1、考研数学（数学三）模拟试卷 471 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是以 3 为周期的可导函数，且 f(一 1)=1，则（A）一 4（B） 4（C）（D）2 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数 y=f(x)的曲线如图所示，则 f(x)有（A）两个极小值点，一个极大值点，三个拐点（B）一个极小值点，一个极大值点，两个拐点（C）一个极小值点，一个极大值点，三个拐点（D）一个极小值点，两个极大值点，三个拐点3 曲线 的拐点的个数为（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个4 下列级数中属于条件收敛的是5 a=一 5 是齐次
2、方程组 有非零解的（A）充分必要条件（B）充分条件，但不是必要条件（C）必要条件，但不是充分条件（D）既不是必要条件又不是充分条件6 n 维向量 =(12，0，0，12) T，A=E 一 4T，=(1 ，1，1) T，则 A 的长度为（A）（B）（C） n（D）n 27 设 X，Y 为随机变量，PXY0= ,Pmax(X,Y)0= 则 Pmin(X，Y0=8 设随机变量 X 的密度函数为 则下列服从标准正态分布的随机变量是二、填空题9 n 为给定的自然数，极限10 设 f(x)=x2eax 在(0 ，+) 内有最大值 1，则 a=_11 反常积分12 设平面区域 D=(x，y)|x 3y1，一
3、 1x1，f(x)是定义在一 a，a(a1)上的任意连续函数，则 (x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x)dxdy=_13 已知 ，则 A-1=_14 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 Emin(X，Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 抛物线 y=x2 上任意点(a，a 2)(a0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1 垂直， (I)求 L1 与 L2 交点的横坐标 x1； ()求 L1,L2 与抛物线 y=x2 所围图形的面积 S(a)； ()问 a0 取何值时 S(a)取最小值16 (I)求积分 f(
4、t)= (一t+)( )证明 f(t)在(一，+)连续，在t=0 不可导17 设某企业生产一种产品，其成本 C(Q)= -16Q2+100Q+1000，平均收益=a 一 (a0，0b24)，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 Ep= 时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数 a 与 b 的值18 计算二重积分 其中 D 是由 x2+y2=1 的上半圆与 x2+y2=2y 的下半圆围成的区域19 设数列a n，b n满足 (n=1，2，3，)，求证：(I)若 an0，则bn0；() 若 an0(n=1，2，3，)，20 设 1=(1， 3，5，一 1)T， 2=(2，7，a，4) T，
5、 3=(5，17，一 1，7) T 若1， 2， 3 线性相关，求 a 当 a=3 时，求与 1， 2， 3 都正交的非零向量 4 设 a=3， 4 是与 1， 2， 3 都正交的非零向量，证明 1， 2， 3， 4 可表示任何一个 4 维向量21 已知三元二次型 xTAx 的平方项系数都为 0，=(1，2，一 1)T 满足 A=2 求 xTAx 的表达式 求作正交变换 x=Qy，把 xTAx 化为标准二次型22 设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10 个白球每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放人另一袋中，试求： (I)这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p3； ()
6、 这样的交换进行了 n 次，黑球仍在甲袋中的概率 pn；23 设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中D=(x，y)|0yx2 一 y试求：(I)X+Y 的概率密度；()X 的边缘概率密度；()PY02|X=15考研数学（数学三）模拟试卷 471 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 注意 f(x)也以 3 为周期，f(一 1)=f(2)，利用导数可求得极限故应选(C)2 【正确答案】 C【试题解析】 由图可知，f(x)有两个零点：x 10，x 20，且在 x1 两侧 f(x)由正变为负，即 f(x)先增
7、后减，于是 x1 为极大值点；类似分析可知 x2 为极小值点x=0为 f(x)不存在的点(第二类间断点 )，在 x=0 两侧均有 f(x)0，因此 x=0 不是极值点但在 x=0 两侧 f(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外，除 x=0 点外，考察 f(x)的增减性，还有两个点 x3，x 4，使 f(x)在它们的两侧改变增减性因此这两个点也是曲线 y=f(x)的拐点 综合上述分析，应选(C)3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)， (C)不是条件收敛由5 【正确答案】 B【试题解析】 根据克拉姆法则，当
8、齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为 0=(a+5)(a 一3)于是 a=一 5 是(I)有非零解的充分条件，但不是必要条件6 【正确答案】 B【试题解析】 A=(E 一 4T)= 一 4(T)= 一 4=(一 1，1，1，一 1)T，7 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)8 【正确答案】 D【试题解析】 而(A)，(B)，(C) 三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 此极限是 1型未定式其中大括号内的极限是 型未定式，由洛必达法则，有10 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，+) 内
9、可导，且取得最大值，所以其最大值必在 f(x)的驻点处取得由 f(x)=2xeax+ax2eax=0 知 为 f(x)在(0，+)内唯一的驻点，故11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 令 F(x)=(x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x) 则 F(一 x)=(一 x+1)f(一 x)+(一 x 一1)f(x) =一(x 一 1)f(一 x)+(x+1)f(x)=一 F(x)即 F(x)为奇函数 (x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x)dxdy=-11(x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x)dx 2ydy=-11(1 一 x6)F(x)dx=0
10、其中 1 一x6 为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 minX ，Y= 由题设 X，Y 独立，则有 Z=XYN(0，2 2)，于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)抛物线 y=x2 在点(a，a 2)处的切线为 L 1：y=a 2+2a(x 一 a)，即y=2axa2 另一点(b，b 2)处的切线为 L 2：y=b 2+2b(x 一 b)，即 y=2bxb2它们的交点(x 1，y 1)满足()L 1，L 2 与 y=x2 所围图形的面积 由 x1 的
11、表达式知，x 1b=a 一x1 ()求导解最值问题由16 【正确答案】 ()t0 时 f(t)与初等函数相同，故连续又故 f(t)在 t=0也连续因此 f(t)在(一，+) 连续17 【正确答案】 收益函数 R(Q)= 当取得最大利润时，边际收益等于边际成本，即 MR=MC又 MR=R=a 一 bQ，于是 44=C(Q)=2Q 232Q+1 00， 即 Q2 一 16Q+28=0解得 Q 1=14， Q 2=2故当 Q=14 时， 企业利润取极大值当Q=2 时，得 b=38，不满足 0b24 的条件，故舍去所以当产量 Q=14 时，企业利润取极大值，也是最大值18 【正确答案】 因区域 D 关
12、于 y 轴对称 为偶函数对 D1，D 2 引入极坐标19 【正确答案】 (I)由 an0 证 bn0 证明数列不等式转化为证明函数不等式 ex1+x ，(x0) 令 f(x)=ex 一(1+x)，则 f(x)=e x 一10(x 0) 又由 f(x)在0，+)连续 f(x)在0，+)单调上升 f(x)f(0)=0(x0) ex1+x(x0) 一 an1，即 bn020 【正确答案】 1， 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3)3得 a=一3 与 1， 2， 3 都正交的非零向量即齐次方程组的非零解，解此方程组：解得 4=c(19，一 6，0，1) T，c0 只用证明 1， 2， 3， 4
13、 线性无关，此时对任何 4 维向量 ，有 1， 2， 3， 4， 线性相关，从而 可以用 1， 2， 3， 4线性表示由知，a=3 时， 1， 2， 3 线性无关，只用证明 4 不能用 1， 2， 3线性表示 用反证法，如果 4 能用 1， 2， 3 线性表示，设 4=c11+c22+c33，则 ( 4， 4)=(4，c 11+c22+c33)=c1(4， 1)+c2(4， 2)+c3(4,3)=0得 4=0，与 4是非零向量矛盾21 【正确答案】 设 则条件 A=2 即得 2a 一 b=2，a 一 c=4，b+2c=一 2，解出 a=b=2，c=一2 此二次型为 4x1x2+4x1x34x2
14、x3 先求 A 特征值于是 A 的特征值就是 2，2，一4再求单位正交特征向量组属于 2 的特征向量是(A 一 2E)x=0 的非零解得(A 一 2E)x=0 的同解方程组：x 1一 x2 一 x3=0 显然 1=(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为 2=(1，一 1，c) T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得 c=2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1， 2再把它们单位化：属于一 4 的特征向量是(A+4E)x=0 的非零解求出 3=(1，一 1，一 1)T 是一个解，单位化：则 1， 2， 3 是 A 的单位正交特征向量组，特征值依次为 2，2，一 4作正交矩
15、阵 Q=(1， 2， 3)，则 Q-1AQ 是对角矩阵，对角线上的元素为 2，2，一 4作正交变换 x=Qy，它把 f(x1，x 2，x 3)化为 2y12+2y224y3222 【正确答案】 (I)不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是 01，且各次试验相互独立三次取球交换可以看成三次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是 3 次取球中黑球被取到0 次或 2 次的概率，因此所求概率为 p 3=C30(01) 0(09) 3+C32(01)209=0756 ( )根据(I)的分析，当交换了 n 次以后，黑球仍在甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含 01 的偶次幂项的和，故所求概率为23 【正确答案】 (I)如图，区域 D 即 AOB 的面积 SD=1，因此(X，Y) 的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时， 于是 X+Y的概率密度 f(z)为 或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y 的概率密度由于 f(x，z 一 x)只有在 0zxx2 一(z 一 x)时才不为0，即只有当 xz2 时()当X=15 时 fX(15)=05 ，条件密度 故 PY02|X=15= 00.2fY|X(y|15)dy= 00.22dy=0 4
