1、考研数学（数学三）模拟试卷 453 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 x0 时，下列无穷小量阶数最高的是( )2 已知 f(x)的导函数图像如图 1 所示，则 f(x)在(0，+) 上( )（A）有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。（B）有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。（C）有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。（D）有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。3 设幂级数 an(x1) n 在 x=1 处条件收敛，则 nan(x+1)n 在 x=15 处( )（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）收敛性无法判断。4 函
2、数 f(x)= 在 x=0 处( )（A）不连续但偏导数存在。（B）偏导数不存在但连续。（C）可微但偏导数不连续。（D）偏导数连续。5 设 A 为 4 阶矩阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若 Ax=0 的基础解系为(1，2，3，0)T，则下列说法中错误的是( )（A） 1， 2， 3 线性相关。（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表出。（C） 1， 2， 4 线性无关。（D） 1 可由 2， 3， 4 线性表出。6 已知 =(1， 3，2) T，=(0，1，2) T，设矩阵 A=TE ，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（A）。（B） 。（C） +。（D）。7 已知 X 的分布函数
3、为 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是( )（A）f(x+a)。（B） f(x) 。（C） af(ax)。（D）2f(x)F(x)。8 已知随机变量 X，Y 均服从正态分布 N(， 2)，且 Pmax(X，Y)=a(0a 1)，则 Pmin(X，Y)=( )（A）（B）（C） a。（D）1a。二、填空题9 设函数 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 01xf“(2x)dx=_。10 差分方程 yx+12y x=3x 的通解为_。11 设某商品的需求函数是 Q= 4，则需求 Q 关于价格 p 的弹性是_。
4、12 微分方程(x 21)dy+(2xycosx)dx=0 满足初始条件 y(0)=1 的特解为_。13 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EA =E2A =E3A=0，则B 1+2E=_ 。14 随机变量 X 的概率密度 f(x)= 。随机变量 Y=aX+bN(0 ，1)，则ab=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设曲线 L 过点(1 ，1)， L 上任意一点 P(x，y) 处的切线交 x 轴于点 T，O 为坐标原点，若PT= OT 。试求曲线 L 的方程。16 求函数 f(x，y)=xy y 在由抛物线 y=4x 2(x0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域
5、 D 上的最大值和最小值。17 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为 M0。设 n1,，证明： ()存在 c(0，1)，使得 f(c)= ；()存在互不相同的 ，(0，1)，使得 。18 设 Ia= ，其中 Da 为曲线 y= (a0)与 y=所围成的区域则 ()求 Ia； ()求 a 的值使得 Ia 最小。19 设有幂级数 。求：()该幂级数的收敛半径与收敛域：()该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。20 已知两个向量组 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1) T 与 1=(1，2，t)T， 2=(4，1，5)
6、T。 ()t 为何值时， 1， 2 与 1， 2 等价； ()当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。21 设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1=(1，1，1) T， 2=(2，1，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，且矩阵 A6E 不可逆。 ()求齐次线性方程组(A 6E)x=0的通解： () 求正交变换 x=Qy 将二次型 XTAx 化为标准形； ()求(A 3E) 100。22 设随机变量(X，Y) 的概率密度函数为 f(x，y)= 其分布函数为 F(x，y)。 () 求 F(x，y)； () 分别求(X，Y)关于 X，Y 的边缘概率密度，并问X 与 Y 是否独立
7、?23 设总体 X 的密度函数为 f(x；)= ，x 1，X 2，X n)为来自总体 X的一个简单随机样本。()利用原点矩求 的矩估计量 ；()求 的极大似然估计量 ，并问 是否为 的无偏估计?考研数学（数学三）模拟试卷 453 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选项(A) ，选项(B)，3x34x 4+5x5=3x3+o(x3)，可知 3x34x 4+5x53x 3。选项(D)，假设 和 xn 同阶，计算极限可见，要使极限为非零常数，必有 n=4。综上所述，本题选(D)。2 【正确答案】 C【试题解析】 驻点为导数等于
8、0 的点，即导函数图像与横坐标的交点，共 3 个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有 2 个；拐点即为导函数的极值点，根据图像可知有 3 个点。故选择(C)。3 【正确答案】 C【试题解析】 因为级数 an(x1) n 在 x=1 处条件收敛，则其收敛半径为 R=2，所以 nan(x+1)n 的收敛区间为 (3，1)，而 x=15 不在收敛区间内，所以nan(x+1)n 在 x=15 处发散。4 【正确答案】 C【试题解析】 连续性： 所以函数 f(x，y)在(0，0)点连续。偏导数：所以函数f(x，y)在(0，0)处对 x 的偏导数存在。同理可验证函数 f(x，y)在(0，0)处对
9、y 的偏导数存在。所以函数 f(x，y)在(0 ，0)处的偏导数存在。全微分：所以函数f(x，y)在(0，0)处可微。偏导数连续性：所以函数 fx(x，y)在(0，0)处不连续，故选择(C)。5 【正确答案】 B【试题解析】 Ax=0 的基础解系为(1，2，3，0) T，可知 r(A)=3 且1+223 3=0，则 1， 2， 3 线性相关，所以(A)正确。 因为 r(A)=3 且1， 2， 3 线性相关，若 4 可由 1， 2， 3 线性表出，则 r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)3，所以该选项错误，答案为 (B)。由于 3= ，可知 3能由 1， 2， 4 线性表出，故 r
10、(1， 2， 4)=r(1， 2， 3， 4)=3，因此1， 2， 4 线性无关，所以(C) 正确。由于 1=2 2+33，可知 1 可由 2， 3， 4线性表出，所以(D) 正确。6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可知 r(T)=1，所以 T 的特征值为 0，0， T，即0，0，1，所以 A 的特征值为1，1，0。 A 属于 0 的特征向量等于 T 属于 1的特征向量，因为 T=(T)=，所以答案为(A)。7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知 f(x)为概率密度函数，故 f(x)0， +f(x)dx=1。F(x)为分布函数，故 F(x)0，从而 f(x+a)，f(x)，2f(x
11、)F(x)大于等于 0，并且容易验证它们的积分等于 1，而 af(ax)在 a0 时小于 0，故不一定为概率密度函数。8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知Pmax(X， Y)=1Pmax(X，Y)=1PX ，Y，而 Pmin(X，Y)=PX 或 Y=PX+PY PX，Y=1 PX ，Y 。从而 Pmin(X，Y)=Pmax(X ，Y)=a 。二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 y(x)=C2 x+3x。其中 C 为任意常数【试题解析】 由已知方程知对应的齐次差分方程的特征值 =2，通解为 y(x)=C2x。因为 =23，所以令特解 y*=A.3x，代入原方程
12、得 A=1，故原方程的通解为y(x)=C2x+3x，其中 C 为任意常数。11 【正确答案】 【试题解析】 根据弹性函数的定义，则需求 Q 关于价格 p 的弹性为 ，即12 【正确答案】 【试题解析】 原方程可化为 。一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的通解为 y=ep(x)dx q(x)ep(x)dx+C。因此由 y(0)=1，得C=1 ，故满足初始条件的特解 y= 。13 【正确答案】 60【试题解析】 根据已知EA= E2A= E3A =0 可得矩阵 A 的三个特征值为 ，1，又已知 A 相似于 B，所以 B 的特征值也为 ，1，从 B1 的特征值为 1，2，3，进一步 B1 +
13、2E 的特征值为 3，4，5，因此可得B 1 +2E=60。14 【正确答案】 1【试题解析】 根据服从正态分布的随机变量的概率密度表达式可知 XN( 2，2)，故 N(0，1) ，从而 。因此 ab=1。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设曲线方程为 y=y(x)，则 y(1)=1，过点 P(x，y)处的切线方程为Yy=y(X x)，则切线与 x 轴的交点为 T(x ， 0)。根据PT=OT，有上式两边同时平方，整理可得 y(x2y 2)=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令 u= ，可得 ，两边取积分得解得 u+ ，将初始条件 y(1)=1 代入，可得
14、C= ，故曲线 L 的方程为 x2+y2 2y=0。16 【正确答案】 区域 D 如图 1 所示。 (1)边界 L1：y=0(0x2)，此时f(x，0)= ，函数在此边界的最大值为 f(0，0)=0，最小值为 f(2，0)= 。边界L2：x=0(0y4)，则 f(0，y)=y，函数在此边界的最大值为 f(0，0)=0 ，最小值为f(0，4)=4。边界 L3：y=4x 2(x0)，则(2)区域 D 内部，f(x，y)=xy y，则f“xx(x，y)=0，f“ xy(x，y)=1，f“ yy(x，y)=0 ，故 ACB 20，函数在区域 D 内部不存在极值。综上所述，函数在区域 D 上的最大值为
15、f(0，0)=0；最小值为 f(0，4)=4。17 【正确答案】 () 根据已知条件，存在 a(0，1，使得 f(a)=M。令 F(x)=f(x)，显然 F(x)在0，1 上连续，又因为 f(0)=0，n1，故由零点定理可知，至少存在一点 c(0，a)，使得 F(c)=f(c) =0，即 f(c)= 。()在0，c ，c，1上分别使用拉格朗日中值定理。已知 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，则存在 (0，c)和 (c，1)，使得 f(c)f(0)=cf() (1) f(1)f(c)=(1 c)f() (2)由(1).f()+(2).f()，结合 f(0)=f(1)=0可得， f()
16、f()f(c)=f()f()，再由结论 f(c)= 可知，18 【正确答案】 () 积分区域如图 2 所示。 利用奇偶性可得 其中，D a 为 Da 在y 轴右侧的部分。所以当0a3 时 La 单调递减，当 a3 时 Ia 单调递增，则当 a=3 时，I a 取得最小值。19 【正确答案】 () =2，故收敛半径为 r= ，则收敛区间为。20 【正确答案】 () 对向量组 1， 2 和 1， 2 所构成的矩阵( 1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为阶梯型矩阵，因为 1， 2 与 1， 2 等价，所以 r(1， 2)=r(1， 2)，所以 t=1。) 对矩阵( 1， 2， 1， 2)进行初等
17、行变换化为行最简形，对矩阵(1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为行最简形，21 【正确答案】 () 因为矩阵 A6E 不可逆，所以 =6是矩阵 A 的一个特征值；另一方面，因为 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，所以 =0是矩阵 A的二重特征值，所以 A 的特征值为 0，0，6。 齐次线性方程组 (A6E)x=0 的通解是矩阵 A 的属于特征值 =6的特征向量。因为 A 为 3 阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。 设 3=(x1，x 2，x 3)T 是矩阵 A 的属于特征值 =6的一个特征向量，则 ( 1， 3)=0，( 2， 3)=0，解得 3=(1，2，1) T，所以齐次线性方程组(A6E)x=0 的通解为 k3，k 为任意常数。()下面将向量组 1， 2， 3 正交化。令 下面将向量组1， 2， 3 单位化。令则二次型xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 6y32。22 【正确答案】 () 根据分布函数的定义因为f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立。23 【正确答案】 () 根据已知条件()设样本X1，X n 的取值为 x1，x n，则对应的似然函数为
