1、考研数学（数学三）模拟试卷 460 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)有( )（A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 设 f(x)满足： xf“(x)x 2f 2(x)=1e -2x 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小值点（B） x=0 为 f(x)的极大值点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点3 设 为( ) 4 设 f(x)在 x0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x 0)=f“
2、(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( ) （A）x=x 0 为 f(x)的极大值点（B） x=x0 为 f(x)的极小值点（C） (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则A+4E =( )（A）8（B） 16（C） 2（D）07 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为则 k 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D
3、）88 已知 E(X)=1，E(X 2)=3，用切比雪夫不等式估计 P1X4a，则 a 的最大值为( ) 二、填空题9 10 设 f(x)为连续函数，11 12 幂级数 的和函数为_13 设矩阵 不可对角化，则 a_14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+yY=(4 6x)e x 的一个解，且(I)求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离 16 设 f(x)在0,1 上二阶连续可导，且 f(0)=
4、f(1)，证明：存在 (0,1)，使得 17 设 (1)讨论 f(x)在 x=0 处的连续性 (2)求 f(x)的极值点与极值18 某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75p 2，求： (I)当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义； () 当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义； ()当 p=4 时，若价格提高 1，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?19 现有两只桶分别盛有 10 L 浓度为 15 gL 的盐水，现同时以 2 Lmin 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2 Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以2 Lmin 的速度从第二只桶中排出，问 5 min 后第二
5、只桶中含盐多少克 ?20 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解21 设 =(1， 1，1) T 是 的一个特征向量 (I)确定参数 a，b的值及特征向量 所对应的特征值； ()问 A 是否可以对角化?说明理由22 设 X 的概率密度为 (I)求 a，b 的值； ()求随机变量 X 的分布函数； () 求 Y=X3 的密度函数23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为 (I)求 的矩估计量； ()求 的极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 460 答案与解析一、选择题下列每题给出的
6、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点 由 f(0+0)=f(00)=0，得 x=0 为f(x)的可去间断点； 由 f(10)f(1+0)，得 x=1 为 f(x)的跳跃间断点，应选 C2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 由极限的保号性，存在 0，当 01xx 0 时， 当x(x0，x 0)时，f“(x) 0；当 x(x0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线y=f(x)的拐点，选 C.5 【正确答案】 B【试题解析】 由 B
7、 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1， 因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n1， 又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1， 故 r(B)=1，选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 令 B=(1， 2， 3)，由 AB+2B=O 得 Ai=2 i(i=1，2，3)， 由 r(B)=2 得 =2 至少为 A 的二重特征值， 又由 r(A)3 得 3=0，故1=2=2， 3=0， A+4E 的特征值为 1=2=2， 3=4，故A+4E=16，应选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 由
8、得 k=6，选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得 选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 由 得1=0,2=a， 3=4 因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0 或a=4 当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 合题意； 由 r(4EA)=2 得2=3=4 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化
9、， a=4 合题意14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品， 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)2y“+y y=(46x)e x 的特征方程为 22+1=0 ，特征值为1=1， 2= 2y“+yy=0 的通解为 令2y“+yy=(46x)e x 的特解为 y0=(ax2+bx)ex ，代入得 a=1，b=0， 原方程的通解为 由 得 y(0)=0，y(0)=0 ，代入通解得 C1=C2=0，故 y=x2ex ， 由 y=(2xx 2)ex =0 得 x=2， 当 x(0，2)时，y0；当 x2 时
10、，y0，则 x=2 为 y(x)的最大值点， 故最大距离为 dmax=y(2)=4e2 16 【正确答案】 因为 f“(x)C1， 2，所以 f“(x)在 1， 2上取到最大值 M 和最小值 m， 17 【正确答案】 因为 f(00)=f(0+0)=f(0)=1，所以 f(x)在 x=0 处连续 18 【正确答案】 (I)边际需求函数为 其经济意义在于，在价格为 p=4 时，若价格提高一个单位，则需求量减少 8 个单位 ()需求价格弹性函数为 当 P=4 时，需求价格弹性为 其经济意义在于，在价格 p=4 的基础上，若价格提高1，则产品的需求量就减少 054 ()当 p=4 时，若价格提高 1
11、，因为该商品缺乏弹性，企业的收益是增加的 故当价格提高 1后，企业的收益增加 04619 【正确答案】 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有 20 【正确答案】 1)当 a1，a6 时，方程组只有唯一解； 2)当 a=1 时， 当a=1，b36 时，方程组无解； 当 a=1，b=36 时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意取值时， 21 【正确答案】 (I)由 A=，得 解得a=3，b=0，=1 ()由EA=(+1) 3=0，得 =1 是三重特征值 因为r(EA)=2，所以 =1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化22 【正确答案】 ()F Y(y)=PX3y， 当 y8 时，F Y(y)=0； 23 【正确答案】
