1、考研数学（数学三）模拟试卷 446 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）是以 3 为周期的可导函数，且 f（1）=1，则（A）一 4（B） 4（C）（D）2 设函数 f（x）在（一，+）内连续，其导函数 y=f（x）的曲线如图所示，则f（x）有（A）两个极小值点，一个极大值点，三个拐点（B）一个极小值点，一个极大值点，两个拐点（C）一个极小值点，一个极大值点，三个拐点（D）一个极小值点，两个极大值点，三个拐点3 曲线 的拐点的个数为（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个4 下列级数中属于条件收敛的是5 a=5 是齐次方程组
2、有非零解的（A）充分必要条件（B）充分条件，但不是必要条件（C）必要条件，但不是充分条件（D）既不是必要条件又不是充分条件6 n 维向量 =120，0，12） T，A=E4 T，= （1，1，I） T，则A 的长度为（A）（B）（C） n（D）n 27 设 X，Y 为随机变量，PXY0= ，Pnlax（Y，Y ）0= ，则P；min（X， Y）0=8 设随机变量 X 的密度函数为 则下列服从标准正态分布的随机变量是二、填空题9 与曲线（y2） 2=x 相切，且与曲线在点（1，3）处的切线垂直，则此直线方程为_10 将抛物线 y=x2x 与 x 轴及直线 x=c（c1）所围成平面图形绕 x 轴旋
3、转一周，所得旋转体的体积 Vx 等于弦 op（p 为抛物线与直线 x=c 的交点）绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 ，则 c 的值为_11 设 f（x）= 则f（x） =_12 二阶微分方程 y“+y=10e2x 满足条件 y（0）=0，y（0）=1 的特解是y=_13 已知 的任意两个特征向量都线性相关，则 a=_14 一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 pi= （i=1，2，3）则三个零件中合格品零件的期望值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 b 为常数（）求曲线 L:y= 的斜渐近线 l 的方程；（）设
4、L与 l 从 x=1 延伸到 x之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值16 设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有（）求 f（1）及 （）求f（1），若又设 f“（1）存在，求 f“（1）17 求（x，y，z ）=2x+2vz 2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值18 设曲线 y=y（x）上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y（x）19 设 f（x）在a，b上连续且单调增加试证：20 已知四元齐次方程组 的解都满足方程式（）x1+x2+x3=0求 a 的值求方程组（）的通解21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1，
5、 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1=1 32 33A 2=41+42+3，A 3=21+33 求 A 的特征值 求 A 的特征向量， 求 A*6E 的秩22 设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 A 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY23 历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次，现在我们若重复他的试验，试求：（）抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不
6、超过当年皮尔逊试验偏差的概率；（）要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于 20，现在我们应最多试验多少次？考研数学（数学三）模拟试卷 446 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 注意 f（x）也以 3 为周期，f（1）=f(2)，利用导数可求得极限故应选(C)2 【正确答案】 C【试题解析】 由图可知，f（x）有两个零点：x 1 0，x 20，且在 x1 两侧 f(x)由正变为负，即 f（x）先增后减，于是 x1 为极大值点；类似分析可知 x2 为极小值点x=0 为 f(x)不存在的点（
7、第二类间断点），在 x=0 两侧均有 f(x)0，因此x=0 不是极值点，但在 x=0 两侧 f(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外，除 x=0 点外，考察 f(x)的增减性，还有两个点 x3，x 4，使 f(x)在它们的两侧改变增减性，因此这两个点也是曲线 y=f(x)的拐点，综合上述分析，应选(C) 3 【正确答案】 D【试题解析】 y=(x 33x) ，先求出 y与 y“y=（x 33x） (x21)，y“= （x 33x） 3(x 2 一 1)2+2x(x33x) =2(x33x) （x 2 一 1） 2 一x（x 33x）=2(x 33x
8、) （x 2+1）=2x （x 23） （x 2+1），由在（一，+）连续，y“不存在的点只有 x=0，x= ，而 y“=0的点不存在，且在 x= 两侧 y“变号，x=0 两侧）y“也变号均为 y= 的拐点，再无其他拐点因此，应选(D)4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)， (C)不是条件收敛由5 【正确答案】 B【试题解析】 根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为 0于是a=5 是()有非零解的充分条件，但不是必要条件6 【正确答案】 B【试题解析】 A=(E 4T)=4(T)=4=（1，1，1，1） T，7 【正确答案】
9、 D【试题解析】 故应选(D)8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 可知 XN( 3，2)，(X+3)N(0 ， 1)，而(A) ，(B)，(C)三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 对曲线方程求导，2（y2）y=1，故 当 y=3 时，y=，即曲线在点(1，3) 处的法线斜率为2，由 y= 代入曲线方程，有 x= 所以切点坐标为 故直线方程为10 【正确答案】 【试题解析】 图形如右图所示x= 0cy2dx=0c（x 2x） 2dx=0c（x 42x3+x2）dx11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 2e 2x2cosx3sin
10、x，【试题解析】 本题中微分方程的特征方程是 2+1 =0，特征根是 =i与 =一 i，由方程的右端项 10e2x 即知可设方程具有形式为 y*= Ae2x 的特解，从而方程通解的形式为 y=C 1cosx+C2sinx+Ae2x 计算可得 y“= C1cosx C2sinx+4Ae2x 把 y 与 y“代入方程就有 y“+y=SAe2x令 5A=10 即 A=2 即得方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+2e2x 分别令 y(0)=C1+2 =0 与 y(0)=C2+4=1 又可确定常数C1=2，C 2=3故所求的特解是 y=2e2x 一 2cosx 3sinx13 【正确答案】 2【
11、试题解析】 因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明 A 的三个特征值都相等，即 A 有一个 3 重特征值 3=tr(A)=3，于是 =1有 |EA|=（1）3 =+1+a(a+2)+(1)(2285a)= a2+(a+1)+2a+1+(1)(22+19 5a)= (1)3+(a+1)+a2+2a+1 ( 1)(5a+9)= (1)3 (8+4a)+a2+7a+10 则 8+4a=0 并且 a2+7a+10=0，得 a=一 214 【正确答案】 【试题解析】 以 Ai 表示第 i 个零件合格，i=1，2， 3，A i 相互独立，于是有以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则PX
12、= 3= P(A1A2A3 )= P(A1)P(A2)P(A3)=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 所以斜渐近线方程为 y= 2x4如果2b+15+10，即如果 b8，无论 b8 还是 b8，均有 Int(t+2)2b+15=，从而与 A 为有限值矛盾当 b=8 时有 故此时所求的面积16 【正确答案】 又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小因子替换：当 x0 时，In1+f(x+1)+3sin2x一 f(x+1)+3sin2x，17 【正确答案】 f(x，y，z) 在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值第一步，先求
13、 f(x，y，z) 在 内的驻点由 =2 知 f(x，y，z）在 内无驻点，因此 f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到第二步，求f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件x2+y2+z22=0 下的最大、最小值令 F(x，y，z，)=2x+2y z 2+5+（x 2+y2+z22），解方程组由，知 x=y，由知 z=0 或 =1由 x=y，z=0 代入知 x=y=1，z=0 当=1 时由，也得 x=y=1，z=0因此得驻点 P1（1，1，0）与P2(1，1，0)计算得知 f(P1）=1，f(P 2）=9 因此，f(x，y
14、，z)在 的最大值为 9，最小值为 118 【正确答案】 1）先求截距并列方程，曲线 y=y(x)在 点(x，y(z)处的切线方程是 Y y(x)=y（x）（Xx）令 X =0，得 y 轴上截距 y= y(x) xy（x）相应的法线方程是 令 Y=0，得 x 轴上截距X =x+y(x)y（x）2)求解方程19 【正确答案】 要证 xf(x)dx abf（x）dx，即要证由积分中值定理 *，存在由 f(x）单调增加，f( 2） f(1），故 I0，得证【试题解析】 改写不等式，即要证分别在区间上应用积分中值定理即可得证20 【正确答案】 条件即 () 和()的联立方程组和()同解，也就是矩阵的秩
15、相等，对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由 A 变来的显然 a=0 时 r(A)=1，r(B)=2 ，因此 a0因为 a0，所以 r(A)=3要使得 r(B)=3，a=1/2 得()的通解：c（1，1，2，2） T，c 任意21 【正确答案】 记 P=（ 1， 2， 3），因为 1， 2， 3 是线性无关，所以 P 是可逆矩阵AP=（A 1，A 2，A 3）= （一 1 32 33，4 1+42+3， 21+33）=（ 1， 2， 3） （此处用了矩阵分解）记则 AP=PB，即 P1AP=B，A 与 B 相似，特
16、征值一样求 B的特征多项式 得A 的特征值为 1，2，3先求 B 的特征向量，用 P 左乘之得到 A 的特征向量（如果 B=，则 P1AP=，即 A(P)=A(P)对于特征值 1：B 的属于特征值 1 的特征向量（即（BE）x=0 的非零解）为 c(1，1，1) T，c0则 A 的属于特征值 1 的特征向量为c（ 1+2+3） T，c0对于特征值2： B 的属于特征值 2 的特征向量（即（B 2E）x=0 的非零解）为 c(2，3，3) T，c0 则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c（2 1+32+33） T，c0对于特征值 3：B 的属于特征值 3 的特征向量（即（B 3E）x=0 的
17、非零解）为 c(1，3，4) T，c0 则 A 的属于特征值 3 的特征向量为 c（ 1+32+43） T，c0 由 A 的特征值为 1，2，3，|A|=6于是 A*的特征值为 6，3，2，A * 6E 的特征值为 0，34于是 A* 6E r(A* 6E) = 222 【正确答案】 由题设知，PX=m= e，m=0，1，2，； 0购买 A 类商品的人数 Y，在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，P) ，即PY=k|X=m=Cmkpkqmk，k=0 ，1，2，m；q=1p由全概率公式有又因为当 mk 时，P|Y ：k|X=m=0，所以由此可知，Y 服从参数为 p 的泊松分布，故层 Y=p23 【正确答案】 () 设 X 表示试验中正面出现的次数，则 XB(12000，05)，且 EX=np=6000DX=npq=3000由于 n=12000 相当大，因此 近似服从正态分布 N(0，1) ，于是()设至多试验 n次，Y 为 n 次中正面出现的次数，显然 YB(n，05)，EY=05n，DY=0 25n，于是故最多试验 6232 次即可
