1、考研数学（数学三）模拟试卷 467 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设x n与y n均无界，z n有界，则 ( )（A）x n+yn必无界（B） xnyn必无界（C） xn+zn必无界（D）x nzn必无界2 设 f(x)= F(x)=-1xf(t)dt，则 F(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 设 y(x)是初值问题 的解，则 0+xy(x)dx=( )（A）一 1 一 b+2a（B）一 1+b 一 2a（C）一 1 一 b 一 2a（D）一 1+b+2a4 由方程 2y3 一 2y2
2、+2xy+yx2=0 确定的函数 y=y(x) ( )（A）没有驻点（B）有驻点但不是极值点（C）有驻点且为极小值点（D）有驻点且为极大值点5 设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A2=A，且 AE，则必有 ( )（A）r(A)=1（B） r(AE)=2（C） r(A)一 1r(AE)一 2=0（D）r(A)一 1r(AE)一 1=06 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个特征值，且满足 a123b，若 A 一 E 是正定阵，则参数 应满足 ( )（A）b（B） b（C） a（D）a7 设 XN(，) ，F(x)为其分布函数， 0，则对于任意实数 a，有( )（A）F(
3、一 a)+F(a)1（B） F(一 a)+F(a)=1（C） F(a)+F(a)1（D）F( 一 a)+F(+a)= 8 甲乙两人约定 8 点到 12 点之间在某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y(小时)到达会面地点，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时间为 ( )（A） （B） （C） 1（D） 二、填空题9 设 f(x)= ，为连续函数，则常数a=_，b=_10 某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元件)，a0，b0，且均为常数则单位时间内生产 x 件产品的成本函数 c(x
4、)=_11 设 an=01x(1x)n1dx，则 (一 1)nan=_12 设 x0，则微分方程 的通解为 y=_13 设 A，B 均是 n 阶矩阵，满足 AB=A+B，则 r(AB 一 BA+AE)=_。14 独立重复试验中事件 A 发生的概率为 ，若随机变量 X 表示事件 A 第一次发生时前面已经发生的试验次数，则 EX=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时，z= 满足求 z 的表达式16 设 a 为正常数， f(x)=xea 一 aexx+a 证明：当 xa 时，f(x)017 设 D=(x， y)x2，y2，求二
5、重积分 I= x 2+y21d 18 设函数 f(x)=arctan(1 一 )将 f(x)展开成 x 一 1 的幂级数，并求出此展开式成立的开区间19 设 I1= ，其中 是正常数，试证明：I 1I 220 ()求方程组(*)的基础解系和通解。() 问参数 a，b，c 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组 ?21 已知 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A2 一 3A+2E=O，且 B=A2 一 2A+3E ()求B-1； ( )证明：B 正定22 二维随机变量(X，Y) 在(1，1) ，(1，一 1)，(0， 0)三点组成的三角形区域 D 上服从二维均匀分布，令 U= ()讨论
6、U，V 是否独立；( )求 U 与 Y 的相关系数23 设某种电子器件的寿命(以小时计) T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0 结束，此时有 k(0k n)只器件失效 ( )求一只器件在时间 T0 未失效的概率；()求 的最大似然估计考研数学（数学三）模拟试卷 467 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用反证法证明x n+zn必无界设x n+zn有界，且由题设z n有界，则存在 M0 与 M10，对一切 n，x n+znM 与z nM
7、1，有 x n= x n+zn+一 znx n+zn+ z n M+M1， 从而x n有界，与题设矛盾故应选 (C)2 【正确答案】 C【试题解析】 具体计算出 F(x)如下： 当 x0 时， F(x)=-1xf(t)dt=-1xetdt=exe-1； 当 x0 时，F(x)= -1xf(t)dt=-10etdt+0xtz dt=1 一 e-1+ 再讨论(A)，(B)，(C)，(D)哪个选项正确 由 F(x)=1 一 e-1，F(0)=1 一 e-1，所以(A)，(B)都不正确 即 F(x)在 x=0处左、右导数不相等，故 F(x)在 x=0 处不可导，故应选(C)3 【正确答案】 C【试题解
8、析】 y“+2y+y=e -x 的通解为 y=(C 1+C2x+Ax2)e-x， 其中 C1，C 2 为任意常数，A 为某常数，而线性方程的通解为一切解由此 y=(C2 一 C1)+(2AC2)x 一Ax2e-x， 可见，无论 C1，C 2，A 是什么常数， 0+xy(x)dx 均收敛于是由分部积分法和原给的式子 y=e-x 一 y“一 2y，可得 0+xy(x)dx=0+xdy(x)=xy(x) 0+一0+y(x)dx =00 一 0+e-x 一 y“(x)一 2y(x)dx =e-x+y(x)+2y(x) 0+ =(0+0+0)一1+y(0)+2y(0) =一 1 一 b 一 2a4 【正
9、确答案】 C【试题解析】 将所给方程两边对 x 求导数，y 看成由此式确定的 x 的函数，则有 6y2y一 4yy+2y+2xy+y一 2x=0， (6y 2 一 4y+2x+1)y+2(yx)=0 先考虑驻点，令y=0，得 y=x再与原方程联立： 得 2x3 一2x2+2x2+xx2=0，即 x(2x2 一 x+1)=0 由于 2x2 一 x+1=0 无实根，故得唯一实根x=0，相应地有 y=0在此点有 y=0故不选 A 再看此点是否为极值点，求二阶导数由 将x=0，y=0，y=0 代入，得 y“(0)=20，所以该驻点为极小值点选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 A 是 3 阶非零矩阵
10、，则 A0，r(A)1 AE ，A E0，r(AE)1， 因 A2=A，即 A(AE)=O，得 r(A)+r(A 一 E)3，且 1r(A)2 ，1r(AE)2 故矩阵 A 和 AE 的秩 r(A)和 r(AE)或者都是 1，或者一个是 1，另一个是2即两个中至少有一个的秩为 1故(A)，(B)，(C)均是错误的，应选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 A 是实对称阵，则 A 一 E 也是实对称阵A 一 E 的特征值为 1一 ， 2 一 ， 3 一 ，且满足 a 一 1 一 2 一 3 一 b 一 当 b 一 0即 7 【正确答案】 C【试题解析】 正态分布关于 x= 对称且 0，所以由概率
11、密度图像知F(一 a)+F(a)1，F( 一 a)+F(+a)=1，所以选(C)8 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知，(X，Y)服从区域 D=(x， y)0x4，0y4上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则 f(x，y)= ，其中(x，y) D先到者的等待时间为X Y，故先到者的平均等待时间为二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由表达式可见，除 x=0，x=1 外，f(x)均连续因为 f(x)在 x=0 处连续，所以一 =b 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以a+b=1从而推知 f(x)为连续函数的充要条件是 a= 10 【正确答案】 x2+bx+c【试题解析】 在单位时间内生
12、产 x 件产品的成本函数为 c(x)，边际成本就是 c(x)，已知 c(x)=ax+b从而 c(x)= ax2+bx+c由题设条件 c(0)=c0(即不生产也应支出的固定成本)，于是知 c=c0从而 c(x)= x2+bx+c011 【正确答案】 121n 2【试题解析】 12 【正确答案】 x(x+C)，其中 C 为任意常数【试题解析】 y= =x(1dx+c)=x(x+C)，其中 C 为任意常数13 【正确答案】 n【试题解析】 由题设条件 AB=A+B，得 ABA 一 B+E=E，即(AE)(B 一 E)=E，从而知 AE 和 BE 是互逆矩阵且有(B 一 E)(AE)=BA 一 AB+
13、E=E，即BA=A+E，则 AB=BA，且 r(AE)=r(BE)=n，故 r(ABBA+AE)=r(A 一 E)=n14 【正确答案】 2【试题解析】 法一 X 的所有可能取值为 0，1，2， ，其概率分布为法二 若记 Y 为“A 第一次发生时的试验次数”，则 y 服从参数为 的几何分布，又随机变量 X=Y 一 1，则 EX=E(Y1)=EY 一 1 一 一 1=2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设u= ，于是上式变为常微分方程 则 z=+C，x0，y0，其中 C 为任意常数16 【正确答案】 f(a)=0，f(x)=e a 一 aex 一 1，f“(x
14、)=一 aex0以下证明 f(a)0 令 (a)=f(a)=ea 一 aea 一 1，有 (a) a=0=0，(a)=ae a0(a 0)所以 (a)0(a 0)，即 f(a)0(a0)将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开： f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ f“()(x 一 a)20(0ax) ，证毕17 【正确答案】 区域 D 关于 x 轴对称，关于 y 轴也对称，被积函数 f(x，y)=x 2+y2 一 1既是 x 的偶函数， 也是 y 的偶函数取平面区域 D1=(x，y) 0x2 ，0y2， 由偶函数及相应的对称性的公式，有 I= x 2+y21d再将 D1 分成两块(
15、如图)： G 1=(x，y)(x，y)Dl 且x2+y21， G 2=(x，y) (x，y)D1 且 x2+y21，于是18 【正确答案】 将函数 f(x)=arctan(1 )展开成 x 一 1 的幂级数，为使式子简单起见，令 u=x 一 1， 于是 x=u+1，展开成 u 的幂级数(0)=arctan( 一 1)=一 ，19 【正确答案】 在第 2 个积分中，作积分变量代换，令 x= 时，t=0于是当 0x，并且 cos xsin x0，从而 I1 一 I20证毕20 【正确答案】 () 方程组(*) 的系数矩阵 已是阶梯形求得基础解系 1=(一 1，2，一 1，1，0) T， 2=(一
16、1，一 2，1，0，1) T，方程组通解为 k11+k22=k1 ，其中 k1，k 2 为任意常数() 法一 方程组(*)和(*)是同解方程组，将 1= 代入方程组(*)的第 1，2 个方程，由显然， 1 也满足方程组(*)的第 3 个方程将 2= 代入方程组(*)的第 3 个方程，由 3(一 1)+(一 2)+1+c=0，得 c=4显然， 2 也满足方程组(*)的第 1，2 个方程故知，当 a=一1，b=一 2，c=4 时，由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(*)的解反之，当a=一 1，b=一 2，c=4 时，方程组(*)的系数矩阵方程组(*)的未知量个数 n=5，方程组(*)的基础解
17、系由两个线性无关解组成，已验算方程组(*)的解全部是方程组(*)的解故方程组(*) 的解也全部是方程组(*) 的解，方程组(*)和(*) 是同解方程组法二 方程组(*)和方程组(*)是同解方程组，方程组(*) 和方程组(*) 的系数行向量是等价向量组，可以相互表示，记方程组(*)的 3 个行向量为 1， 2， 3，方程组(*)的3 个行向量为 1， 2， 3，将( 1T， 2T， 3T， 1T， 2T， 3T)作初等行变换，化成阶梯形，得当 a=一 1，b=一 2，c=4 时， 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示反之，当 a=一1，b=一 2，c=4 时，因r(1T， 2T， 3T
18、)=r(1T， 2T， 3T， 1T， 2T， 3T)=3，可知 1， 2， 3 也可由 1， 2， 3 线性表示故当 a=一 1，b=一 2，c=4 时，方程组(*)和方程组(*)是同解方程组21 【正确答案】 () 由题设 A2 一 3A+2E=O， 得 A2=3A 一 2E 代入 B，得 B=A 2一 2A+3E=3A 一 2E 一 2A+3E=A+E 又 A 2 一 3A+2E=(A+E)(A 一 4E)+6E=O， 即 (A+E)一 (A 一 4E)=E， 得 B=A+E 可逆，且 B2=一 (A 一 4E) ()证 法一 BT=(A2 一 2A+3E)T=B，B 是实对称矩阵 A
19、2 一 3A+2E=O 两边右乘 A 的特征向量，得( 2 一 3+2)=0，又 0，则 =1 或 2故 A 的特征值只能取值为 1 或2B=A+E 的特征值只能取值为 2 或 3，均大于零，故 B 正定 法二 B=A 2 一2A+3E=(AE)2+2E，由正定矩阵的定义即得 B 正定22 【正确答案】 () 由题意，知(X，Y) 的联合概率密度为 f(x，y)=则(U，V)的联合分布列， PU=0，V=0)=PX05，Y0= ， PU=0，V=1)=PX05，Y0= ， PU=1，V=0=PX05，Y0=， PU=1， V=1=PX05，y0= ， 由联合分布列可得，U，V 独立 ()先计算
20、 Cov(U，Y)=E(UY)一 EUEY，其中 EY= -+-+yf(x，y)dxdy= 01dx-xxydy=0， E(UY)= -+-+uyf(x，y)dxdy= dx-xxydy=0， 故 Cov(U，Y)=0，所以UY=023 【正确答案】 () 记 T 的分布函数为 F(t)，则 一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1 一 ，故在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1 一 F(T0)= ()考虑事件 A=试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，n 一 k 只未失效 的概率 由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件 A 的概率为 L()=C nk(1 一 )nk， 这就是所求的似然函数取对数得解得 的最大似然估计为
