1、考研数学（数学三）模拟试卷 469 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 f(0)= -aaf(x+a)f(x 一 a)dx= ( )（A） （B） （C） A（D）2A2 下列反常积分中，收敛的是 ( )3 幂级数 的收敛域为 ( )（A）(一 2，2) （B） 一 2，2（C） (一 8，8)（D）8，8 4 设 f(x，y)= 则在点 O(0，0)处( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数连续（C）函数连续，偏导数存在，但函数不可微（D）函数可微5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 n
2、m 矩阵，则 ( )（A）当 mn 时，必有AB=0（B）当 mn 时，AB 必可逆（C）当 nm 时，ABx=0 必有唯一零解（D）当 nm 时，必有 r(AB)m6 设 A 是 3 阶方阵，有 3 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 P-1A*P= ( )7 设 ZN(0 ， 1)，令 X=+Z，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n= 依概率收敛于 ( )（A） 3（B） 3（C） 3+32（D） 3+3338 设 XN(0 ，1) ，Y=X+X，Y 的分布函数为 FY(y)，则 FY(y)的间断点个数是 ( )（A）0
3、（B） 1（C） 2（D）3二、填空题9 设 f(x)= 则 ff(x)=_10 设 z= =_11 微分方程 y“一 3y+2y=xe 的通解为 y=_12 设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 f“(x)=0，其中 a，b均为常数，则 f(x)=_13 设线性方程组 A33X=b 有唯一解 1=(1，一 1，2) T， 是 3 维列向量，方程(A )X=b 有特解 1=(1，一 2，1，3) T，则方程组(A )X=b 的通解是_14 若 XN(1，4) ，则 D(X2 一 2X)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线
4、与曲线 y=ex 及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D ()求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体的体积 V16 设 f(x)在区间0，+)上可导，f(0)=0，g(x)是 f(x)的反函数，且 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xexex+1 求 f(x)，并要求证明：你得出来的 f(x)在区间0，+) 上的确存在反函数17 设 z=f(x，y)，z=g(y，z)+( )，其中 f，g， 在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为 0，求 18 设 D=(x， y) 1，常数 a0，b0，ab 。求二重积分 I= (x1)2+(2y+3
5、)2d19 某人向银行贷款购房，贷款 A0(万元)，月息 r，分 n 个月归还，每月归还贷款数相同，为 A(万元)(此称等额本息还贷，目前各银行都采用这个办法还贷)设至第t 个月，尚欠银行 yt(万元 ) ()试建立 yt 关于 t 的一阶差分方程并求解； ()利用t=n 时 yt=0，建立每月应向银行还贷 A(万元)依赖于 n 的计算公式20 设向量组(i) 1=(1，2，一 1)T， 2=(1，3，一 1)T， 31=(一 1，0，a 一 2)T， (ii)1=(一 1，一 2，3) T， 2=(一 2，一 4，5) T， 3=(1，b，一 1)T 设 A=(1， 2， 3)，B=(1，
6、2， 3) 问：( )a，b 为何值时，矩阵 A，B 等价?a，b 为何值时，A，B不等价? ()a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)等价?a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价?21 已知 A 是 3 阶方阵，A 的每行元素之和为 3，且齐次线性方程组 Ax=0 有通解k1(1，2 ，一 2)T+k2(2，1，2) T，其中 k1，k 2 是任意常数，=(1，1，1) T ()证明对任意的一个 3 维向量 ，向量 A 和 线性相关； ()若 =(3，6，一 3)T，求A22 ()若随机变量 X 的概率分布为令随机变量 Y=g(X)= 1+(一 1)X，求 Y 的概率分布；()若
7、XB(n，p)，求 X 取值为偶数时的概率PX 为偶数23 设 X1，X 2，X 10 是来自总体 N(，1)的简单随机样本，记()求 Z= 服从何种分布，并求 PZ0；( )求 D(S12+S22)考研数学（数学三）模拟试卷 469 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为为使运算简单起见，记 2a=b，于是有2 【正确答案】 C【试题解析】 通过具体计算，对于选项(C)，即收敛，故应选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 用一般记号， 为了使用洛必达法则，将 用 x 表示，n相当于 x0 +，并注意到 x 大于 0 的
8、时候，xsin x，所以可去掉绝对值号，考虑到所以收敛半径 R=8，收敛区间为(一 8，8)为讨论收敛域，讨论 x=8 处对应的级数的敛散性在 x=8 处，对应的级数的通项为所以0，级数在 x=8 处不收敛同理在 x=一 8 处亦不收敛，故收敛域为(一 8， 8)4 【正确答案】 D【试题解析】 f(x，y)x 2+y2，令(x，y)(0 ，0)，由夹逼定理有 同理fy(0，0)=0故(B) 不正确考虑点(0 ，0)处的f，则按可微定义，f(x，y)在点 O(0，0)处可微，故应选 D5 【正确答案】 A【试题解析】 法一 当 mn 时，r(AB)r(A)nm，AB 是 mm 矩阵，故必有AB
9、=0 故应选 A 法二 当 mn 时，方程组 Bnmx=0 有非零解，即存在x0，使 Bx=0 成立，两端左边乘 A，得 ABx=0，其中 x0，则AB=0，故应选A6 【正确答案】 D【试题解析】 法一 设 P=(1， 2， 3)，其中 1， 2， 3 分别是对应于 A 的特征值1=1， 2=2， 3=3 的特征向量，则 1， 2， 3 也是 A-1 的分别对应于特征值 1=的特征向量因 A*=A A -1，A =6故 1， 2， 3 是 A*的分别对应于特征值l1=A 1=6，l 2=A 2=3，l 3=A 3=2 的特征向量故有 P-1A*P=，故应选 D法二 由已知 P-1AP= ，两
10、边求逆，得(P -1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P= 上式左右两端分别乘A(A是一个数，A= =6)，得 P-1AA -1P=P-1A*P=， 故应选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 由 ZN(0，1)，X=+z，知 XN( ， 2)Y=E(Xi3)=E(Xi3)=E(X3)由 ZN(0，1)，知EZ=0，E(Z 2)=DZ+(EZ)2=1+0=1，E(Z 3)=0故 E(X 3)=E(+Z)3=E3+32Z+3(Z) 2+3Z 3 =3+32EZ+32E(Z 2)+3E(Z 3) =3+320+3 21+ 30 = 3+32综上，Y= Xi3 依概率收敛于3+32
11、8 【正确答案】 B【试题解析】 Y=X+ X = 由此，y=x+x的图形如图所示由分布函数的定义 FY(y)=PYy知，当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0时， FY(y)=PYy)=PX0+P02Xy =所以 FY(y)= 故 FY(y)在 y=0 处有一个间断点二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)的表达式，有最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4 式中 1 与 x1 的交集为空集，故化简为如答案所示10 【正确答案】 一 3xy2 ln(1+x2y)【试题解析】 11 【正确答案】 C 1ex+C2e2x 一( x+x)ex，其中 C1，C 2 为任意常数【试题
12、解析】 对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)ex， 代入原方程，得 y*=(一 x2 一 x)ex，所以通解如答案所示12 【正确答案】 0【试题解析】 取常数 h 0，在区间x，x+h上用泰勒公式： f(x+h)=f(x)+f(x)(x+h一 x)+ f“()(x+hx)2，axx+h 于是有 hf(x)=f(x+h)一 f(x)一 f“()hx 令 x+有 +，并且由已知 f“(x)=0，有13 【正确答案】 k(0，一 1，一 1，3) T+(1，一 2，1，3) T，其中 k 是任意常数【试题解析】 AX=b 有唯一解r(A)=3r(
13、A)=3r(A )=r(A)b)=3 方程组(A )X=b的通解形式为 k+，其中 k是(A)X=0 的通解， 是(A )X=b的特解 已知(A )X=b有特解 1=(1，一 2，1，3) T另一个特解可取 2=(1，一1，2，0) T 故(A )X=b有通解 k(1 一 2)+1=k(0，一 1，一 1，3) T+(1，一2，1，3) T，或 k(1 一 2)+2=k(0，一 1，一 1，3) T+(1，一 1，2，0) T，其中 k 是任意常数14 【正确答案】 32【试题解析】 由题意，易知 2(1)故 D(X22X)=D(X22X+1)=D(X1)2=16D( )=162=32三、解答
14、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex 在点 P 的切线斜率为 y=， 切线方程为 yy 0= (xx0) 它经过点(0， 0)，所以一 y0=一 x0，代入求得 x0=1，从而 y0= =e，切线方程为 y=ex ()取水平条面积元素， (积分 0eln ydy 为反常积分， yln y=0 来自洛必达法则)()D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为16 【正确答案】 将 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xexex+1 两边对 x 求导，得 gf(x)f(x)+f(x)=xex 由于 gf(x
15、)=x，上式成为 xf(x)+f(x)=xex 当 x0 时，上式可以写为 f(x)+f(x)=ex， 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 由 f(x)在 x=0 处可导且 f(0)=0，得当且仅当 C=1 时上式成立，所以 下面证明上面得到的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数由所得到的表达式 f(x)在区间0 ，+)上连续，所以只要证明 f(x)在x(0，+)上单调即可由 取其分子，记为 (x)=x 2exxex+ex 一 1， 有 (0)=0，(x)=(x 2+x)ex0，当 x(0，+)时，(x)(0)=0 ，f(x)0所以，f(x)在区间0，+)上存在反函数证毕17 【正确答案
16、】 复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，用微分形式不变性解比较方便由 z=f(x，y)，有 dz=f1dx+f2dy (*)18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 设至第 t 个月，尚欠银行贷款 yt(万元) ，再经一个月，本息共计欠贷(1+r)y t(万元)，还了 A(万元)，尚欠 (1+r)y tA=yt+1， 即 y t+1 一(1+r)y t=一A 此为一阶常系数线性差分方程，解之得通解 y t=C(1+r)t+ 初始条件为y0=A0，从而 C=A0 一 ，于是得特解为 yt=(At 一 ()因 t=n 时yt=0代入上式，得 这就是每月应还贷的数额20 【正确答案】 ()A Br
17、(A)=r(B) 将增广矩阵 (AB)一起作初等行变换，当 a3 且 b2 时，r(A)=r(B)=3，AB； 当 a=3 且 b=2 时，r(A)=r(B)=2，A B； 当 a=3，b2 或a3，b=2 时，r(A)r(B)，A，B 不等价 ()(i) (ii) 1， 2， 3 和 1， 2， 3 可以相互表出 ( 1， 2， 3)x=i(i=1，2，3)，( 1， 2， 3)y=i(i=1，2，3)均有解 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， i)，i=1 ，2，3，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， i)，i=1，2 ，3 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=r(
18、1， 2， 31， 2， 3) 当 a3 且 b2时，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=r(1， 2， 31， 2， 3)=3，(i) ，(ii)等价； 当a=3 时，( 1， 2， 3)x=1(或 2)无解，(i) ，(ii)不等价； 当 b=2 时，( 1， 2， 3)y=2(或 3)无解，(i)，(ii)不等价21 【正确答案】 () 由题设条件，A 的每行元素之和为 3，则 即 A有特征值 1=3，对应的特征向量为 1=(1，1，1) TAx=0 有通解 k1(1，2，一 2)T+k2(2，1，2) T，知 A 有特征值 2=3=0，对应的特征向量为 2=(1，2，一 2)
19、T， 3=(2，1，2) T因 1， 2， 3 线性无关，故任意 3 维向量 均可由 1， 2， 3 线性表出，设 =x 11+x22+x33，从而有 A=A(x 11+x22+x33)=x1A1=3x1 =3x1，得证 A 和 线性相关()解当 =(3，6，一 3)T 时，令 =x11+x22+x33，解非齐次线性方程组 对(*)式的增广矩阵作初等行变换，得解得 (x1，x 2，x 3)T=(3，2，一 1)T即 =3 1+223， A=A(3 1+223)=31=3322 【正确答案】 () 当 x=1 时，Y= 1+(一 1)1=0；当 X=2 时，Y= 1+(一 1)2=1； 当 X=
20、3 时，Y= 1+(一 1)3=0；当 X=4 时，Y= 1+(一 1)4=1 故随机变量Y 的概率分布为 ()令随机变量 Y=g(x)= 1+(一 1)X，当 X=2k+1(奇数)时，Y= 1+(一 1)2k+1=0；当 X=2k(偶数)时，Y= 1+(一 1)2k=1，23 【正确答案】 () 由题知 Xi(i=1，2，10)独立同分布服从 N(，1) ，则Y1N(， )， 且 Y1，Y 2 独立，故 Y1 一 Y2N( 一 ，)进一步 N(0，1)又 S22 2(5)，S 22 与 Y1，Y 2 均独立，故 由 t 分布的对称性知 PZ0=( ) S12= (Xi 一 )2 2(4)，S 22= (Xj 一 Y2)2 2(5)，又 S12，S 22 相互独立，故 S12+S22 2(9)，则 D(S12+S22)=29=18
