1、考研数学（数学三）模拟试卷 451 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f“(0)=2，则 =( )2 曲线 y= 的渐近线条数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。3 下列命题中正确的是( )4 设 ，其中D=(x，y) x 2+y21 ，则( )（A）MNP 。（B） NM P 。（C） M=NP。（D）M=PN。5 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若矩阵 AB 可逆，则下列说法中正确的是( )（A）A 的行向量组线性无关，B 的行向量组也线性无关。（B） A 的行向量组
2、线性无关，B 的列向量组线性无关。（C） A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关。（D）A 的列向量组线性无关，B 的列向量组也线性无关。6 设 1， 2， 3， 4， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（A）若 1， 2， 3， 4 线性相关，那么当 k1，k 2，k 3，k 4 不全为 0 时，k11+k22+k33+k44=0。（B）若 1， 2， 3， 4 线性相关，那么当 k11+k22+k33+k44=0 时，k1，k 2，k 3，k 4 不全为 0。（C）若 5 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，则 1， 2， 3， 4 线性相关。（D）若 1， 2，
3、3， 4 线性相关，则 5 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出。7 设 A，B 为随机事件，且 0P(A)1，则下列说法正确的是( )（A）若 P(A)=P(AB)，则 A B。 （B）若 P(A+B)=P(AB)，则 A=B。（C）若 P(AB)= ，则 A，B 为对立事件。（D）若 P(AB)= ，则 A，B 相互独立。8 设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，X 1，X 2，X n 是来自 X 的简单随机样本，统计量 T= 的期望为( )二、填空题9 =_。10 差分方程 yx+12y x=3x2 的通解为_。11 设 f(x，y， z)=exyz2 是由 x+y+z+xyz=0
4、确定的隐函数，其中 z=z(x，y)，则fx(0，1，1)=_。12 曲线 = (1r3)的弧长为_。13 设 A，B 为三阶相似矩阵，且2E+A =0 ， 1=1， 2=1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB =_。14 相互独立的随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 N(0， )，则 D(X 1X 2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P0，对应的需求量为 Q0 时，边际收益 R(Q0)=2，R(P 0)=150，需求对价格的弹性 EP 满足E P= ，求 P0 和
5、 Q0。17 根据 k 的不同的取值情况，讨论方程 x33x+k=0 实根的个数。18 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在满足01 的 ，使得 f()+f()=0。19 计算二重积分 ，其中 D 为平面区域 (x，y)x 2+y22x，x1。20 讨论线性方程组 的解的情况，在线性方程组有无穷多解时，求其通解。21 设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3。 () 证明矩阵 A 能相似于对角矩阵； ()若 =(0，1，1)T， =(1，0，1) T，求矩阵 A。22 已知随机变量 X 的概率密度为 f
6、X(x)= 当 X=x(x0)时，Y 服从(0，x)上的均匀分布。 () 求(X，Y)的联合概率密度； ()求关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)及条件概率密度 fXY (xy)； ( )判断随机变量 X，Y 是否独立，并说明理由。23 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，样本矩阵和样本方差分别为 和 S2。记 T= +kS2，已知统计量 T 是 2 的无偏估计，求 k 并在 =0时计算 D(T)。考研数学（数学三）模拟试卷 451 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据反函数求导法则2
7、【正确答案】 C【试题解析】 因为 =，所以 x=0 是一条垂直渐近线；因为=，所以不存在水平渐近线；则y=x+1 是一条斜渐近线；所以y= x 1 是一条斜渐近线。综上一共有三条渐近线，故选择(C)。3 【正确答案】 D【试题解析】 选项(D) ，若 绝对收敛，则 收敛，因此可得 =0，而un2 是 un 的高阶无穷小，根据正项级数判别法，低阶收敛能推出高阶收敛，因此收敛，故选择(D) 。4 【正确答案】 C【试题解析】 M= 因为积分区域 D关于 x 轴和 y 轴都对称，x 3、3xy 2 是关于 x 的奇函数，3x 2y、y 3 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 M=0。 因为积
8、分区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称，sinxcosy 是关于 x 的奇函数，sinxcosy 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 N=0。 因为积分区域为 D=(x，y)x 2+y21，则有 ex+y 10，即 P0。故有 M=NP，选择(C) 。5 【正确答案】 B【试题解析】 由于矩阵 AB 可逆，可知 r(AB)=m，而 r(A)、r(B)r(AB)，且有r(A)，r(B)m，可知 r(A)=r(B)=m。因此，矩阵 A 行满秩，矩阵 B 列满秩，即 A的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关，故选(B)。6 【正确答案】 C【试题解析】 (C) 选项，反证法。假设 1，
9、2， 3， 4 线性无关，因为1， 2， 3， 4， 5 必线性相关(5 个 4 维列向量必线性相关 )，则 5 可由1， 2， 3， 4 线性表出，矛盾。从而 1， 2， 3， 4 线性相关。7 【正确答案】 D【试题解析】 因为两个事件发生的概率相等并不意味着两事件相等，所以(A)(B)(C)不一定成立，而 从而可得 P(AB)=P(A)P(B)，则 A，B 相互独立。8 【正确答案】 B【试题解析】 由期望的定义和性质可得，二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 通过拼凑将所给极限变形并由等价无穷小代换得10 【正确答案】 y x=A.2x96x3x 2，A 为任意常数【试题解析】 对
10、应的齐次方程的通解为 yx*=A.2x(其中 A 为任意常数)。 非奇特解与右端为同名函数，因此设 =B0+B1x+B2x2，代入给定方程，有 B 0+B1(x+1)+B2(x+1)22B 02B 1x2B 2x2=3x2，整理得 (B 0+B1+B2)+(B 1+2B2)xB 2x2=3x2，比较同次幂的系数得B 0+B1+B2=0，B 1+2B2=0，B 2=3，故 B0=9，B 1=6，B 2=3。 因此，通解为 yx=yx*+ =A.2x96x3x 2，A 为任意常数。11 【正确答案】 1【试题解析】 z 是关于 x，y 的函数，因此 f(x，y，z)=e xyz2 两边对 x 求偏
11、导可得，x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导可得12 【正确答案】 2+【试题解析】 曲线的参数方程为 (1r3)，根据弧长公式，13 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=(1) 32EA=0，知2EA=0，=2 为A 的一个特征值，由 AB，故 A，B 有相同特征值。因此 B 的三个特征值为1=2， 2=1， 3=1，且存在可逆矩阵 P，使得 P1 BP= 。于是从而E+B=9，且A= 123=2。故A+2AB= A(E+2B) = A .E+2B=2.9=18。14 【正确答案】 1【试题解析】 随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 N(0， )，记 Z=X1X 2，则Z
12、N(0，1) ，因此有概率密度 (z)= 。D( X 1X 2)=D(Z)=E(Z 2)E( Z) 2=E(Z2)E(Z) 2 =D(Z)+E(Z)2E(Z) 2，其中 D(Z)=1， E(Z)=0，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 利用泰勒公式展开可得16 【正确答案】 由题意，收益既可以看作是价格的函数，也可以看作是需求量的函数。由此，R(P0)=Q0(1+EP)=150，R(Q 0)=P0(1+ )=2。又因为需求函数单调减少，可得 0，所以EP0，E P= 。由此解得 P0=6，Q 0=300。17 【正确答案】 令 f(x)=x 33x+k，xR，
13、 令 f(x)=3x23=0，解得驻点x=1， x=1，函数的单增区间为(，1) ，(1， +)，单减区间为1，1，因此该函数至多有三个根。 因为函数 f(x)连续，根据零点定理， f()0，f(1)=2+k，f(1)=k2，f(+) 0。 k2 时，f( 1)0，f(1)0，函数在(1，+)上存在唯一一个根； 2k2 时，f(1)0，f(1) 0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根； k2 时，f(1)0，f(1) 0，函数在( ，1)存在唯一一个根； k=2 时，f(1)=0，f(1) 0，方程在 x=1 处和(1，+)内各有一个根，共两个根；k=2 时， f( 1)0，f(1)=0，方
14、程在 x=1 处和(，1)内各有一个根，共两个根。综上所述，k18 【正确答案】 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，在 上分别使用拉格朗日中值定理，可知存在 ，使得由 f(0)=f(1)，可知(1)+(2)得，f()+f()=0。故存在 01，使得 f()+f()=0。19 【正确答案】 二重积分先画出积分区域，如图 2 所示，为右侧的阴影部分，由于积分区域关于 x 轴对称，根据被积函数中 y 的奇偶性，被积函数 是关于y 的奇函数，所以有 选用极坐标求二重积分20 【正确答案】 系数矩阵为 A= ，增广矩阵为从而A=(a+3)(a1) 3。 当 a3 且 a1 时，方程组有唯一解；
15、 当 a=1 时，r(A)=r(A，b)=1 ，方程组有无穷多解，对增广矩阵作初等变换 从而所对应的齐次方程组的基础解系为 1=(1，1，0，0) T， 2=(1，0，1，0) T， 3=(1，0，0，1) T，特解为 *=(1，0，0，0) T，则方程通解为 x= *+k11+k22+k33，k 1，k 2，k 3 为任意常数。 当 a=3 时，r(A)=r(A ，b)=3 ，方程组有无穷多解对增广矩阵作初等变换从而所对应的齐次方程组的基础解系为 =(1，1，1，1) T，特解为 *=(2，1，4，0) T，则方程通解为 x=*+k，k 为任意常数。21 【正确答案】 () 因为 A 的各行
16、元素和为零，从而 =0 为 A 的一个特征值，并且 =(1，1，1) T 为 A 属于 =0 的特征向量。 另一方面，又因为 A=3，A=3，所以 A(+)=3(+)，A()=3() ，=3 和 =3 为 A 的两个特征值，并且+ 和 为 A 属于 =3，3 的特征向量，可见 A 有三个不同的特征值，所以A 能相似于对角矩阵。 ()A 的三个特征向量为 =(1，1，1) T，+=(1 ，1，0)T， =(1，1，2) T，22 【正确答案】 () 由题知当 x0 时，f YX (yx)=当 x0 时，f(x，y)=0。 ()因为 f(x，y)f X(x).fY(y)，所以 X，Y 不独立。23 【正确答案】 由题意 E(T)=2，而
