1、考研数学（数学三）模拟试卷 454 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 在( ，+)上有定义，且 x=x1 是 f(x)的唯一间断点，x=x 2 是 g(x)的唯一间断点，则( )（A）当 x1=x2 时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1。（B）当 x1x2 时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x=x1 与 x=x2。（C）当 x1=x2 时，f(x)g(x)必有唯一间断点 x=x1。（D）当 x1x2 时，f(x)g(x)必有两个间断点 x=x1 与 x=x2。2 设 ，则有( )（A）NPM 。（B） MPN。
2、（C） PMN。（D）NMP 。3 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 =( )4 下列选项中正确的是( )5 设则( )（A）B=P 1AP2。（B） B=P1AP21 。（C） B=P2AP1。（D）B=P 21 AP1。6 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是( )（A）矩阵 A 是不可逆的。（B）矩阵 A 的主对角元素之和为 0。（C） 1 和1 所对应的特征向量正交。（D）Ax=0 的基础解系由一个向量构成。7 设(X，Y) 服从 D=(x，y)x 2+y2a2上的均匀分布，则( )（A）X 与 Y 不相关，也不独立。（B） X 与 Y 相互独立。（C）
3、X 与 Y 相关。（D）X 与 Y 均服从均匀分布 U(a ，a)。8 设 X1，X 2，X n 独立同分布，且 Xi(i=1，2，n)服从参数为 的指数分布，则下列各式成立的是( )(其中 (x)表示标准正态分布的分布函数)二、填空题9 设 f(x)为可导的偶函数，满足 =2，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为_。10 =_。11 设函数 z=z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足 =x+y，z(x ，0)=0 ，z(0 ，y)=y2，则 z(x，y)=_。12 设 f(x)= (x0)，则 f(x)的不可导点为_。13 设 A，B 均为三阶矩阵，将 A 的第一行加到第二行
4、得到 A1，将 B 的第二列和第三列交换得到 B1，若 A1B1= ，则 AB=_。14 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(1，2； 2， 2；0)，则PXY22X+Y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设 z= ，其中 f(u)具有二阶连续导数，f(0)=f(0)=0，且，求 f(u)。17 证明不等式 3xtanx+2sinx，x (0， )。18 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 y=1、曲线 y=x2(x0)以及 y 轴所围成的区域。19 求幂级数 的收敛域与和函数。20 已知线性方程组 有无穷多解，求 a，b 的值并求其通解。21
5、设二次型 xTAx=ax12+2x22x 32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵 A 满足AB=O，其中 B= ()用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换：()判断矩阵 A 与 B 是否合同，并说明理由。22 已知随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= 。()求 a；()令 Y=maxX，X 2，试求 Y 的概率密度函数。23 设总体的概率密度为 f(x；)= X1，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量与最大似然估计量。考研数学（数学三）模拟试卷 454 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
6、B【试题解析】 令 F(x)=f(x)+g(x)，假设 F(x)在 x=x1 处连续，由 f(x)=F(x)g(x)及已知条件 g(x)仅在 x=x2 处间断，其他点处均连续，于是推出 f(x)在 x=x1 处连续，这与已知条件矛盾，故 F(x)在 x=x1 处间断。同理，推出 F(x)在 x=x2 处亦间断。下面一一举出其他三个选项的反例：选项(A)的反例 f(x)= g(x)=f(x)，而f(x)+g(x)=0 无间断点；选项(C) 的反例与选项(A)的相同，此时 f(x)g(x)=1，无间断点；选项(D) 的反例 f(x)g(x)=0 无间断点。故选(B) 。2 【正确答案】 C【试题解
7、析】 根据奇、偶函数的运算法则及奇、偶函数在对称区间上的积分性质可知 因此 PM N 。故选(C) 。3 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知可知积分区域为 D=(x，y) x，sinxy1，据此画出积分区域的图形如图 1 所示： 在区域 D 中最高点纵坐标为 y=1，最低点纵坐标为 y=0，左边界方程为 x=siny ，右边界方程为x=，因此 ，故选(B)。4 【正确答案】 D【试题解析】 比较判别法极限形式仅适合正项级数，故选项(A)不正确。由反例，故选项(B)和(C)均不正确。在选项(D)中，当 1 时，收敛性取决于 ；=1 时，收敛性取决于 ，故选(D) 。5 【正确答案】 B【试题
8、解析】 将 A 的 2，3 两行对调，再将第 1 列的 2 倍加到第 3 列得矩阵 B，于是有 故选(B)。6 【正确答案】 C【试题解析】 根据A= 123=0，a 11+a22+a33=1+2+3=0，可知选项(A) 和选项(B)正确；而 1=0 是单根，因此(0EA)x=一 Ax=0 只有一个线性无关的解向量，即 Ax=0 的基础解系只由一个线性无关解向量构成，选项(D)也正确。故选(C) 。7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 由对称性 E(X)=E(Y)=0，E(XY)=0。于是 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，从而 XY=0，即 X 与 Y 不相关。 又同理故
9、f(x，y)f X(x)fY(y)，即 X 与 Y 不独立，故选(A)。8 【正确答案】 A【试题解析】 根据列维一林德伯格中心极限定理有：故选(A)。二、填空题9 【正确答案】 y=4(x+1)【试题解析】 因为 =2，所以 =0，即可得 f(1)=4，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，则 f(1)=f(1)=4，切线方程为y=4(x+1)。10 【正确答案】 1【试题解析】 结合定积分的极限定义式11 【正确答案】 z(x，y)= +y2【试题解析】 因为 =x+y，对 x 积分可得12 【正确答案】 x=3【试题解析】 原函数可化为显然函数 f(x)在点 x=3 处不可导。
10、13 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知，A 1=E12(1)A，B 1=BE23，所以 A1B1=E12(1)ABE23，从而AB=E121 (1)A1B1E231 =E12(1)A 1B1E2314 【正确答案】 【试题解析】 由题可得 XN(1， 2)，YN(2， 2)，从而 PXY22X+Y=PX(Y+2)Y+2 =PX1，Y2+PX1，Y2 ，因为 =0，所以 X，Y相互独立，因此 上式=PX1PY2+PX1PY2= 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 根据等价无穷小替换公式，16 【正确答案】 z= ，其中 f(u)具有二阶连续导数，代入方程
11、即 f“(u)f(u) =u。求解该二阶微分方程可得， f(u) =C 1eu + C2eu u，将 f(0)=f(0)=0 代入上式。可解得，故17 【正确答案】 设 f(x)=tanx+2sinx3x，x (0， )，则 f(x)=sec 2x +2cosx3，f“(x) =2 sec 2xtanx2sinx=2sinx(sec 31)，由于当 x(0， )时sinx 0，sec 3x10，则 f“(x)0，函数 f(x)=sec 2x+2cosx3 为增函数，且 f (0)=0，因此 x(0， )时， f (x)=sec 2x+2cosx30，进一步得函数 f(0)为增函数，由于 f(0
12、)=0，因此 f(x)=tanx+2sinx3xf(0)=0，x(0， )，即不等式3xtanx+2sinx，x(0， )成立。18 【正确答案】 积分区域 D 如图 1 所示， 适合先 y 后 x， 适合先 x后 y，则该积分分为两部分计算。19 【正确答案】 =1，故该级数的收敛半径为 r=1，收敛区间为(1， 1)，x=1 时，该级数变为常数项级数逐项求导可得故原级数的和函数为20 【正确答案】 由题设可知线性方程组的系数矩阵为 A= ，增广矩阵为 对增广矩阵作初等行变换方程有无穷多解，则 r(A)=r(A，b)3，所以 a=2，b=3。下面求线性方程组的通解，将增广矩阵化为行最简形。齐
13、次线性方程组所对应的基础解系为 =(14，4，9，1) T，特解为 *=(4，0，3，0) T，从而通解为 x=*+k，k 为任意常数。21 【正确答案】 () 二次型对应的实对称矩阵为 A= ，因为 AB=O，所以 下面求 A 的特征值A 的特征值为 0，6，6。当 =0 时，求解线性方程组(0EA)x=0 ，解得 1=(1，0，1) T；当 =6 时，求解线性方程组(6E A)x=0，解得 2=(1，2，1) T；当 =6 时，求解线性方程组(6EA)x=0，解得 3=(1，1，1) T。下将 1， 2， 3 单位化则二次型在正交变换 x=Qy 的标准形为 f=6y226y 32，其中 ()矩阵 A与 B 不合同。因为 r(A)=2，r(B)=1 ，由合同的必要条件可知矩阵 A 与 B 不合同。22 【正确答案】 () 根据 ()当 y0 时，FY(y)=0，当 y0 时，F Y(y)=PYy=Pmax(X，X 2)y=PXy，X 2y=PXyP 从而 Y 的概率密度函数为23 【正确答案】 矩估计量：由已知可得最大似然估计量：设样本X1，X n 的取值为 x1，x n，则对应的似然函数为关于 求导得0，则 L 随着 的增大而减小，即 取最小值时，L 取得最大，因为
