1、考研数学（数学三）模拟试卷 452 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，则 ( )2 下列广义积分收敛的是( )3 将二重积分 改写成直角坐标形式为( )4 设 ， ， 均为大于 1 的常数，则级数 ( )（A）当 时收敛。（B）当 时收敛。（C）当 时收敛。（D）当 时收敛。5 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列上得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )6 已知 ，则 A 与 B( )（A）等价、相似、合
2、同。（B）等价、相似、不合同。（C）不等价、不相似、不合同。（D）等价、不相似、合同。7 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，方差存在且不为零，记 U=XY ，V=X+Y ，则U 与 V 必然( )（A）不独立。（B）独立。（C）相关系数不为零。（D）相关系数为零。8 设 X1，X n，是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2，则下列服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( )二、填空题9 函数 y=f(x)由参数方程 所确定，则=_。10 (x2+0x sin3tdt)xcos2xdx=_。11 以 C1ex +C2ex+C3 为通解的常系数齐次线性微分方
3、程为_。12 设函数 z=f(x，y)由方程 xaz=(ybz)所确定，其中 可导，且 ab0，则=_。13 设矩阵 A= ，若存在不相同的矩阵 B，C 使得 AB=AC，且 A*O，则a=_。14 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X2eX )=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在( ，0上连续，且满足 0xtf(t2x 2)dt= ln(1+x2)，求 f(x)及其极小值。16 设抛物线 y=ax2+bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 ，试确定 a，b，c 的值，使所围图形
4、绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小。17 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)=2f(x)dx，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f“()=0。18 将函数 f(x)= 展开成 x2 的幂级数，并求出其收敛域。19 设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时总收益函数为 R(x，y)=27x+42yx 22xy4y 2，总成本函数为 C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。 ()在不限制排污费用支出的情况
5、下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总和为 6 万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?20 设矩阵 ，Ax= 有解但不唯一。()求 a 的值；()求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵；() 求正交矩阵 Q，使得 QTAQ 为对角矩阵。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+ax22+2x32+2x1x22bx 1x3+2x2x3，经过正交变换化为3y12+3y22。 ()求 a，b 的值； ()求正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形。22 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 已知 E(
6、X)=2，P(1X 3)= ，求：()a，b，c 的值；()随机变量 Y=eX 的数学期望与方差。23 设总体 X 服从0， 上的均匀分布，X 1，X 2，X 3，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求：()未知参数 的最大似然估计量 ；() 的值。考研数学（数学三）模拟试卷 452 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 已知 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，因此有可知 c=0。又得 a=0，b=2。故选(D)。2 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中，因此该积分发散。选项(B)中， ，
7、该积分发散。选项(C)中， 该积分收敛。选项(D) 中，该积分发散。故选(C)。3 【正确答案】 C【试题解析】 极坐标系中的 2sec 对应直角坐标系中的直线 x=2，极坐标系中的2csc 对应直角坐标系中的直线 y=2，因此根据极坐标系下的表达式可画出积分区域如图 1 所示： 根据极坐标系与直角坐标系间的关系x=rcos，y=rsin，可得二重积分化为直角坐标形式为 。故选(C)。4 【正确答案】 B【试题解析】 这里有三种类型的无穷大量：n (0)，q n(q1)，ln n(1) ，当n+，它们的关系是 =0。现将此正项级数的一般项进行变形：5 【正确答案】 D【试题解析】 将 A 的第
8、 1 列与第 2 列交换得 B，可知 B= ，把 B 的第2 列加到第 3 列上得 C，则 C= ，因此故选(D)。6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 r(A)=3，r(B)=3 ，所以 A 与 B 等价。A 与 B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与 B 相似，否则 A 与 B 不相似。由于所以 A的特征值为 A=1，3， 1，B 的特征值为 B=2， ，因此 A 与 B 不相似。由于 A 与 B 的正负惯性指数是相同的，且正惯性指数均为 2，负惯性指数均为 1，所以 A 与 B 合同。故选(D)。7 【正确答案】 D【试题解析】 根据独立同分布随机变量的性质，有 E(UV)=E(
9、X 2Y 2)=E(X2)E(Y 2)=0， E(U)E(V)=E(X) 2E(Y) 2=0。 所以由 Cov(U，V)=E(UV)E(U)E(V)=0 可得相关系数 UV=0。故选(D)。8 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，因此，因此二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 可得t=0，则 f(0)=1，故极限10 【正确答案】 0【试题解析】 由积分的性质因为 x3cos2x是奇函数，积分为零，可进一步化为11 【正确答案】 y“y=0【试题解析】 C 1ex +C2ex+C3 为齐次线性微分方程的通解，所以可以得到特征根为r=1，r=1 ，r=0 ，
10、特征方程为(r+1)(r 1)r=0，则微分方程为 yy=0。12 【正确答案】 1【试题解析】 方程两边同时对 x 求导可得方程两边同时对 y 求导数可得13 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB=AC 可得 A(BC)=O，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，所以 r(A)2；另一方面，因为 A*O，所以 r(A)2，从而 r(A)=2，所以 a=2。14 【正确答案】 【试题解析】 由期望的定义得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 u=t2 x2，du=2tdt ， 0xtf(t2x 2)dt= ，故得 x=3。当x3 时，f(x)0，当3x0
11、时，f(x) 0，所以 f(x)在 x=3 处取得极小f(3)= 。16 【正确答案】 由题设知曲线过点(0，0)，得 c=0，即 y=ax2+bx。如图 2 所示，从 xx+dx 的面积 dS=ydx，所以当 y=ax2+bx 绕 x 轴旋转一周时，则从 xx+dx 的体积 dV=y2dx，所以旋转体积17 【正确答案】 根据 =0，可得 f(1)=1，又所以 f(1)=0。由积分中值定理知。存在一点 c ，使得 于是根据罗尔定理，存在 x0(c， 2) (1，2)，使得 f(x0)=0。 令 (x)=exf(x)，则 (1)=(x0)=0，再一次根据罗尔定理，存在 (1，x 0) (0，2
12、)，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)+f“(x)且ex0，所以有 f()+f“()=0。18 【正确答案】 令 u=x2，于是 x=u+2，又当 x=3 时，上述级数发散，当 x=1 时，上述级数收敛，且当 x=1 时，f(x) 连续，故此函数幂级数展开式的收敛域为 1x3。19 【正确答案】 () 总利润函数 L(x，y)为 L(x，y)=R(x ，y)C(x，y)x2y=14x+32yx 22xy4y 236。 求 L(x，y)的驻点，令可解得唯一驻点 x=4，y=3，且此时 L(x，y)=40。 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当
13、甲、乙两种产品的产量分别为 x=4(吨) 和 y=3(吨)时，总利润达到最大值，且总利润是 40 万元。 () 求总利润函数 L(x，y)在约束条件 x+2y=6 下的最大值，可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y6)，求F(x，y，) 的驻点，令 可解得唯一驻点 x=2，y=2 ，且此时 L(x， y)=28。 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于 6 万元的情况下，两种产品的产量均为 2 吨时总利润最大，最大利润为 28 万元。20 【正确答案】 () 因为方程组有解但不唯一，所以解得 a=2 或 a=1。若 a=1，则
14、增广矩阵 系数矩阵和增广矩阵的秩不相同，方程组无解，因此 a=2。()由于1， 2， 3 分别是属于 A 的三个不同特征值的特征向量，故正交。将特征向量单位化21 【正确答案】 () 令 ，则 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，因为二次型经过正交变化为 3y12+3y22。所以矩阵 A 的三个特征值烦恼别为1=3， 2=3， 3=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有 1+2+3=4+a=6，得 a=2， 123=A= 2(b+2)(b1)=0 ，得 b=2 或 b=1。则存在正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形 3y12+3y22。22 【正确答案】 () 由概率密度的性质，即 +f(x)dx=1，可得1=02axdx+24(cx+b)dx=2a+6c+26。根据已知条件，有()Y=e X 的数学期望为 因此 Y=eX 的方差为23 【正确答案】 ()()为求 的期望值，先求 的分布。由于总体 X 服从0， 上的均匀分布，因此Xi(i=1，n)也服从0 ，上的均匀分布。其分布函数为记 的分布函数为 G(x)，密度函数为 g(x)，则：当 x0 时，G(x)=0；当 x 时，G(x)=1 ；当 0x 时，由于 X1，X n 相互独立，于是有
