1、考研数学（数学二）模拟试卷 281 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（A）f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D）(x)/f(x) 必有间断点2 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为 ( )（A）1+sinx（B） 1-sinx（C） 1+cosx（D）1-cosx3 考虑二元函数的下面 4 条性质 ()f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续； ()f(x，y)在点(x0，y 0)
2、处的两个偏导数连续； ()f(x ，y)在点(x 0，y 0)处可微； ()f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在； 若用 P Q 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )4 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 f(x，y)dy 等于( )5 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导6 下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y +y-4y-4y=0（B） +y+4y+4y=0（C） y-y-
3、4y+4y=0（D）y -y+4y-4y=07 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系由 C 而定8 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 a1，a 2 则a1，A(a 1+a2)线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1=0（B） 2=0（C） 10（D） 20二、填空题9 已知曲线 y=x3-3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为 b2=_10 已知 =_11 设函数 Y=f(x)由方程 xy+2ln
4、x=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是_12 若 =_13 曲线 Y=e-x2 的上凸区间是 _14 设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 计算17 设曲线的方程为 y=f(x)，且 y0又 MT、MP 分别为该曲线在点 M(x0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为 (其中 y0=y0(x0)，y 0=y0(x0)，试推导出点 P(，)的坐标表达式18 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设 z=f(lny-si
5、nx)，19 计算二重积分 ，其中D=(x，y) 0x1 ，0y120 已知函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明： ()存在 (0，1)，使得 f()=1-； () 存在两个不同的点 ， (0，1)，使得 f()f()=121 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 32/31f(x)dx=f(x)，证明在(0 ，1)内存在一点，使 f(C)=022 设向量组 a1，a 2，a 3 线性相关，向量组 a2，a 3，a 4 线性无关，问： ()a 1 能否由a2，a 3，线性表出?证明你的结论 ()a 4 能否由 a1，a 2，a
6、 3 铴线性表出? 证明你的结论23 设线性方程组 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 B0，且 AB=0，试求 值考研数学（数学二）模拟试卷 281 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 所以(D)是答案2 【正确答案】 B【试题解析】 对 sinx 积分两次得到 f(x)的原函数，即可得到正确选项 由题设f(x)=sinx，所以 f(x)=fdx=sinxdx=-cosx+C1 于是 f(x)的原函数 F(x)=f(x)dx=(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2 令 C1=0，C 2=1，得 f(x)的一个原函数为
7、1-sinx，故应选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 f(x，y)在点 (x0，y 0)处连续所以() ()( )(A)为答案4 【正确答案】 B【试题解析】 由二次积分 f(x，y)dy ，的积分上、下限知积分区域为 y=sinx(/2x) 的反函数为 x=-arcsiny，则积分区域可变为于是积分变为 ，故应选(B)5 【正确答案】 D【试题解析】 题设所给函数 f(x)是分段函数，且 f(0)=0，应分别求左、右极限及左、右导数来讨论 x
8、=0 点的连续性与可导性，由知 f(x)在 x=0 处可导且f(0)=0，所以选 (D)6 【正确答案】 D【试题解析】 由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为1=1， 22,3=2i，从 而特征方程为(-1)(+2i)(-2i)=(-1)( 2+4)=3-2+4-4=0，所以所求 微分方程为 y-y+4y-4y=0故选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 由 B=AC 知 r1r(A)=r，又 B=AC 两边同时右乘 C-1，得 A=BC-1， 于是 rr(B)=r1，从而有 r=r1，故选(C)8 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知 A(a1+a2)=Aa1+Aa2=1a1+
9、2a2， 于是 a1，A(a 1+a2)线性无关 k1a1+k2A(a1+a2)=0， k1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)a1+2k2a2=0，k 1，k 2 恒为 0 又因为不同特征值的特征向量线性无关，故 a1，a 2 线性无关，于是k1，k 2 恒为 0齐次方程组 只有零解 ，20，故选 (D)二、填空题9 【正确答案】 4a 6【试题解析】 由题设，曲线 Y=x3-3a2x+b 与 x 轴相切，设切点为(x 0，0)， 则y x=x0=302-3a2=0，即 x02=a2又由切点在曲线上，则 0=x03-3a2x0+b， 因而 b=2x03b=4x06=4a6，所以 b2 可以通
10、过口表示为 b=4a610 【正确答案】 3/4【试题解析】 由 y= 且 f(x)=arctanx2，11 【正确答案】 y=x【试题解析】 由题设所给方程 xy+2lnx=y4，两边对 x 求导得， 将 x=1，y=1 代入上式得 dy/dx x=1=1， 所以点(1，1)处的切线方程是 y-1=x-1，即y=x12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，令13 【正确答案】 【试题解析】 对 y=e-x2 求一阶、二阶导数得 y=-2xe-x2，y =-2e-x2(1-2x2)当 y0，即 x 时，曲线向上凸14 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=AE，从而(A *)-1=三、解答
11、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 原式=16 【正确答案】 被积函数为对数函数与幂函数的乘积，故采用分部积分法，将对数函数看作 u17 【正确答案】 由题设得(x 0-)2+(y0-)2= 又 PMMT，所以 y0= ，解得(y 0-)2= 由于 y0，曲线 L 是凹的，故 y0-0，从而 y0-= 又 x0-=-y0(y0-)=18 【正确答案】 在y-xey-1=1 中，令 x=0，得 y=1由 y-xey-1=1，两边对 x 求导得 y-ey-1-xey-1y=0再对x 求导得 y-ey-1y-ey-1-y-xey-1y2-xey-1y=0将 x=0，y=1
12、代入上面两式得 y(0)=1，y (0)=2，故19 【正确答案】 此题用分块积分法，如图所示用分块积分法得20 【正确答案】 () 即证 在(0，1)存在零点由于 F(x)在0，1连续，且 F(0)=-1，F(1)=1 ，即 F(0).F(1)0，由连续函数的零点存在性定理知， (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1-()利用题 ()的结果，在0，上用拉格朗日中值定理知， (0，)，使得 在，1上，用拉格朗日中值定理知， (，1) ，使得 ，两式相乘得f().f()=121 【正确答案】 要对 f(x)在0 ，1上使用罗尔中值定理，问题在于证明 f(x)在0，1上有两个等值点由积分中值
13、定理，1/3 f(x0)，从而 f(x0)=f(0)，又由罗尔中值定理， c(0， x0) (0，1)，使 f(C)=022 【正确答案】 (1)a 1 能由 a2，a 3 线性表示 因为已知 a2，a 3，a 4 线性无关，所以a2，a 3 线性无关，又因为 a1，a 2，a 3 线性表出， 设 a4=k1a1+k2a2+k3a3，由(1)知，可设 a1=2a2+3a3， 那么代入上式整理得 a4=(k12+k2)a2+(k13+k3)a3 即 a4 可以由a2，a 3 线性表出，从而 a2，a 3，a 4 线性相关，这与已知矛盾 因此，a 4 不能由a1，a 2，a 3 线性表出23 【正确答案】 设 B=(1， 2， 3)，其 i(i=1，2，3)为三维列向量， 由于 B0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设 10， 由于 AB=A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=0， A1=0，即 1 为齐次线性方程组 AX=0 的非零解，于是系数矩阵的列阵的行列式必为零，即A= =5(-1)=0，解得 =1
