1、考研数学（数学三）模拟试卷 466 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx0 处 f(x)存在，则“”的 ( )（A）充分必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分条件而非必要条件（D）既非充分又非必要条件2 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 又设 f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足 x2f“(x)一f(x) 2=xg(x)则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值（D）f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的
2、 g(x)决定3 设数列a n单调增加且有上界， 为常数，则级数 (an 一 an+1)sin n( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 有关4 设 g(x)在(一，+)内存在二阶导数，且 g“(x)0令 f(x)=g(x)+g(一 x)，则当x0时 ( )（A）f(x)0（B） f(x)0（C） f(x)与 x 同号（D）f(x)与 x 异号5 设 A 是 n 阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )（A）对任意的 n 维列向量 ，有 A=0，则 A=O（B）对任意的 n 维列向量 ，有 TA=0，则 A=O（C）对任意的 n 阶矩阵 B，有 AB=O，则 A=O（D）对任意的
3、 n 阶矩阵 B，有 BTAB=O，则 A=O6 设 1， 2， 3， 4， 5 均是 4 维列向量记 A=(1， 2， 3， 4)，B=(1， 2， 3， 4， 5)已知方程 AX=5 有通解 k(1，一 1，2，0) T+(2，1，0，1)T，其中 k 是任意常数，则下列向量不是方程 BX=0 的解的是 ( )（A）(2 ，1，0，1，一 1)T（B） (3021，一 1)T（C） (1，一 2，一 2，0，一 1)T（D）(0 ，3，一 4，1，一 1)T7 设随机变量 X 与 Y 独立，均服从0，3上的均匀分布，则 P1maxX，Y)2= ( )8 设 X1，X 2，X n 是总体 X
4、N( ， 2)的简单随机样本样本均值，当样本量 n2 时，下列正确的是 ( )（A）D(S 12)D(S 02)D(S 2)（B） D(S02)D(S 2)D(S 12)（C） D(S2)D(S 12)D(S 02)（D）D(S 2)D(S 02)D(S 12)二、填空题9 =_10 =_11 设 y=y(x)是由 y3+(x+1)y+x2=0 及 y(0)=0 所确定，则=_12 已知 y=u(x)x 是微分方程 (y2+4x2)的解，则在初始条件 y x=2=0 下，上述微分方程的特解是 y=_13 设 A= ，且已知 A 相似于 B，则 b=_14 设 A 与 B 是两随机事件，P(A)
5、=0 6 且=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()求定积分 an=02x(2xx2)ndx，n=1 ，2，；()对于()中的 an，求幂级数anxn 的收敛半径及收敛区间16 设平面区域 D 用极坐标表示为17 求幂级数 的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数18 过椭圆 =1(ab0)第一象限上的点( ，)作切线，使此切线与椭圆以及两坐标轴正向围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为最小，并求该旋转体的最小体积19 设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： 20 设 3 阶矩阵 A，B 满足关系式 AB=AB 且 A 有三个不同的特征值 证
6、明：()AB=BA： ()存在可逆阵 P，使得 P-1AP，P -1BP 同时为对角阵21 ()设 1=(a1，a 2，a 3，a 4)， 2=(a2，一 a1，a 4，一 a3)， 3=(a3，一 a4，一 a1，a 2)，其中 ai(i=1，2，3，4) 不全为零证明 1， 2， 3 线性无关； ()记 A= ，证明AAT 是正定矩阵22 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)= ()求 fX(x)，fY(y)，判断 X 与 Y 是否独立? () 记 U=X，V=YX，求(U，V) 的分布函数F(u，v)，并判断 U，V 是否独立?23 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=
7、 X1，X 2，X n 为 X 的简单随机样本 ()求未知参数 的矩估计量和最大似然估计量； () 求 的矩估计量的数学期望考研数学（数学三）模拟试卷 466 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 在所说前提及条件“ ”下，由洛必达法则：所以 f(x0)”的充分条件但不是必要条件，反例如下：设 本例满足本题所说的前提(其中 x0=0)，f(x)=2xsin f(x)不存在，而 却是存在的所以“”的必要条件2 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，g(x)= ，由于 g(x)在 x=0 处连续，所以 f(0) 2=02f“
8、(0)一 0g(0)=0 ，即 f(0)=0所以f(0)为 f(x)的一个极小值3 【正确答案】 C【试题解析】 由于数列a n单调增加且有上界，故另一方面， (a n一 an+1)sin na n 一 an+1=a n+1 一 an，而已证 (an+1 一 an)收敛，所以由比较判别法知， (anan+1)sin n 绝对收敛，选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)=g(x)+g(x)，有 f(x)=g(x)一 g(一 x)，f“(x)=g“(x)+g“(x)0，f(0)=0再由拉格朗日中值定理有f(x)=f(0)+f“()x=f“()x， 介于 0 与 x 之间，所以当 x0
9、 时，f(x)与 x 异号，选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 法一 选项(A)对任意的 n 维列向量 ，有 A=0分别取1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， n=(0，0，1) T 代入，即得Aij=0(i=1，2，n；j=1，2，n)故 A=O选项(C)，(D)对任意的 n 阶矩阵B，有 AB=O 及 BTAB=O只要取 B=E，即可得出 A=0故由排除法，应选 B 法二 对选项(B)，只要 A 是非零反对称矩阵，即 AT=一 AO 时，则对任意的 n 维列向量 ，因 TA 是数，故有 TA=(TA)T=TAT=一 TA，则 2TA=0，即TA=0，但 AO故选项(B)
10、是错误的，应选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 由 AX=5 的通解 k(1，一 1，2，0) T+(2，1，0，1) T 知 5 可由1， 2， 3， 4 表出为 5=(k+2)1+(一 k+1)2+2k3+4， 即 (k+2) 1+(一 k+1)2+2k3+45=0，即 BX=( 1， 2， 3， 4， 5)x=(1， 2， 3， 4， 5)=0，其中 k 是任意常数因为 BX=0 的解中，无论 k 为何值，x 4，x 5 不可能为 0，故(C) 是错误的7 【正确答案】 A【试题解析】 法一 f(x，y)=f(x)f(y)= 因为maxX，Y)2X2Y2)，1 maxX，YX1 Y1
11、，故 P1maxX，Y2)=P1X2，XY 1y2，Yx= 法二 令 U=maxX，Y，分布函数为 F U(u)=PUu=PmaxX，YU)=PXu ，Yu又 X，Y 相互独立且同分布，则 F U(u)=PXu，Yu=PXuPYu=F X(u)FY(u)=FX(u)2，故 U 的概率密度为 fU(u)=FU(u)=ZFX(u)fX(u)= u(0u3)所以 P1U2= 8 【正确答案】 D【试题解析】 X 1，X 2，X n 是总体 XN(，)的简单随机样本，则当样本量 n 2 时，因为 ，所以 D(S2)D(S 02)D(S 12)二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 令 x 一
12、1=u，则所以 原式=e210 【正确答案】 2ln(1+ )【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 此极限为“ ”型求导中要用到 y(0)，y“(0) 等，先求出备用由y3+(x+1)y+x2=0，有 3y 2y+(x+1)y+y+2x=0，将 y(0)=0 代入，得 0+y(0)=0，有y(0)=0再求导， 6y(y) 2+3y2y“+y+(x+1)y“+y+2=0将 y(0)=0，y(0)=0 代入，得0+0+0+y“+0+2=0，有 y“(0)=一 212 【正确答案】 2xtan(x 一 2)【试题解析】 由 y=u(x)x，有 +u(x)，于是原方程化为 x2 x2(u2+
13、4)， 由于初值为 x=2，所以在 x=2 的邻域不包含 x=0 在内的区间上，上述方程可改写成 (u2+4)，分离变量将 x=2，y=0 代入，得u=0，C=一 2从而得特解 y=u(x)x=2xtan(x 一 2)13 【正确答案】 1【试题解析】 法一 相似矩阵有相同的特征多项式故E 一A= =2 一 1=E 一 B= =(b)(+1)=2+(1 一 b)一 b，得 b=1法二 E 一 A= 2 一 1=( 一 1)(+1)=0，A 有特征值 1=1， 2=一 1B 是实对称阵，其特征值为 l1=b，l 2=一 1由相似矩阵有相同的特征值知b=114 【正确答案】 02【试题解析】 由
14、=05，且 P(A)=06，得 P( )=0 2 P( )=1 一 P(AB)=1 一P(A)+P(B)一 P(AB)=1 一P(A)+P( )=02三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () an=02x(2x 一 x)dx =02x1 一(1 一 x)2ndx，作积分变量代换，令 1 一 x=t，于是 an=1-1(1 一 t)(1 一 t2)n(一 dt) =1-1(1 一 t2)ndt 一 1-1t(1 一 t2)ndt =1-1(1一 t2)ndt=201(1 一 t2)ndt下面用分部积分计算： a n=201(1 一 t2)ndt=201(1 一
15、t2)(1 一t2)n1dt =an1201t(1 一 t2)n1tdt知收敛半径R=1，收敛区间为 (一 1，1)16 【正确答案】 区域 D 如图阴影部分所示为清楚起见， 4 个圆只画出有关的 4个半圆 D 关于直线 y=x 对称，交点 A，B，C 的极坐标分别为17 【正确答案】 令 u=x2，化为 u 的幂级数 易知所以收敛半径 R=1，收敛区间为(一 1，1)回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(一 1，1)，当 x=1 时，易知原幂级数收敛，所以收敛域为一 1，1 在收敛域一 1，1 上，令其和函数为为了进行逐项积分与逐项求导，所以在收敛区间内考虑计算在区间(一 1，1)
16、内，令18 【正确答案】 由 =0椭圆上点(，)处的切线方程为 y一 =一 (x 一 )，与两坐标轴的交点分别为 三角形 OAB 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 椭圆=1 与两坐标轴正向围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为由于 V2 为常数，所以求 V 的最小值，只要求 V1 的最小值或 2 的最大值即可令由于驻点唯一，且 Vmin 必存在，所以当(*)式成立时，(*)式即为 Vmin19 【正确答案】 不妨设 yx0(因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左边值不变)，则 由柯西中值定理有，存在一点 (x，y)，使得上式= =e一 e令 f(u)=
17、euueu(uo)，有 f(0)=1，f(u)= 一 ue0 ，所以当 u0 时，f(u) 1，从而知 e一 e1，于是得证20 【正确答案】 () 由题设 AB=A B， 知 ABA+BE=一 E， A(B E)+(BE)=一 E， (A+E)(E 一 B)=E 即 A+E，E 一 B 互为逆矩阵，且 (E B)(A+E)=E， 从而得 A B 一 BA=O， 由， 式得证 AB=BA ()A 有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，设为 1， 2， 3则有A(1， 2， 3)=(11， 22， 33)=(1， 2， 3) ，两端左边乘 B， BA(1， 2， 3)=B(1， 2，
18、3) 由()AB=BA，得 AB(1， 2， 3)=B(1， 2， 3) =B(11， 22， 33)，得 A(Bi)=i(Bi)，i=1，2，3若Bi0，则 Bi 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，因 i 是单根，故对应相同的特征值的特征向量成比例故 Bi=ii若 Bi=0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论何种情况，B 都有三个线性无关的特征向量 i(i=1，2，3)故 A，B 同时存在可逆阵 P=(1， 2， 3)，使得 P1AP= 21 【正确答案】 () 用反证法假设 1， 2， 3 线性相关，则由定义，存在不全为零的实数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k2
19、2+k33=0 (*)因 12T=(a1，a 2，a 3，a 4)=0， 13T=(a1，a 2， a3，a 4) =0， 23T=(a2，a 1，a 4，a 3)=0又 jj= aj20，j=1，2，3故将式(*)两端右边乘 jT，j=1，2，3，得 kjjjT=0， jjT0kj=0，j=1 ，2，3，这和假设矛盾，得证 1， 2， 3 线性无关( )由()知 1， 2， 3 线性无关，则 r(A)= =3，且 AAT 是实对称矩阵则齐次方程组 ATx=(1T， 2T， 3T)x=0 仅有唯一零解，则对任给的x0，A Tx=(1T， 2T， 3T)x0，两端左边乘(A Tx)T，得 (A
20、Tx)T(ATx)=xTAATx0，得证，AA T 是正定矩阵22 【正确答案】 () 由随机变量(X，Y) 的概率密度得因为 f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立() F(u，v)=PUu ，Vv =PXu，YXv= f(x，y)dxdy(一u，v+)，若 u0或 v0，如下图所示，则 F(u，v)=0 ，若 u0，v0，如下图所示，因为 F(u，v)=F U(u)F V(v)，所以 U 与 V 独立23 【正确答案】 () 先求 的矩估计量设 ，再求 的最大似然估计量当 xi0(i=1，2，n)时，似然函数两边取对数，得 ln L()=nln 4+2ln(x1x2xn)一 3nln一
