1、考研数学（数学三）模拟试卷 474 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（A）|k|2（B） |k|1（C） |k|1（D）|k|22 设 f(x)= g(x)=01-cosxsint2dt，则 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小3 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)+f(1 一 x)0，则（A）0（B）（C）（D）14 极数 的收敛域为（A）(0 ，4)（B） 0，4) （C） (0，2) （D）0 ，2)
2、5 设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（A）把 A-1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B-1（B）把 A-1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B-1（C）把 A-1 第 2 行的一 3 倍加到第 4 行上得到 B-1（D）把 A-1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到 B-16 设 4 阶矩阵 A=(1， 2， 3， 4)，已知齐次方程组 AX=0 的通解为 c(1，一2，1，0) T，c 任意则下列选项中不对的是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2 线性无关（C） 1， 2， 4 线性无关（
3、D） 1， 2， 4 线性相关7 将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第二次出现奇数点 ”，事件 C 表示“ 偶数点最多出现一次” ，则（A）A，B，C 两两独立（B） A 与 BC 独立（C） B 与 AC 独立（D）C 与 AB 独立8 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(0，1)的简单随机样本, 是样本均值与样本方差，则下列不服从 2(n 一 1)分布的随机变量是二、填空题9 设函数 f(x)= 在 x=1 处连续，则 A=_10 已知函数 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值则曲线 y=f(x)的拐点是
4、_。11 设 0uf(u，v)dvdu，其中 f(u，v)是连续函数，则 dz=_12 二阶微分方程 y”=e2y 满足条件 y(0)=0,y(0)=1 的特解是 y=_13 已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，一 2，3则(A*)*的特征值为_14 假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是p(0p 1) 现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 n 及 a 的值16 求常数 k 的取值范围，使得 f(x)=kln(1+n)一 arctanx 当
5、x0 时单调增加17 设函数 f(x，y)= 计算二重积分 其中D=(x，y)|x 2+(y1)2118 作自变量替换 把方程变换成 y 关于 t 的微分方程，并求原方程的通解19 证明推广的积分中值定理：设 F(x)与 G(x)都是区间a，b上的连续函数，且G(x)0，G(x)0，则至少存在一点 a，b使得 abF(x)G(x)dx=F()abG(x)dx20 1=(1，0， 0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，一 1，一 3)T， 4=(0，0，3，a) T，=(1，b，3，2) T， a 取什么值时 1， 2， 3， 4 线性相关?此时求 1， 2， 3， 4 的
6、一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出 在 1， 2， 3， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用1， 2， 3， 4 线性表示?写出一个表示式21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1，x 2，x 3) 已知它的秩为 1 求 a和二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵 作正交变换将 f(x1，x 2，x 3)化为标准二次型22 设随机变量(X，Y) 的联合概率密度为(I)求随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度；() 讨论随机变量 X 与 Y 的相关性和独立性23 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p(0p 1) 现进行 1
7、0 批试验，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：(I)试验成功率 p 的矩估计值； ( )试验失败率 q 的最大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 474 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)为三次多项式，至少有一个零点， =y=f(x)只有以下三种情形f(一 1)，f(1) 0 k2；f(一 1)，f(1)0 k一 2因此 f(x)只有一个零点|k|2故选(A) 2 【正确答案】 B【试题解析】 这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小替换得其中用了下面的等价无穷小替换:x0 时
8、 =x2ln(1+x2)x 4，sin(1 一 cosx)2(1 一 cosx)2 故应选(B) 3 【正确答案】 B【试题解析】 该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去 f(x)令 1x=t，x=1 一 t 则4 【正确答案】 A【试题解析】 因题设的幂级数是缺项幂级数，故可直接用比值判别法讨论其收敛性。 首先当 x 一 2=0 即 x=2 时级数收敛当 x2时由此可知当0|x-2|2 0x2 或 2x4 时级数绝收敛又当 x=0 和 x=4 时得正项级数是发散的综合可得级数的收敛域是(0，4)，故选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 B=AE(2 ，4(3
9、)，B -1=E(2，4(3) -1A-1=E(2，4(一 3)A-1，因此 B-1 是把 A-1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到。6 【正确答案】 D7 【正确答案】 D8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XiN(0，1)，故 Xi2 2(1)，由 2 分布的可加性知故(A)正确，可知 (B)不服从 2(n 一 1)分布，因此应选(B)说明(C)与(D) 均服从 2(n 一 1)分布二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则求极限 ，因为10 【正确答案】 【试题解析】 函数表达式含有未知参数 a，可由已知 x=0，x= 一 1 处取极值来确定a 的值f(x)=
10、3ax 2+2x=x(3ax+2)，驻点为 x=0，x= 由 x=0，x= 一 1 是极值点，可知 于是 f(x)=2x(x+1)，f”(x)=4x+2令 f“(x)=0，得 又 f“(x)在左右异号，故曲线的拐点为11 【正确答案】 【试题解析】 这是一元函数 z=0t0uf(u，v)dvdu 与二元函数 t=xy2 的复合函数，由一阶全微分形式不变性可得12 【正确答案】 一 ln(1 一 x)【试题解析】 题设的二阶微分方程不显含自变量 x，令 y=p 并以 y 为自变量可降阶为关于 p 的一阶微分方程注意当令 y=p 时=2e2y，分离变量有 2pdp=2e2ydy，积分即得其通解为
11、p2=e2y+C 利用题设的初值知当 y=0 时p=1，由此可确定常数 C=0于是得到新方程 p2=e2y，因为初值 p=10，故可求p0 的解，即应解微分方程 p=ey，即 分离变量可得 e-ydy=dx，积分即得其通解为 e-y=C1 一 x，即 y=一 ln(C1 一 x)利用初值 y(0)=0 可确定常数 C1=1，故所求特解是 y=一 ln(1 一 x)13 【正确答案】 一 6，12，一 18【试题解析】 利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特征值|A|=1(一 2)3=一 6，于是 A*的特征值为一 6，3，一 2，|A*|=36则(A*)*的特征值为一
12、6，12 ，一 1814 【正确答案】 【试题解析】 首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2，3，且 PX=n=pq n-1+qpn-1， (q=1 一 p)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 分子的极限不为零，当 n=2 时，分母的极限不为零，所以当 n=2 时，a=-2e 216 【正确答案】 x(0，+)时 f(x)单调增加.f(x)0(x(0，+)且在(0，+) 的 子区间上 f(x)0 f(x)=kln(1+x)一 aretanx，则若 k0，则 f(x)0(x 0)，于是只需考察 k0 的情形令 g(x)=kx2
13、 一 x+k 一 1，则当 x0 时 f(x)与 g(x)同号由于 g(x)满足17 【正确答案】 如图所示，设在直线 y=1 下方的部分记为 D1 在 y=1 上方的部分记为 D2，且 D2 在 y 轴右侧的部分记为 D2，于是18 【正确答案】 (1)先求再将求导，得将，代入原方程得()求解二阶常系数线性方程 相应的特征方程 2+2+1=0，有重根 =一 1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得 一(Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即 AcostBsint=sint比较系数得 A=0，B=一 1即 y*(t)=
14、一 cost，因此的通解为 y=(C 1+C2t)e-t 一 cost ()原方程的通解为19 【正确答案】 设 F(x)在a，b 上的最大值与最小值分别是 M 与 m，利用 G(x)0且 G(x)0 即知当 xa，b时 mG(x)F(x)G(x)MG(x)， 由定积分的性质即知 mabG(x)dx=abmG(x)dxabF(x)G(x)dxabMG(x)dx=MabG(x)dx， 由于 G(x)0 且G(x)0，故 abG(x)dx0从而有 再由 F(x)是以 m 与 M分别为其最小值与最大值的区间a，b 上的连续函数即知存在 a，b使得即 abF(x)G(x)dx=F()abG(x)dx2
15、0 【正确答案】 两个小题都关系到秩， 1， 2， 3， 4 线性相关r(1， 2， 3， 4)4； 可用 1， 2， 3， 4 线性表示 (1， 2， 3， 4，)=r(1， 2， 3， 4)因此应该从计算这两个秩着手 以 1， 2， 3， 4， 为列向量构造矩阵( 1， 2， 3， 4，)，然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵：r(1， 2， 3， 4)4 a=3 1， 2， 3 是 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，并且 4=一 61+6233 r(1， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=3，则b-2=一 71+823321 【正确答案】 二次型的矩阵 它的秩为
16、1，则a=4A= 的秩为 1，则特征值为 0，0，9 属于 0 的特征向量即 AX=0 的非零解，求出此方程组的一个基础解系： 1=(0，1，1) T， 2=(2，0，1)T，对它们作施密特正交化得再求得属于 9 的一个特征向量3=(1， 2，一 2)T，作单位化得 3=(13，23，一 23) T令 Q=(3， 1， 2)=则正交变换 X=QY 把原二次型化为 9y1222 【正确答案】 (I)先求 X 的边缘密度对任意 x0，有对于任意 x0，有一xy+，因此 故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为()为判断独立性，需再求Y 的边缘密度 由于fX(x).fY(y)f(x，y) ，故 X，Y 不独立所以cov(X，Y)=EXY 一 EX.EY=0从而可知 X 与 Y 既不独立，也不相关23 【正确答案】 试验成功率p 的矩估计量 相应矩估计值为 ()最大似然函数L(x1，x 10；p)，简记为 L，则于是试验成功率p 的最大似然估计值 根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为
