1、考研数学（数学三）模拟试卷 450 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知当 x0 时，f(x)=arcsinxarctanax 与 g(x)=bxxln(1+x)是等价无穷小，则( )（A）a=b=1。（B） a=1，b=2。（C） a=2，b=1。（D）a=b1。2 设 f(x)= +x，则 f(x)有( )（A）两条斜渐近线。（B）一条水平渐近线，一条斜渐近线。（C）两条水平渐近线。（D）一条斜渐近线，没有水平渐近线。3 设 f(x)是连续且单调递增的奇函数，设 F(x)=0x(2ux)f(xu)du，则 F(x)是( )（A）单调递增的奇函数
2、。（B）单调递减的奇函数。（C）单调递增的偶函数。（D）单调递减的偶函数。4 已知函数 f(x，y)满足 =0，则下列结论中不正确的是 ( )（A）f(x，y)在(0，0)点可微。（B） fx(0， 0)=2。（C） fy(0， 0)=1。（D）f x(0，0)和 fy(0，0)不一定都存在。5 设 ，则矩阵 A 和 B( )（A）合同且相似。（B）合同不相似。（C）相似不合同。（D）既不相似，也不合同。6 设 A，B 均为 3 阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 B= ，则( )（A）若 a=2，则 r(A)=1。（B）若 a2，则 r(A)=2。（C）若 a=1，则 r(A)=1。（D）若
3、a1，则 r(A)=2。7 已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；) ，则随机变量 X+Y 与 XY必( )（A）相互独立且同分布。（B）相互独立但不同分布。（C）不相互独立但同分布。（D）不相互独立也不同分布。8 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(x， y)，其中 X 服从正态分布N(0，1)，且 Y=X，若 F(a，b)= ，则( )（A）a=b=0。（B） a=0，b0。（C） a0，b=0。（D）mina，b=0。二、填空题9 =_。10 设 f(x)=xsin2x，则 f(2017)(0)=_。11 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“2y+5y=e xc
4、os2x 的通解为 y(x)=_。12 差分方程 yx+12y x=x2 的通解为_。13 设 A 为三阶非零矩阵，已知 A 的各行元素和为 0，且 AB=0，其中 B=，则 Ax=0 的通解为 _。14 设随机变量 X1，X 2 相互独立，X 1 服从正态分布 N(， 2)，X 2 的分布律为PX2=1=PX2=1= ，则 X1X2 的分布函数间断点个数为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，且满足 f(x)=(x) 2 0x tf(xt)dt，求 f(x)。16 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=2， y=0，y=2 以及曲线 x=所围成的平面
5、图形。17 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0。证明：()存在一点 (a，b)，使得 f()=2f()；()存在一点 (a，b) ，使得 f()=3f()g()。18 求幂级数 的收敛域与和函数，并求 的和。19 假设某种商品的需求量 Q 是单价 p(单位：元)的函数： Q=1200080p，商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数：C=25000+50Q，每单位商品需要纳税 2 元。试求使销售利润最大时的商品单价和最大利润额。20 设线性方程组 已知(1，1，1，1) T 是该方程组的一个解，试求： ()方程组的全部解，并用对应的齐次线性
6、方程组的基础解系表示全部解； ()该方程组满足 x2=x3 的全部解。21 设二次型(x 1，x 2，x 3)=4x223x 32+2ax1x24x 1x+3+8x2x3(其中 a 为整数)经过正交变换化为标准形 f=y12+6y22+by32，求： ()参数 a，b 的值； () 正交变换矩阵Q。22 设随机变量 Y 服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 Xk= k=0，1。试求： ()X 0 和 X1 的联合分布律； ()E(X 0X 1)； ()Cov(X 0，X 1)。23 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= X1，X n 为来自总体X 的简单随机样本。 ()求 的矩估计量 ；
7、( ) 求 。考研数学（数学三）模拟试卷 450 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据等价无穷小的定义，那么 1a=0，则有 a=1，b=1 。故选(A) 。2 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。水平渐近线：在x方向， 所以y=0 为函数 f(x)的一条水平渐近线。斜渐近线： 所以 y=2x为函数 f(x)的一条斜渐近线。故选(B) 。3 【正确答案】 B【试题解析】 令 xu=t ，则 F(x)= 0x(x2t)f(t)dt，F( x)= 0x (x2t)f(t)dt， 令t=
8、u， F(x)= 0x(x+2u)f( u)du= 0x(x2u)f( u)du 。 因 f(x)是奇函数， f(x)=f(x) ，F(x)= 0x(x2u)f(u)du， 则有 F(x)=F(x)为奇函数。 F(x)=0xf(t)dtxf(x)， 由积分中值定理可得 0xf(t)dt=f()x， 介于 0 到 x 之间， F(x)=f()x xf(x)=f()f(x)x ， 因为 f(x)单调递增，当 x0 时， 0，x，f() f(x)0，所以 F(x)0，F(x)单调递减；当 x0 时，x，0，f()f(x) 0，所以F(x)0，F(x)单调递减。所以 F(x)是单调递减的奇函数。4 【
9、正确答案】 D【试题解析】 根据多元函数可微的定义， 其中A=fx(x，y) ， B=fy(x，y)，那么有通过观察 f(x，y)在(0，0)点可微，fx(0，0)=2，f y(0，0)=1，故选择(D) 。5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以 A的特征值为 0，1，4。两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同；两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。故选(B)。6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3。当 a=2 时，r(B)=2，所以 r(A)3r(B)=1 ；另一方面，A 为 3 阶非零矩阵，所以 r(A)1，从而 r(A)
10、=1。故选(A) 。7 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；)，所以他们的线性组合也是正态分布， X+YN(0，2 2+22)，X YN(0，2 22 2)，故分布不同。 而 Cov(X+Y，XY)=0，则 X+Y，XY 不相关，因为(X+Y ，X Y)仍是二维正态分布，所以不相关与独立等价。 8 【正确答案】 D【试题解析】 由题可得从而 PXmina，b= ，即 mina，b=0。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 该题极限形式为和式极限，则可使用夹逼定理进行计算。两边取极限可得， 由夹逼定理可知，原极限为 。10 【正确答案】 2
11、20152017【试题解析】 f(x)=xsin 2x= 求 2017 次导数为 0，对于 ，根据莱布尼茨公式可得11 【正确答案】 e x(C1cos2x+C2sin2x)+ ，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 该方程的齐次方程所对应的特征方程为 22+5=0，解得特征根为=12i，可知齐次方程的通解为 ex(C1cos2x+C2sin2x)。该方程的非齐次项根据叠加原理此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得 根据特征根=12i 可知，方程(1)的特解可设为)，y 1*=Cex，代入方程(1)解得 C= ，故 y1*=；方程(2)的特解可设为 y 2*=xex(Acos2x+Bsi
12、n2x)，12 【正确答案】 C2 xx 22x3，CR【试题解析】 齐次方程 yx+12y x=0 的通解为 C2x，CR。 设非齐次方程的特解为yx*=ax2+bx+c，则 a(x+1) 2+b(x+1)+c2(ax 2+bx+c)=x2， 整理可得 ax 2+(2ab)x+a+bc=x 2， 解得 a= 1，b=2，c=3。可知差分方程的通解为 C2xx 22x3，CR。13 【正确答案】 k 1(1，2，3) T+k2(1，1，1) T，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 因为 AB=O，所以显然有 A(1，2，3) T=0；另一方面，因为 A 的各行元素和为 0，所以 A(1，1
13、，1) T=0。 又因为 A 为三阶非零矩阵，所以 Ax=0 的基础解系的线性无关的解向量至多有两个，所以 Ax=0 的通解为 k 1(1，2，3)T+k2(1，1，1) T，k 1，k 2 为任意常数。14 【正确答案】 0【试题解析】 分布函数的间断点即概率不为 0 的点，令 Y=X1X2( ，+) ，由于 X1，X 2 相互独立。则 PY=a=PX 2=1，X 1=a+PX2=1，X 1=a =PX 2=1PX1=a+PX2=1PX 1=a=0。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 s=xt，得 f(x)=(x) 2 x(xs)f(s)ds，即 f(x
14、)=(x )2x xf(s)ds+xsf(s)ds， (1)现需要把它转换成微分方程问题。(1)式两边求导得 f(x)=2(x) xf(s)ds， (2)又(1)式中令 x= 得 f()=0。 再对(2)式求导得 f“(x)+f(x)=2。在 (2)式中令 x= 得 f()=0。于是问题转化为初值问题 其中 y=f(x)。这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解 y*=2，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx+2。 y=f(x)=2cosx+2。16 【正确答案】 在直角坐标系下化为累次积分计算，选取先对 x 积分再对 y 积分的顺序。题中所给区域如图 2 所示：17 【正确答案】 (
15、) 令 (x)=e2x f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0，根据罗尔定理，存在一点 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e2x f(x)2f(x)且e2x 0，所以 f()=2f()。 ()令 h(x)=f(x)e3g(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 h(a)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在一点 (a，b)，使得 h()=0，而 h(x)=e3g(x)f(x)+3f(x)g(x)且 e3g(x)0，所以 f()=3f()g()。18 【正确答案】 由 =x 3，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，幂级数发散；当 x=1 时，幂级数 收敛：当 x=1
16、 时，幂级数 发散。因此该幂级数的收敛域为(1，1。19 【正确答案】 以 L 表示销售利润额，则 L(p)=(12 00080p)(p2)(25 000+50Q) =80p 2+16 160p649 000， L(p)=160p+16 160， 令 L(p)=0；得p=101。 由于 L“ p=101= 1600，可见，p=101 时， L 有极大值，也是最大值(因为 p=101 是唯一驻点 )。最大利润额 L p=101=167 080(元)。 20 【正确答案】 将(1，1，1，1) T 代入方程组，得 =。对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得r(A)=34，故方程组有无穷多解，且 0=
17、 为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 =(2，1，1，2) T，故方程组的全部解为k 为任意常数。当 = 时，有r(A)= =24，故方程组有无穷多解，且 0=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为1=(1，3，1，0) T， 2=(1，2，0，2) T，故方程组的全部解为k1，k 2 为任意常数。其中 k2 为任意常数。21 【正确答案】 () 二次型矩阵为 A= ，由二次型的标准形f=y12+6y22+6y32，可知该二次型矩阵的特征值为 1=1， 2=6， 3=b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组22 【正确答案】 ()PX 0=0，X 1=0=PY0，Y1=PY
18、=0=e 1 ， PX0=1，X 1=0=PY0，Y1=PY=1=e 1 ， PX 0=0，X 1=1=PY0，Y1=0， PX 0=1，X 1=1=PY0，Y1=PY1 =1PY=0 PY=1=1 2e 1 。 所以 X0 和 X1 的联合分布律为：()由()知，X 0 和 X1 的边缘分布律为： 所以，E(X0X 1)=E(X0)E(X 1)=(1e 1 )(12e 1 )=e1 。 ()由()()的计算结果，X0X1 的分布律为：Cov(X0，X 1)=E(X0X1)E(X 0)E(X1)=12e 1 (1 e 1 )(12e 1 )=e1 2e 2 。23 【正确答案】 ()E(X)= +xf(x)dx= 得 的矩估计量
