1、考研数学（数学二）模拟试卷 282 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( ) （A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小2 设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线的斜率为( )（A）12（B） 0（C） -1（D）-23 设函数 f(x)连续，F(u， v)= ，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则=( )（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）4 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足
2、 ，则函数 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值5 设函数 y=y(x)由参数方程 ，确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是( ) （A）（B）（C） -8ln2+3（D）8ln2+36 设常数 k0，函数 f(x)=lnx-(x/e)+k 在(0，+)内零点的个数为( )（A）3（B） 2（C） 1（D）07 设 a1，a 2，a s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是( )（A）若 a1， a2，a s 线性相关，则 Aa1，Aa 2，Aa s 线性相关（B）若 a1，a
3、2，a s 线性相关，则 Aa1，Aa 2， ，Aa s 线性无关（C）若 a1，a 2，a s 线性无关，则 Aa1，Aa 2， ，Aa s 线性相关（D）若 a1， a2，a s 线性无关，则 Aa1，Aa 2，Aa s 线性无关8 设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（A）AB=BA（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（C）存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B二、填空题9 设函数 f(x)= ，则函数 ff(x)=_10 方程 yy=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=0 的通解为_11 已知曲线 y=f(x)过点(0，-
4、1/2)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为 xln(1+x2)，则 f(x)=_12 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 dy/dx=_13 下列两个积分的大小关系是：14 在函数 f(x)= 中，x 3 的系数是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设16 求极限17 设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明18 设二阶常系数微分方程 y+ay+y=ye2x 有一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定a、 和此方程的通解19 证明方程 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根20 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它
5、在 x=0 的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程21 计算二重积分 ，其中D=(x，y) x 2+y2x+y+122 设四阶矩阵 ，且矩阵 A 满足关系式 A(E-C -1B)TCT=E， 其中 E 为四阶单位矩阵，C -1 表示 C 的逆矩阵，C T 表示 C 的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵 A23 设 A，B 为同阶方阵，()如果 A， B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等()举一个二阶方阵的例子说明()
6、的逆命题不成立()当 A，B 均为实对称矩阵时，试证()的逆命题成立考研数学（数学二）模拟试卷 282 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为，所以 f(x)是 g(x)的高价无穷小，因而选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，f(x)的周期为 4，则所求点(5，f(5) 处切线的斜率应该与(1，f(1)处的斜率相同，则由导数定义知 即为所求斜率，又由所以点(5，f(5)处切线的斜率为-2选(D) 。3 【正确答案】 A【试题解析】 在极坐标系下，故应选(A)4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，根据极限保号
7、性，存在 0，当，而 x2+110，所以当 ，有 f(x，y)-f(0，0)0，即 f(x，y)f(0 ，0)， 所以 f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)5 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知，当 x=3 时，t=1，t=-3(不合题意，舍)，有求得 y=y(x)在 x=3 处的法线方程为 y=ln2-8(x-3) 令 y=0，得法线与 x 轴交点的横坐标为 x=(1/8)ln2+3所以选(A)6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，得 x=e易知 f(x)在内(0，e)单调增加，在(0 ，+) 内单调减少，且 f(e)=k0，而 ，可见在f(x)在(0，e)和(e，+)分
8、别有且只有一个零点，从而 f(x)在(0，+)内有两个零点选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 用秩的方法判断线性相关性 因为(Aa 1，Aa 2，Aa s)=A(a1，a 2，a s)，所以 r(Aa1，Aa 2，Aa s)r(a1，a 2，a s ) 又若a1，a 2，a s 线性相关，则 r(a1，a 2，a s)s ，从而 r(Aa1，Aa 2，Aa s)s 所以 Aa1，Aa 2，Aa s 线性相关，故选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，选项(A)表示可逆矩阵乘法满足交换律，显然不能成立； (B)表示 A 与 B 相似，(C)表示 A 与 B 合同，这都是不成立的，
9、所以(A) 、(B)、(C)皆可排除； 关于(D) ，设 A，B 的逆矩阵分别为 A-1， B-1，则有 BAA-1=B，取P=B，Q=A -1，则 PAQ=B ，从而(D)成立综上，选(D)二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)= ，知f(x) 1因此有 ff(x)=110 【正确答案】 x【试题解析】 令 y=p，则 解得 ln(1+p2)=lny2+lnC1，则 1+p2=C1y2，由 y(0)=1， y(0)=0 得 y= 由y(0)=1 得 C2=0，所以特解为11 【正确答案】 【试题解析】 由已知得 y=xln(1+x2)，于是代入条件12 【正确答案】 -2【
10、试题解析】 方程两边对 x 求导得 ex+y(1+y)-sin(xy)(xy+y)=0解得13 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=ex 在实数域内严格单调增加，又在区间-2，-1上 1-x38， -8x3-1，所以在区间-2 ，-1 上 ee-x3e8，e -8ex3e-1e，由定积分的性质知14 【正确答案】 2【试题解析】 x 3 的系数只要考察 2x =-2x3+4x2所以 x3 前的系数为 2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 原式由此得 a=-2，=1 ，故原方程为 y-2y+y=e2x，将 ex 代入得 =1， 故得原方程为
11、 y-2+y=e2x，其通解为y=(C1+C2x)ex+e2x17 【正确答案】 18 【正确答案】 由此方程的非齐次项含 e2x 及特解形式知，e 2x 是非齐次方程的特解， 而由线性微分方程解的性质知(1+x)e x 应是其对应的齐次方程的解， 故 r=l 为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为 r2-2r+1=0， 由此得 a=-2，=1，故原方程为 y-2y+y=e2x，将 ex 代入得 =1， 故得原方程为 y-2+y=e2x，其通解为 y=(C1+C2x)ex+e2x19 【正确答案】 记 令由 f(x)=0 得唯一驻点 x=e，且 f(x)在此由正变负，x=e 是极大
12、点也是最大点，最大值为 f(e)=k0；又由，知 f(x)在(0 ，e)与(e，+) 各有且仅有一个零点，即 f(x)在(0，+)有且仅有两个零点20 【正确答案】 题设要求切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可，由已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，因而求 f(6)及 f(6)就等价于求 f(1)及 f(1)，由关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，再根据导数的定义，有 其中 f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令 x0 并结合 f(x)的连续性可得 f(1)-3f(1)=0 ，即 f(1)=0，则由因此 f(1)=2，由周期性知 f(6)=f(
13、1)=2，f(6)=f(1)=0 ， 所以待求切线方程为 y=2(x-6)，即 2x-y-12=021 【正确答案】 22 【正确答案】 知(AB) T=BTAT，知(E-C -1B)TCT=c(E-C-1B)T=(C-B)T那么由 A(C-B)T=E 知 A=(C-B)T-1=(C-B)-1T23 【正确答案】 (I)若 A， B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 E-Bl = E-P-1AP-1=P -1EP-P-1AP =P -1(AE-A)P=P -1E-AP=E-A ( )令 A= ，B= ，那么E-A= 2=E-B 但 A，B 不相似，否则，存在否逆矩阵 P，使 P-1AP=B=0从而 A=POP-1=0，矛 盾，亦可从 r(A)=1，r(B)=0 而知 A 与 B 不相似 ()由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有 A 相似于 ，B 也相似于 即存在可逆矩阵 P，Q 使 P-1AP= =Q-1BQ于是 (PQ-1)-1A(PQ-1)=B由 PQ-1 为可逆矩阵知，A 与 B 相似
