析】 PminX 1,X 2,X 3,X 4,X 511PminX 1,X 2,X 3,X 4,X 51 1PX 11,X 21,X 511PX 115 11(0) 5 1 故应填三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 f() 知,又 f(0)0,代入 f()表达式得C0,故 f()ln( ) 由 g() ,则 g() ln(1 )C 1, 又 g(

13、0)0 得 C10,知 g()ln(1)于是故当 0 时,ln( ),所以,16 【正确答案】 17 【正确答案】 令 F() 0f(t)dt2 0f3(t)dt,易知 F(0)0,且 F(z)在0,1可导,则 F()2f() 0f(t)dtf 3()f()2 0f(t)dtf 2() 记 g()2 0f(t)dtf 2(),则g()在(0 ,1) 可导,即 g() 2f()2f()f()2f()1f(), 由于 0f()1,(0 , 1),则 f()在 0,1内递增 则当 01 时,f()f(0)0, 于是g()0,(0 ,1),则 g()在0,1递增, 即当 01 时,g() g(0) 0

14、, 所以,当 01 时,F() f()g()0, 即 F()在 01 时递增,故当 01 时,F()F(0)0, 特别地,有 F(1)0,即 01f()d2 01f3()d0, 所以 01f()d2 01f3()d18 【正确答案】 由 2,f 二阶连续可导,知 f(1) f()0,由对称性知即 f(t) C 1lntC 2,C 1,C 2 为常数 由 f(1) 0,f(1)2,知C1 ,C 2 故 f() (0)19 【正确答案】 1,收敛半径R 1 当 1 时,原级数为 ,收敛,当 1 时,原级数为,收敛,故幂级数的收敛域为1,1 令 S() , 1,1,则则 2S() ln(1), 当

15、0 时,S() 1ln(1),所以当 0 时, S(0)0, 当 1 时,原级数为 S(1) 1(用收敛的定义), 当 1 时,原级数为故的和函数为20 【正确答案】 () 假设可以,即 k 11k 22 k33,则(k 1,k 2,k 3,0) T 是A 的解 从而(k 1,k 2,k 3,0) T(1,1,0,2) T(k 11,k 21,k 3,2) T就是 A0 的解 但是显然(k 11,k 21,k 32) T 和(1,1,2,0) T 线性无关 所以 不可以由 1, 2, 3 线性表示 () 因为( 1,1,0,2) T 是 A 的解,则 1 22 4 又因为(1,1,2,0) T

16、 是 A0 的解,则 1 2 30 所以, 和 3 都可由 1, 2, 4 线性表示 又由 R(1, 2, 3, 4,)R( 1, 2, 3, 4)3,所以, 1, 2, 4 是极大无关组21 【正确答案】 () 二次型的矩阵为 A ,则二次型的正、负惯性指数都是 1,可知 R(A)2, A (a2)(a1)20, 所以 a2,或 a1,又 a1 时,显然 R(A)1,故只取 a2 ()此时EA (3)(3),所以 A 的特征值是 3,3,0 当 13 时,解方程组(3EA)0,得基础解系为 1(1,0,1) T; 当 23 时,解方程组(3EA) 0,得基础解系为 2(1,2,1) T; 当

17、 20 时,解方程组(0EA) 0 ,得基础解系为 3(1,1,1) T 将 1, 2, 3 单位化得因此所求的正交变换为 所求的标准形为3y123y 22 () 由于 Qy,可知 T(Qy) TQyy TQTQyy Ty因此限制条件T2 也等价于 yTyy 12y 22y 322 由于二次型为 3y123y 22, 易知其在y12y22y322 时,最大值为 6,最小值为622 【正确答案】 () 因为 X 的所有可能的取值为 0,1,2,Yy 的所有可能的取值为 3,2,1,且 XY3,所以, PX0,Y3PX0 , PX1,Y2PX1 , PX 2,Y 1 PX2 , PX0,Y 1PX0,Y2PX1,y1 0, PX1,Y3PX2,Y2PX 2,Y30 由此得(X,Y) 的概率分布为 ()因为 Y3X ,所以 Cov(X,Y)Cov(X,3X)C0v(X,X) D(X) 易知 X 的概率分布为所以 Cov(X,Y) 23 【正确答案】 设 Xi 表示第 i 周的需求量,i1,2,3,则 X1,X 2,X 3 独立同分布 ( )令 U2X 1X 2,令 UX 1X 2X 3()因为YmaxX 1,X 2,X 3, 所以 FY(y)F(y) 3,其中 F() 0f(t)dt故 fY(y)F Y(y)3F(y) 2f(y)

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