1、考研数学（数学三）模拟试卷 470 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设 则必有 ( )（A）f(0)=1（B） f“(0)=2（C） f“(0)=3（D）f (4)(0)=42 设 f(x)= ，则关于 f(x)的单调性的结论正确的为 ( )（A）在区间(一，0) 内是严格单调增，在(0，+)内严格单调减（B）在区间(一，0)内是严格单调减，在(0，+)内严格单调增（C）在区间(一，0)与(0，+) 内都是严格单调增（D）在区间(一，0) 与(0，+) 内都是严格单调减3 设 f(x)=arctan 2
2、x，则 f(2017)(0)= ( )（A）2 017!2 2017（B） 2 016!22017（C）一 (2 017!)22017（D）一(2 016!)220174 设 f(x，y)= 则在点 O(0，0)处 ( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数连续（C）偏导数存在，函数也连续（D）偏导数不存在，函数也不连续5 设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B则下列关系中不正确的是 ( )（A）A+B = AB （B） (AB)-1=A-1B-1（C） (AE)x=0 只有零解（D）BE 不可逆6 设 A，B，C 均是 3 阶方阵，满足 AB=C，其中则必有
3、( )（A）a= 一 1 时，r(A)=1 （B） a=一 1 时，r(A)=2 （C） a1 时，r(A)=1（D）a1 时，r(A)一 27 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据： 设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合且无区别标志现从仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，则最有可能来自 ( )（A）元件制造厂 1（B）元件制造厂 2（C）元件制造厂 3（D）无法判断8 抛一枚均匀的硬币若干次，正面向上次数记为 X，反面向上次数记为 Y，当 XY2 时停止，则试验最多进行 5 次停止的概率为 ( )二、填空题9 设 y(x)是微分方程 y“+(x+
4、1)y+x2y=x 的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，并设存在且不为零，则正整数k=_，该极限值=_ 。10 =_11 微分方程 满足初始条件 y(1)=1 的特解是_12 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=0，f(0)=A0则=_13 设 A 是 3 阶矩阵已知A+E=A+2E= A+3E=0，则A+4E=_14 在一个袋中装有 a 个白球， b 个黑球，每次摸一球且摸后放回重复 n 次已知摸到白球 k 次的条件下，事件 B 发生的概率为 ，则 P(B)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设三角形三边的长分别为 a，b，c ，此三角形的面积设为
5、 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离16 设 z=f(u)存在二阶连续导数，并设复合函数 z=f( )在 x0 处满足求 f(u)及 f(u)的一般表达式17 设 ()证明 f(x)在 x=0 处连续；() 求区间 (一 1，+)上的 f(x)，并由此讨论区间(一 1，+)上 f(x)的单调性18 设 n 为正整数，F(x)= ()证明对于给定的 n，F(x) 有且仅有 1 个(实) 零点，并且是正的，记该零点为 an；()证明幂级数 anx 在 x=一1 处条件收敛，并求该幂级数的收敛域19 设 f(x，y)=max ，1)，D=(x，y)xy1求 f(x，y)
6、d20 设 A= ， E 是 3 阶单位阵( )求方程组 Ax=0 的基础解系和通解；()设 B43，求满足 AB=E 的所有 B21 设矩阵 其中 ai，b i(i=1，2，n)不全为零设tr(A)=a证明：()a0 ，矩阵相似于对角阵；()a=0，矩阵不能相似于对角阵22 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2)= ，在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i=1，2)求随机变量 Z=XY 的分布函数23 设总体 X 的概率密度 f(x)= (一 x+) ，其中 为未知参数()若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，1 200，求 的矩估计值
7、；()若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，1 200，求 的最大似然估计值； ()若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，则 的最大似然估计值唯一吗 ?考研数学（数学三）模拟试卷 470 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用佩亚诺泰勒公式先考虑分母， tan xsin x=x3(x0) 将 f(x)在 x=0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至 n=3，得所以 f(0)=0， f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=3 故应选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= 取其分子，令 (x)=xex
8、ex+2，有(0)=10，(x)=xe x，当 x0 时，(x)0；当 x0 时，(x)0所以当 x0时，(x)0；当 x0 时，也有 (x)0故知在区间 (一，0)与(0，+)内均有f(x)0从而知 f(x)在区间(一，0)与(0，+)内均为严格单调增3 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=arctan 2x，由麦克劳林展开式的唯一性知， (一 1)n22n+1= ，所以 (2n)(0)=(一 1)n(2n)!22n+1，从而 f (2n+1)(0)=(一 1)n(2n)!22n+1将 2n+1=2 017，n=1 008 代入，得 f(2017)(0)=2 016!22017选B4 【
9、正确答案】 A【试题解析】 由偏导数定义，得即两个偏导数都存在考虑连续性，取 y=kx2，让点(x，y)(0，O)则 f(x，kx 2)= (x0)，所以当 x0 时，f(x，kx 2) f(x，y)不存在，更谈不上连续性故应选 A5 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 满足 AB=A+B，两边取行列式，显然有A+B=AB=A B，A 正确 由 AB=A+B， 移项，提公因子得 ABA=A(BE)一 B，A(B E)=BE+E，(AE)(BE)=E 故 AE，BE 都是可逆矩阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(AE)x=0 只有零解，(C)正确 BE 不可逆是错误的，(D)不正确又因 (AE
10、)(BE)=E ， 故 (BE)(A E)=E， 从而有 BA 一 AB+E=E，BA=A+B ，得 AB=BA，则 (AB)-1=(BA)-1=(BA)-1=A-1B-1，故(B)正确 因此(A) ，(B)，(C)是正确的，应选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 显然 r(C)=1，又当 a一 1 时，有 r(B)=3， B 可逆，因 AB=C，故 r(A)=r(AB)=r(C)=1故应选(C)因(C) 成立，显然(D)不能成立当 a=1 时，取 A= ，有 AB=C，此时 r(A)=1；也可取 A=，也有 AB=C，此时 r(A)=2故(A)，(B)均不成立7 【正确答案】 B【试题解析
11、】 设事件 Ai=元件来自工厂 i，i=1，2，3，B=取出一只是次品，则 P(A1)=015 ，P(A 2)=0 80，P(A 3)=005， P(B A1)=002，P(BA 2)=0 01，P(BA 3)=003 由贝叶斯公式，知 P(A iB)= ，i=1 ， 2，3 因为分母相同，故只需比较分子大小即可， P(A 1)P(BA 1)=0003，P(A 2)P(BA 2)=0008，P(A 3)P(BA 3)=00015 所以P(A2B)最大，故选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 满足条件的情况有：“正正正”、“反正正正正”、“正反正正正”、“正正反正正”，所以概率为 故选 D二、
12、填空题9 【正确答案】 2；一【试题解析】 由 y(0)=0 知，所求极限为“ ”型，又由初始条件 y(0)=1，若 k=1，则上述极限为 0，不符，故 k2 由所给方程知，y“(0)=x (x+1)yx2yx=0=1则 k=2，否则极限为，不符合题意，此时上述极限为10 【正确答案】 (e21)【试题解析】 由上、下限知，积分区域 D=D 1D2=(x，y)0x1，0y1(x， y)ln yx1，1ye =(x，y)0ye x，0x111 【正确答案】 y=xe 1x【试题解析】 此微分方程为一阶齐次方程，令 y=ux，有 ，原方程化为 u+ uln u=0，u=1 得 lnln u 一 1
13、=lnC 1x，其中 C1 为任意非零常数 去掉绝对值号，得 ln u=Cx+I(C=C1)，u=e Cx+1，将 u x=1=1 代入得 C=一1，u=e 1x，故 原方程的解为 y=xe1x12 【正确答案】 1【试题解析】 由洛必达法则知所以原式=113 【正确答案】 6【试题解析】 法一 由题设A+E=A+2E = A+3E=0 知，A 有三个不同的特征值 1=一 1， 2=一 2， 3=一 3，则 A+4E 的特征值为 3，2，1，故A+4E =321=6 法二 由题设A+E=A+2E=A+3E=0 知，A 有三个不同的特征值 1=一 1， 2=一 2， 3=一 3，故存在可逆阵 P
14、，使得 P-1AP=P-1，将其代入 A+4E得14 【正确答案】 【试题解析】 由题意，每次摸一球且摸后放回重复 n 次实质为 n 重独立重复试验，则每次摸到白球的概率记为 p= 设事件 Ak=在 n 重独立重复试验中摸到白球 k 次，则 P(A k)=Cnkpk(1 一 p)nk(k=0，1，2，n) ，由全概率公式得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 P 为三角形内的任意一点，该点到长分别为 a，b，c 的边的距离分别为 x，y，z 由三角形的面积公式有 求 f=xyz 在约束条件 ax+by+cz 一 2S=0 下的最大值令 W=xyz+(ax+b
15、y+cz 一 2S) 由拉格朗日乘数法，得 解得 x=显然当 P 位于三角形三边上时，f=0 为最小值；当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值由于驻点唯一，故当 x= 时，f 最大，即 f max= 16 【正确答案】 令 u= ，原方程两边同乘 x2 化为(1+u 2)f“+2uf=0这是关于 f的一阶线性微分方程(或变量可分离的微分方程)，即 (1+u 2)(f)+2u(f)=0解得 f(u)= ，再积分，得 f(u)=C1arctan u+C2，其中 C1， C2 为任意常数17 【正确答案】 () 由题设当 x(一 1，+) 且 x0 时所以 f(x)在 x=0 处连续下面求区间(一
16、 1，+)且 x0 上的 f(x)：为讨论 f(x)的符号，取其分子记为 g(x)，即令 g(x)=(1+x)ln 2(1+x)一 x2，有 g(0)=0 g(x)=2ln(1+x)+ln 2(1+x)一 2x，有 g(0)=0，当一 1x+且 x0 时，由泰勒公式有，当一1x+且 x0 时， g(x)= g“()x20，g(0)=0所以当一 1x+且 x0 时f(x)0又由 f(0)=一 ，所以 f(x)0(一 1x+) ，由定理：设 f(x)在区间(a， b)内连续并且可导，导数 f(x)0，则 f(x)在区间(a ，b) 内为严格单调减少所以在区间(一 1，+)上 f(x)单调减少18
17、【正确答案】 () 所以对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零点，记为 an，且所以a n严格单调减少且 (一 1)nan 收敛但 ananxn 在 x=一 1 处条件收敛，且收敛域为一1，1)19 【正确答案】 如图所示，将平面区域 D 分成三块，中间一块记为 D3，左、右两块分别记为 D1 与 D2则20 【正确答案】 对增广矩阵(AE)作初等行变换所以 Ax=0 的基础解系为 =(3，2，一 3，1) T，通解为 k，其中 k 是任意常数( )由(*)式知，将 B，E 按列分块则 AB=E，即 A( 1， 2， 3)=(e1，e 2，e 3)，Ai=ei，i=1 ， 2，3由 可知 A1
18、=e1 有特解 1=(5，1，一 3，1) T，通解为 k+1；A 2=e2 有特解 2=(4，3，一 4，1) T，通解为 l+2； A3=e3 有特解 3=(一 2，0，1，0) T，通解为 n+3故 B=(k+1，l+ 2，n+ 3)= ，其中 k，l ，m 是任意常数21 【正确答案】 () 设 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T，则矩阵A=T 于是 A 2=AA=(T)(T)=(T)T =( aibi)A=tr(A)A=aA 设 是 A 的特征值， 是对应的特征向量，则 A 2=aA， 2=a，( 2 一 a)=0由于 0，故有 (a)=0所以，矩阵 A 的
19、特征值是 0 或 a又因为 i=tr(A)=a0，所以1=a 是 A 的 1 重特征值， 2=3= n=0 是 A 的 n 一 1 重特征值对于特征值2=3= n=0，齐次线性方程组(0E 一 A)x=0 其系数矩阵的秩 r(0E A)=r(一A)=r(A) =r(T)minr()，r( T)=1又因为 tr(A)= aibi=a0，a i，b i(i=1，2，n)不全为零由此可知 r(A)1所以 r(0E A)=1因此，矩阵 A 的属于 n 一 1 重特征值 0 的线性无关的特征向量个数为 n 一1从而，A 有 n 个线性无关的特征向量，故 A 相似于对角矩阵()当 tr(A)=0 时，=0
20、 是 A 的 n 重特征值但因 ai，b i(i=1，2，n)不全为零，故 A0，因而 A 不相似于对角阵22 【正确答案】 F Z(z)=PZz=PXYz =PX=1PXYzX=1+PX=2PXYzX=223 【正确答案】 ()EX= -+x =1 100 () 对于总体的样本值 1 000，1 100，1 200，似然函数 L()= e-(1000+ 1100 +2000) ， 由于 f()=1 000 一 + 1 100 一 +1 200 一 在=1 100 时取得最小值，则 L()取得最大值，即 的最大似然估计值 =1 100 (11)对于总体的样本值 1 000，1 100，似然函数 L()= e-(1000+1100) ， 由于 f()=1000 +1100 在 1 000，1 100时取得最小值，则 L()取得最大值， 即 的最大似然估计值不唯一
