1、考研数学（数学三）模拟试卷 449 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f（x）=x 33x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（A）|k|2（B） |k|1（C） |k|1（D）|k|22 设 f（ x）=（1+x 2） x2，g（x）= 01cosxsint2dt，则 x0 时 f（x）是 g（x）的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小3 设 f（ x）在0 ，1上连续，且 f（x）+f （1x）0 ，则（xx 2）dx=（A）0（B）（C）（D）14 极数 的收敛域为（A）(0 ，4)（B） 0，4)
2、 （C） (0，2) （D）0 ，2)5 设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（A）把 A1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B1（B）把 A1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B1（C）把 A1 第 2 行的3 倍加到第 4 行上得到 B1（D）把 A1 第 4 行的3 倍加到第 2 行上得到 B16 设 4 阶矩阵 A=（ 1， 2， 3， 4），已知齐次方程组 AX=0 的通解为 c（1，2，1，0） T，c 任意，则下列选项中不对的是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2 线性无关（C） 1， 2，
3、 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关7 将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第二次出现奇数点 ”，事件 C 表示“ 偶数点最多出现一次” ，则（A）A，B，C 两两独立（B） A 与 BC 独立（C） B 与 AC 独立（D）C 与 AB 独立8 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N（0，1）的简单随机样本， ，S 2 是样本均值与样本方差，则下列不服从 2（n1）分布的随机变量是二、填空题9 设函数 在 x=1 处连续，则 A=_10 已知函数 f（x）=ax 3+x2+2 在 x=0 和 x=1 处取得极值则曲线 y=f（x）的
4、拐点是_11 设 ，其中 f（u，）是连续函数，则 dz=_12 二阶微分方程 y“=e2y 满足条件 y（0）=0 ，y（0）=1 的特解是 y=_13 已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则（A *） *的特征值为_14 假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是p（0p1）现进行再复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 =a（a0），求 n 及 a 的值16 求常数 k 的取值范围，使得 f（x）=kln（1+x ）arctanx 当 x0 时单调
5、增加17 设函数 f（x，y）= 计算二重积分 其中 D=（x，y）|x 2+（y1） 2118 作自变量替换 把方程变换成 y 关于 t 的微分方程，并求原方程的通解19 证明推广的积分中值定理：设 F（x）与 G（x）都是区间a，b上的连续函数，且 G（x）0，G（x） 0，则至少存在一点 a，b使得 abF（x）G （x）dx=F（） abG（x）dx20 1=（1，0，0，1） T， 2=（1，1，0，0） T， 3=（0，2，1，3）T， 4=（0，0，3，a ） T，=（1，b，3，2） T. a 取什么值时 1， 2， 3， 4 线性相关？此时求 1， 2， 3， 4 的一个极大
6、线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出 在 1， 2， 3， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1， 2， 3， 4 线性表示？写出一个表示式21 设二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（x 1，x 2，x 3） 已知它的秩为1求 x 和二次型 f（x 1，x 2，x 3）的矩阵 作正交变换将 f（x 1，x 2，x 3）化为标准二次型22 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为（）求随机变量 Y关于 X=x 的条件密度；（ ）讨论随机变量 X 与 Y 的相关性和独立性23 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p（0p1）现进行 10 批试验
7、，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：（）试验成功率 p 的矩估计值；（）试验失败率 q 的最大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 449 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)为三次多项式，至少有一个零点，y=f(x)只有以下三种情形故选(A)2 【正确答案】 B【试题解析】 这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小替换得其中用了下面的等价无穷小替换：x0 时(1+x 2)x21ln(1+x 2)x21+1 = x2ln(1+x2)x 4，sin(1 cosx)2(1 cosx)2
8、（ x2） 2故应选(B) 3 【正确答案】 B【试题解析】 该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去 f(x)令 1x=t，x=1t 则4 【正确答案】 A【试题解析】 因题设的幂级数是缺项幂级数，故可直接用比值判别法讨论其收敛性首先当 x2=0 即 x=2 时级数收敛当 x2 时，由此可知当0|x 2|2 0x2 或 2x4 时级数绝对收敛又当 x=0 和 x=4 时得正项级数 是发散的，综合可得级数的收敛域是(0，4)，故选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 B=AE(2 ，4(3)，B 1=E(2，4(3） 1A1=E（2，4（3）A 1，因此 B1 是
9、把 A1 第 4 行的3 倍加到第 2 行上得到。6 【正确答案】 D【试题解析】 条件说明 1 22+3=0，并且 r（ 1， 2， 3， 4）=3 显然1， 2， 3， 4 线性相关，并且 r（ 1， 2， 3， 4)=2 3 可用 1， 2 线性表示，因此 r（ 1， 2）=r（ 1， 2， 3， 4）=2 1， 2 线性无关(A) 和(B)都对 r（ 1， 2， 4， 4）= r(1， 2， 3， 4)=3，(C) 对(D) 错7 【正确答案】 D【试题解析】 应用条件概率是否与无条件概率相等来判断独立性故 A 与 C 不独立，(A) 不正确所以 故 A 与 BC 不独立，(B)不正确
10、由于P(B|AC)=1P(B)，故 B 与 AC 不独立，(C)不正确由于 P(C|AB)= =P(C)，故 C与 AB 独立，所以应选(D)8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XiN(0，1)，故 Xi2 i2(1)，由 2 分布的可加性知Xi2 2(n)又 2（n1），故(A)正确，可知(B)不服从 2（n1）分布，因此应选(B)又 =（n1）S 2 2（n1），Xi2 2（nl），说明(C)与(D) 均服从 2（n 1）分布二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则求极限 因为10 【正确答案】 【试题解析】 函数表达式含有未知参数 a，可由已知 x=0，x= 1 处取
11、极值来确定a 的值f（x）= 3ax 2+2x=x(3ax+2)，驻点为，x=0，x= 由 x=0，x=1 是极值点，可知 a= 于是 f(x)=2x(x1+1)，f“(x)=4x+2令 f“(x)=0，得 x= 又 f“(x)在 x= 左右异号，故曲线的拐点为11 【正确答案】 f(xy2，)(y 2dx+2xydy)【试题解析】 先求偏导数：12 【正确答案】 一 ln(1x)【试题解析】 此二阶方程不显含 x 且不显含 y，将方程两边同乘 y得 yy“=e2yy即积分得 y 2=e2y+C1 由 y(0)=0，y(0)=1，定出 C1=0因 y(0)=1 0，故可求 y0 的解 y=ey
12、，可求出 y=一 ln(1x)13 【正确答案】 6，12，18【试题解析】 方法一 利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特征值|A|=1（2）3=6，于是 A*的特征值为6，3，2，|A *|= 36则(A *)*的特征值为 6，12， 18 方法二 用关系式 (A*)*=|A|n2A，本题n=3，|A|= 6，则（A *） *= 6A，其特征值为6，12， 1814 【正确答案】 【试题解析】 首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2，3，且 PX=n=pqn1+qpn1， (q=1 p)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
13、步骤。15 【正确答案】 分子的极限不为零，当 n=2 时，分母的极限不为零，所以当 n=2 时，a=一 2e216 【正确答案】 x(0+)时 f(x)单调增加 f（x）0(x(0，+)且在(0，+)的子区间上 f(x) 0f(x)=kln(l+x)arctanx，则若 k0，则 f（x）0(x0)，于是只需考察 k0 的情形令 g（x）=kx 2x+k1，则当x0 时 f（x ）与 g（x）同号由于 g（x）满足由此可见 g（x）在(0，+)上的最小值 为使 g（x） 0 必须且只需正数满足即使得f(x)=kln(1+x)arctanx 当 x0 时是单调增函数的 k 是大于或等于 的一切
14、正数17 【正确答案】 如图所示，设在直线 y=1 下方的部分记为 D1，在 V=1 上方的部分记为 D2，且 D2 在 y 轴右侧的部分记为 D2，于是18 【正确答案】 () 先求将，代入原方程得()求解二阶常系数线性方程 相应的特征方程 2+2+1=0，有重根 =1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得一（Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即 AcostBsint=sint，比较系数得 A=0，B=1即 y*(t)=cost，因此的通解为 y=(Cl+C2t)et 一 cost( )原方程的通解为y=(C1+C
15、2arc8inx)earcsinx 其中 sin2(arcsinx)+cos2(arcsinx)=1，cos(arcsinx)=19 【正确答案】 设 F(x)在a，b 上的最大值与最小值分别是 M 与 m，利用 G（x）0 且 G（x） 0 即知当 Xa，b时 m，G（x）F(x)G(x)MG(x)，由定积分的性质即知 mabG(x)dx=abmG(x)dxabF(x)G(x)dxabMG(x)dx=MabG(x)dx，由于 G（x）0 且 G（x）0，故 abG（ x）dx0从而有 再由F(x)是以 m 与 M 分别为其最小值与最大值的区间 a，b上的连续函数即知存在a， b使得 即 ab
16、F（x） G（x）dx=F（) abG（x）dx20 【正确答案】 两个小题都关系到秩， 1， 2， 3， 4 线性相关r(1， 2， 3， 4)4； 可用 1， 2， 3， 4 线性表示 r(1， 2， 3， 4，)=r(1， 2， 3， 4)因此应该从计算这两个秩着手以 1， 2， 3， 4， 为列向量构造矩阵（ 1， 2， 3， 4， ），然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵：(1， 2， 3， 4，)=r（ 1， 2， 3，4）4 a=3 1， 2， 3 是 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，并且 4=61+6233（ 1， 2， 3， 4，)=r（ 1， 2， 3， 4）=3
17、，则 b=2= 71+823321 【正确答案】 二次型的矩阵 它的秩为 1，则 a=4的秩为 1，则特征值为 0，0，9属于 0 的特征向量即AX=0 的非零解，求出此方程组的一个基础解系： 1=(0，1，1) T， 2=(2，0，1) T，对它们作施密特正交化得再求得属于 9 的一个特征向量 3=（1，2，2） T，作单位化得 3=（1/3，2/3，2/3） T令Q=(3， 1， 2)= 则正交变换 X=QY 把原二次型化为9y1222 【正确答案】 () 先求 X 的边缘密度对任意 x0，有 fX(x)=+f(x，y)dy=x+（y 2 一 x2）e ydy= x+y2dey+ x2+d
18、ey= (y2ey+2yey+2ey)|x+ x2ex= （x 2ex+2xex+2ex 一 x2ex）= （1+x）e x；对于任意 x0，有一 xy+，因此 fX(x)= x+(y2 一 x2)eydy= （y 2ey+2yey+2ey）| x+ x2ex= （x 2ex2xex+2ex）一 x2ex= （1 一 x）e x= (1+|x|)e|x|于是，X 的边缘密度 fX(x)= （1+|x| ）e |x|，一 x+故对于任意 x，随机变量 Y关于 X=x 的条件密度为()为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度由于fX（ x） fY(y)f(x，y)，故 X，Y 不独立又 EXY=bxy
19、f(x，y)dxdy= +yeyyyx(y2 一 x2)dxdy=0，EX= +xfX(x)dx= +(1+|x|)e|x|dx=0所以cov(X，Y)=EXYEYEY=0从而可知 X 与 Y 既不独立，也不相关23 【正确答案】 试验成功率 p 的矩估计量 相应矩估计值为 ()最大似然函数 L（x 1，x 10；p），简记为 L，则于是试验成功率 p 的最大似然估计值 根据最大似然 f 占汁的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为【试题解析】 依题意，试验总体 X 服从参数为 p 的儿何分布，即 PX=m=pqm1，其中，n=1，2，q=1p题中数据就是从总体 X 中取出的样本值，样本容量 n=10其未知参数 p 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求，
