1、考研数学（数学三）模拟试卷 447 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设图形（a），（ b），（ c）如下：从定性上看，若函数 f（x ）在0，1内可导，则 y=f（x），y= 0xf（t）dt 与 y=f（x）的图形分别是（A）(a)，(b)，(c)（B） (a)，(c)，(b) （C） (b)，(a) ，(c)（D）(c)，(a)，(h)2 设 y=y（x）是由方程 y2+xy+x2+x=0 所确定的满足 y（1）=1 的隐函数，则（A）1（B） 2（C）一 2（D）一 13 设 f（ x）是区间 上的正值连续函数，且K=01f（ arctanx
2、）dx若把 I，J ，K 按其积分值从小到大的次序排列起来，则正确的次序是（A）I，J，K（B） J，K，I（C） K，I ，J（D）J，I ，K4 设函数 f（r）当 r0 时具有二阶连续导数，令 ，则当x，y，z 与 t 不全为零时5 设 A 是 54 矩阵，r（A ）=4，则下列命题中错误的为（A）AX=0 只有零解（B） AATX=0 有非零解（C）对任何 5 维向量 ， AX= 都有解（D）对任何 4 维向量 ，A TX= 都有无穷多解6 设 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是7 在区间（1，1）上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标，设该质点落在（1，1）中任意小区间内的概率与
3、这个小区间的长度成正比，则（A）X 与|X|相关，且相关系数 |=1（B） X 与|X|相关，但| 1（C） X 与|X|不相关，且也不独立（D）X 与|X|相互独立8 设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，则 EX2，的矩估计量是二、填空题9 n 为给定的自然数，极限10 设 f（x）=x 2eax 在（0， +）内有最大值 1，则 a=_11 反常积分 0312 设平面区域 D=（x，y）x 3y1，1x1，f（x）是定义在a，a（a1 ）上的任意连续函数，则 2y（a+1）f（x）+（a 1）f（x）dxdy
4、=_13 已知 ，则 A1=_14 设二维随机变量（X，y）服从正态分布 N（， ； 2， 2；0），则Emin（X，Y）=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 F（x） =01（1t ）ln（1+xt ）dt（x1），求 F（x）（x1，x0）并讨论 F（x）在（1，+）上的连续性16 （）设 f（x）= 求f （x）dx；17 过原点作曲线 y= 的切线 L，该切线与曲线 y= 及 y 轴围成平面图形D（）求切线 L 的方程（）求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 y18 设积分区域 D=（x，y）|x 2+y2x+y，计算二重积分 （x 2+xy+y2）d 1
5、9 求证 f（x）=x （1x ）cosx （12x）sinx0 当 x 时成立20 设 1， 2， s 和 1， 2， t 都是 n 维列向量组，记矩阵A=（ 1， 2， ， s）， B=（ 1， 2， t）证明：存在矩阵 C，使得 AC =B 的充分必要条件是 r（ 1， 2， s； 1， 2， t）=r（ 1， 2， s）已知矩阵方程 AX=B 有解，求 a，b并求它的一个解21 已知 判断 A 与 B 是否相似？要说明理由22 设随机变量 X 的密度函数为 f（x），方差 DX=4，而随机变量 y 的密度函数为2f（ 2y），且 X 与 Y 的相关系数 XY= ，记 Z=X+2Y（）求
6、EZ，DZ；（）用切比雪夫不等式估计概率 P|Z|423 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 f（x）=x+0 是未知参数（）求 的矩估计量 （）求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 447 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 以(a)或(b)或 (c)为 y=f(x)的图形，从 0xf(t)dt 及 f(x)的几何意义来看其它两个图形是否分别是 y=0xf(t）dt 和 y=f（x）的图形若(a)是 y=f(x)的图形，则 f(x)在0，1单调上升且 f）0（x0，1） f
7、（x）0， 0xf(t）dt0( x(0，1)但(c) 中 x 轴下方有图像，故(a)不是 y=f(x）的图形，于是(A)，(B)均不正确若(b)是 y=f(x)的图形，则 f(x)有唯一最大值点 x0(0，1)，f(x）在0，x 0单调上升，在 x0，1 单调下降，且 f(x)0(x (0，1)，故 f(t)dt0 且单调上升(x0，1)，f（x）0（x（0，x 0），f（x 0）=0，f（x）0（x （x 0，1）因此(C)是正确的若 (C)是 y=f(x)的图形，则 f(x)在0，1单调下降，于是f（x）0因此(D) 不正确，故应选(C) 2 【正确答案】 D【试题解析】 由 y(x)所
8、满足的隐函数方程知函数 y=y(x)在 x=1 的邻域内任意次可导，将隐函数方程求导一次与两次可得 y(x)的一、二阶导函数 y（x）与 y“(x)分别满足 2yy+xy+y+2x+1=0，2yy“+xy“+2(y) 2+2y+2=0，在以上二式中分别令 x=1 并利用 y（1）=1 可知 y（1）=0，y“（1）=2再利用洛必达法则即可得到 故应选(D)3 【正确答案】 D【试题解析】 用换元法化为同一区间上的定积分比较大小，为此在由 f(x)0 且当 x 时 0cosx1故在区间从而积分值 JIK ，故应选(D)4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 对
9、，因为 r(A)=未知数个数 4 (B) 对，因为 AAT 是 5 阶矩阵。而r(AAT)5 (C)错，因为存在 5 维向量 不可用 A 的列向量组表示，使得 AX=无解 (D)对，因为 r(AT)=方程个数 4，对任何 4 维向量 ，r(A T|)不会大于 4.6 【正确答案】 D【试题解析】 首先可排除(A)因为 (A)=2，而(A)矩阵的秩为 1，所以它与 A 不合同两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手求出|EA|=A(+3)( 一 3)，A 的特征值为 0一 3，3显然(C)中
10、矩阵的特征值也是 0，一 3，3，因此它和 A 相似，可排除剩下(B)(D)两个矩阵中，只要看一个(D)中矩阵的特征值容易求出，为 0，一 11，因此它和A 合同而不相似(也可计算出(B)中矩阵的特征值为 01，4，因此 E 和 A 不合同)7 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 在一 11上服从均匀分布其概率密度为故cov(X，|X|) =0，从而 =0，X 与|X| 不相关于是可排除(A) 与(B) 对于任意实数a（0a1），有 PXa= P|X|a=a 又 PXa，|X|a=P|X|a=a，从而 PXaP|X|aPXa，|X|a，即 aa（0a1）所以 x与|X|不独立，故应选 (
11、C)8 【正确答案】 B【试题解析】 根据矩估计量的定义来选择正确的选项由于 EX2= DX+（EX 2，而DX 与 EX 的矩估计量分别是 所以 EX2 的矩估计量为 故选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 此极限是 1型未定式其中大括号内的极限是 型未定式，由洛必达法则，有10 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，+) 内可导，且取得最大值，所以其最大值必在 f(x)的驻点处取得，由 f（x）=2xe ax+ax2eax=0 知 x= 为 f(x)在(0，+)内唯一的驻点，故11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 令 F(x)=(x
12、+1)f(x)+(x1)f(x)则 F(x)=(x+1)f( x)+(x1)f(x)=一(x1)f( x)+(x+1)f(x)=一 F（x）即 F（x）为奇函数 （x+1 ）f(x）+（x 一1）f(一 x） dxdy= 1（x+1 ）f(x ）+ （x 一 1）f(一 x）dx x312ydy=11(1x6)F（x）dx=0 其中 1x6 为偶函数， F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 由题设 X，Y独立，则有 Z=XY-N(0，2 2)，于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
13、【正确答案】 先将 F(x)转化为变限积分，令 s=xt，则下面讨论 F（x）的连续性因 ln(1+s)，sln(1+s)当 s1 时连续，于是由式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当 x1 且 x0 时 F（x）连续，余下只需再求 F(0)并考察 F（x）在点 x=0 处的连续性注意 F(0)=0，且从而 F(x)在点x=0 处连续，又于是 F(0)=F(0)，F （x）在点 x=0 处连续这就证明了 F（x）在（1，+）上连续16 【正确答案】 () 用拼接法17 【正确答案】 () 设切线的切点为（x 0，y 0），则切线的斜率为 y（x 0）=，所以切线 L 的方程为 y= y0+
14、(x x0)其中 y0= 因 L 过(0，0)点，把 x=0，y=0 代入上述方程得 即 x 0=2，y 0=e 因此所求切线 L的方程为 ()平面图形 D 如右图取积分变量为y设 y= ex，y=e，) ，轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为 V1，它是锥体，V 1= （x 0，2）即 x=2lny(y1，e)，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 V2，则 V=V1V2，V 2=1ef(2lny)2dy = 4 yln2y|1ey2lny = 4e 21elydy = 4e 2ylny|1e+21edy= 4e 2e+2(e1) = 4(e 2)因此 V=
15、V1 V2=8 一18 【正确答案】 由于 x2+y2x+y 可改写为 则可把区域 D 表示为 D=（u， ）|u 2+2 ，而且因为D1 关于 u=0 或 =0 都对称，而 u， 分别是关于 u 或关于 的奇函数，故在 D1 中作极坐标变换，即令 u=rcos，=rsin，就有 综合即知（x 2+xy+y2）d=19 【正确答案】 注意 f(x）在 上连续，且 f(0）= =0先求 f（x）=一2x(1 一 x)sinx+(12x) cosx 一 (12x) cosx+2sinx=2 一 2x(1x)sinx其中 g(x)=22x（1x）显然，f（x）的正负号取决于g（x）的正负号，用单调性
16、方法判断 g（x）的符号由于 g（x）=一 2(1 2x)0 故 g（x）在 单调下降，又因 g(0)=2，从而存在唯一的 x0 使 g（x 0）=0又由从而 f(x)f(0)=0 （0xx 0），故 f(x)020 【正确答案】 根据向量组秩的性质， r(1， 2， s;1， 2， t)=r(1， 2， s) 1， 2， t 可以用 1， 2， s 线性表示如果矩阵 C使得 AC =B，记 C 的(i，j)位元素为 cij，则 j= c1j1+c2j2+csjs，j=1，2，s.从而 1， 2， t 可以用 1， 2， s 线性表示反之，如果 1， 2， t可以用 1， 2， s，线性表示，
17、设 j=c1j1+c2j2+csjs，j=1 ，2，s 记C 的(i，j)位元素为 cij 的 st 的矩阵，则由矩阵乘法的定义，AC=B21 【正确答案】 关于两个矩阵相似的有关性质是：相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手 = (+1)(22 3) = (+1)2(3)A 的特征值为1，1，3 =（ 一3）( 2+2+1) =（ 一 3）(+1) 2B 的特征值也是1，1，3再看 3 它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看 r(A+层)和 r(B+E)是否为 1 r
18、(A+E)=1，因此 A 有属于特征值1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵r(B+E)=2，因此 B 没有两个属于特征值1 的线性无关的特征向量，B 不相似于对角矩阵22 【正确答案】 ()EZ = E(X+2Y)=EX+2EY =+xf(x)dx+2+y2f(2y)dy=+xf（x）dx+ +（一 2y）f(一 2y)d（一 2y） +xf（x）dx+tf(t)dt=0，由此可知，EZ=0 ，EY= EX又 DY=EY2 一(EY) 2，而 EY2=+y22f(一 2y)dy= +（一 2y） 2f(一 2y）d（一 2y）所以 DY=EY 2 一(EY) 2=DZ = D(X+2Y) = DX+4DY+4cov(X，Y)= DX+4DY+ ()由切比雪夫不等式P|Z|4 = P|ZEZ|423 【正确答案】 由 1=+f（x）dx=a +()由于 X 的一阶矩 EX=+xf（x）dx= 故考虑 X 的二阶矩 EX2=+x2f（x）dx= +=2(3) = 22而样本的二阶矩为 Xi2，所以 的矩估计量为 ()似然函数为 L（x 1， 2，x n；）=取对数有
