1、考研数学（数学三）模拟试卷 472 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 在区间(0，4)内某点 a 处的导数 f(a)不存在，则必有（A）（B） a=1（C） a=2（D）a=3 2 设 f(x)在0，1上连续，又 F(x)= ，则（A）F(x+) F(x)(x(一 ，+)（B） F(x+)F(x)(x (一，+)（C） F(x+)=F(x)(x(一 ，+) （D）x0 时 F(x+)F(x)，x0 时 F(x+)F(x)3 设 D=(x， y)|x+y1，x 2+y21，则 的值为4 已知幂级数 在 x0 时发散，且在 x=0 时收敛
2、，则（A）a=1 （B） a=一 1（C）一 1a1（D）一 1a15 设 A= 要使得 A 正定，a 应该满足的条件是（A）a2（B） a2（C） 0a2（D）a06 n 维向量组(I) 1， 2， s 和( ) 1， 2， t 等价的充分必要条件是（A）r(I)=r() ，并且 s=t（B） r(I)=r()=n（C） r(I)=r()，并且(I)可以用()线性表示（D）(I)和( )都线性无关，并且 s=t7 袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为8 设 是取自同一正态总体 N(， 2)的两个相互独立且容
3、量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 005 的最小样本容量 n=（A）4（B） 8（C） 12（D）24二、填空题9 与曲线(y 一 2)2=x 相切，且与曲线在点 (1，3)处的切线垂直，则此直线方程为_10 将抛物线 y=x2 一 x 与 x 轴及直线 x=c(c1) 所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积 Vx 等于弦 op(p 为抛物线与直线 x=c 的交点)绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 ，则 c 的值为_11 设 f(x)= 则 f(x)=_12 二阶微分方程 y“+y=10e2x 满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解是 y=_13 已知 的任意两
4、个特征向量都线性相关，则 a=_14 一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 pi= (i=1， 2，3)则三个零件中合格品零件的期望值为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 F(x)=01(1 一 t)ln(1+xt)dt(x一 1)，求 F(x)(x一 1，x0) 并讨论 F(x)在(一1，+)上的连续性16 (I)设 f(x)= 求f(x)dx ；17 过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 及 y 轴围成平面图形D(I)求切线 L 的方程 ()求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V18 设积分区域 D=(x
5、，y)|x 2+y2x+y，计算二重积分 (x2+xy+y2)d19 求证 f(x)=x(1 一 x)cosx 一(12x)sinx 0 当 x 时成立20 设 1， 2， s 和 1,2， t 都是 n 维列向量组，记矩阵 A=(1， 2， s)，B=( 1， 2， t)证明：存在矩阵 C，使得 AC=B 的充分必要条件是 r(1， 2， s； 1， 2， t)=r(， 2， s)已知矩阵方程 AX=B 有解，求a，b并求它的一个解21 已知 判断 A 与 B 是否相似?要说明理由22 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，方差 DX=4，而随机变量 Y 的密度函数为2f(一 2y)，且
6、X 与 Y 的相关系数 记 Z=X+2Y(I)求 EZ，DZ；()用切比雪夫小等式估计概率 P|Z|423 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为一x+ 0 是未知参数(I)求 的矩估计量 ()求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 472 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 f-(2)=(2x)|x=2=2，f +(2)=(x2)|x=2=4，f -(2)f+(2)故 f(2)不存在，即 a=2选(C) 2 【正确答案】 C【试题解析】 f(|sinx|) 是以 为周期的周期函数
7、，因而有 f|sin(x+)|=f(|sinx|)因此选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成(它位于第一象限)，如图 记 D 1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0， D 2=(x，y)|x+y1 ，x0，y0 ，显然 D=D1D 2，于是故选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 由 知该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为|x 一 a|1，即 a 一 1xa+1又当 x 一 a=1 即 x=a+1 时，原级数为 收敛；当 xa=一 1 即 x=a 一 1 时，原级数为发散因此，原级数的收敛域为 a 一 1xn+1 于是，由
8、题设 x=0 时级数收敛，x0 时级数发散，可知 x=0 是其收敛区间的一个端点，且位于收敛域内因此只有 a+1=0 即 a=一 1故选(B)5 【正确答案】 C【试题解析】 用顺序主子式 A 的 3 个顺序主子式为 2，4 一 a2，2a 一 a2，它们都大于 0 的条件是 0a26 【正确答案】 C【试题解析】 (I)与( )等价的充分必要条件是 r(I)=r()=r(I，)? (A) 缺少条件r(I，)=r(I) (B) 是(I)与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数 (D)(I)和() 都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如 (I)：1=(1，0，0，0)， 2
9、=(0，1，0，0)，()： 1=(0，0，1，0)，设 2=(0，0，0，1)? (I)和 ()都无关，并且 s=t=2，但是(I)和() 不等价 (C)(I)可以用()线性表示，则 r()=r(I， ) 7 【正确答案】 D【试题解析】 设 Ai 表示第 i 次取到白球，i=1，2， ，n，则由乘法公式可得所以应选(D) 8 【正确答案】 B【试题解析】 因总体服从正态分布 N(， 2)，则，且故最小样本容量n=8选(B) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 对曲线方程求导，2(y 一 2)y=1，故 当 y=3 时，y= ，即曲线在点(1，3)处的法线斜率为一 2，由 代入曲线方程
10、，有 所以切点坐标为 故直线方程为10 【正确答案】 【试题解析】 图形如右图所示 V x=0cy2dx=0c(x2 一 x)2dx=0c(x4 一 2x3+x2)dx11 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，由 是“1 ”型未定式，故 当x=0 时，应用定积分定义求极限，有12 【正确答案】 2e 2x 一 2cosx 一 3sinx【试题解析】 本题中微分方程的特征方程是 2+1=0，特征根是 =i 与 =一 i，由方程的右端项 10e2x 即知可设方程具有形式为 y*=Ae2x 的特解，从而方程通解的形式为 y=C 1cosx+C2sinx+Ae2x 计算可得 y”=一 C1cos
11、xC2sinx+4Ae2x把 y 与 y“代入方程就有 y”+y=5Ae2x令 5A=10 即 A=2 即得方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+2e2x 分别令 y(0)=C1+2=0 与 y(0)=C2+4=1 又可确定常数 C1=一 2，C 2=一 3故所求的特解是 y=2e2x 一 2cosx 一 3sinx13 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明 A 的三个特征值都相等，即 A 有一个 3 重特征值 3=tr(A)=3，于是 =1 有 |EA|=( 一 1)3 =+1+a(a+2)+( 一 1)(2 一 2 一 85a)=a
12、2+(a+1)+2a+1+( 一 1)(22+195a)=( 一 1)3+(a+1)+a2+2a+1 一( 一 1)(5a+9)=( 一 1)3 一(8+4a)+a 2+7a+10则 8+4a=0 并且a2+7a+10=0， 得 a=一 214 【正确答案】 【试题解析】 以 Ai 表示第 i 个零件合格，i=1，2， 3，A i 相互独立，于是有以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先将 F(x)转化为变限积分，令 s=xt，则下面讨论 F(x)的连续性因 ln(1+s)，sln(1+s) 当 s一 1 时连续，于是由
13、式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当 x一 1 且 x0 时 F(x)连续余下只需再求 F(0)并考察 F(x)在点 x=0 处的连续性 注意 F(0)=0，且从而 F(x)在点 x=0 处连续又这就证明了 F(x)在( 一 1， +)上连续16 【正确答案】 (I)用拼接法17 【正确答案】 (I)设切线的切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为 y(x0)= 所以切线 L 的方程为 其中 因 L 过(0，0)点，把x=0，y=0 代入上述方程得 即 x 0=2，y 0=e 因此所求切线 L 的方程为 ()平面图形 D 如右图取积分变量为t设 y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周
14、所得旋转体体积为 V1，它是锥体， (x0，2)即 x=2lny(y1，e)，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 V2，则 V=V1 一 V2，V 2=1e(2lny)2dy=4yln2y|1e1ey.2lny. =4e 一 21elnydy=4e 一 2ylny|1e+21edy=4e 一2e+2(e 一 1)=4(e 一 2)因此 V=V1 一 V2=18 【正确答案】 由于 x2+y2x+y 可改写为 令则可把区域 D 表示为 而且因为DI 关于 u=0 或 v=0 都对称，而 分别是关于 u 或关于 v 的奇函数，故在 D1 中作极坐标变换，即令 u=rcos，v
15、=rsin，就有19 【正确答案】 注意 f(x)在 上连续，且 f(0)= =0先求 f(x) =-2x(1一 x)sinx+(12x)cosx 一 (12x)cosx+2sinx=22x(1 一 x)sinx g(x)sinx，其中 g(x)=2 一 2x(1 一 x) 显然，f(x)的正负号取决于 g(x)的正负号，用单调性方法判断 g(x)的符号由于 g(x)=一 2(12x)0 故 g(x)在从而存在唯一的 x0使 g(x0)=0又由20 【正确答案】 根据向量组秩的性质， r(1， 2， s； 1， 2， t)=r(1,2， s) 1， 2， t 可以用 1， 2， ， s 线性表
16、示 如果矩阵 C使得 AC=B，记 C 的(i，j)位元素为 cij,则 j=c1j1+c2j2+csjs，j=1，2，s 从而 1， 2， t 可以用 1， 2， s 线性表示反之，如果 1， 2， t可以用 1， 2， s 线性表示，设 j=c1j1+c2j2+csjs，j=1 ，2，s 记 C的(i,j)位元素为 cij 的 st 的矩阵，则由矩阵乘法的定义，AC=B21 【正确答案】 关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手 =(+1)(2 一 2 一 3)=(+1)2( 一 3)
17、，A 的特征值为一 1，一 1，3= ( 一 3)(2+2+1) =( 一 3)(+1)2 B 的特征值也是一 1，一 1，3 再看 3 它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值一 1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看 r(A+E)和 r(B+E)是否为 1r(A+E)=1，因此 A 有属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 r(B+E)=2，因此 B 没有两个属于特征值一 1 的线性无关的特征向量，B 不相似于对角矩阵22 【正确答案】 (I)EZ=E(X+2Y)=EX+2EY= -+xf(x)dx+2-+y.2f(一 2y)dy =-+xf(x)dx+-+(一 2y)f(一 2y)d(一 2y) -+xf(x)dx+-tf(t)dt=0，由此可知，EZ=0，EY= 又 DY=EY2 一(EY) 2，而()由切比雪夫不等式23 【正确答案】
