1、考研数学（数学二）模拟试卷 284 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则( )（A）a=-(5/2)（B） a=5/2（C） a=-2（D）a=22 设函数 f(u)可导，y=f(sinx)当自变量 x 在 x=/6 处取得增量 x= ，相应的函数增量y，的线性主部为 1，则 f(1/2)=( )（A）-1（B） -2（C） 1（D）23 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极大值，下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y 0)在)在 y=y0 处的导数等于零（B） f(x0，y)在 y=0 处的导数大于零（C） f(x0，y)在
2、 y=y0 处的导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在4 微分方程 2yy=(y)2 的通解为( )（A）y=(x-c) 2（B） y=c1(x-1)2（C） y=c1+(x-c)2（D）y=c 1(戈一 c2)25 若曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3 在点(1，-1) 处相切，其中 a，b 是常数，则( )（A）a=0 ，b=-2（B） a=1，b=-3（C） a=-3，b=1（D）a=-1，b=-16 在区间(-，+)内，方程 x 1/4+x 1/2-cosx=0( )（A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根7 设
3、A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 a 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是 ( )（A）P -1a（B） pTa（C） Pa（D）(P -1)Ta8 设 A 为三阶方阵，A 1，A 2，A 3 表示 A 中三个列向量，则 A=( )（A）A 3，A 2，A 1（B） A1+A2，A2+A 3， A3+A1（C） A1，A 2，A 3（D）A 1，A 1+A2，A 1+A2+A3二、填空题9 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f(2)=_10 设 f(x)
4、=xex，则 f(n)(x)的极小值为 _11 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz (10) =_12 设 f(x)= 其导函数在 x-0 处连续，则 的取值范围是_13 =_14 设矩阵 A= ，且秩 r(A)=3则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设16 讨论 f(x， y)= 在点 (0，0) 处的连续性、可偏导性及可微性17 计算二重积分18 设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 ，试证：存在 (0，1)，使 f()+f()=019 试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)220 设 f(x)在0，0(a0) 上
5、非负且二阶可导，且 f(0)=0，f (x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明：21 设 y=ex 为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解22 若矩阵 A= 相似于对角矩阵 A，试确定常数 n 的值，并求可逆矩阵 P 使P-1AP=A23 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3，为标准形考研数学（数学二）模拟试卷 284 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 从而得 a=-(5/2)故应选(A)2 【正确答案
6、】 D【试题解析】 函数微分的函数增量的线性主部，所以本题就是已知微分值、自变量 x 的增量，反过来求函数的导数值 f(1/2)，因为 dy=cosxf(sinx)dx，所以得，(D) 是正确的3 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 f(x，y)可微且 f(x，y)在(x 0，y 0)处取得极大值， 所以fx(x0，y 0)=fu(x0，y 0)=0对该二元可微函数固定 x=x0， 则 f(x0，y) 是一元可导函数且它在 y=y0 处取得极大值， 故 f(x0，y 0)在 y=y0 处的导数等于零，因此选(A)4 【正确答案】 C【试题解析】 因为此方程为二阶微分方程，故其通解中应含有
7、2 个自由常数，故可排除(A)、 (B)又 y=c1+(x-c)0 不是方程的解，故排除(C)5 【正确答案】 D【试题解析】 两曲线在一点相切，说明在此点两函数的导数相等，且两函数均经过此点。 由题设知，这两条曲线均过点(1，-1)，且在此点的斜率相等，即-1=1+a+b 由于对第一条曲线有 ，对于第二条曲线有 即有 2+a=1，由此可解得 a=-1，b=-1 ，故应选(D) 6 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x 1/4+x 1/2-cosx由于 f(-x)=f(x)，故 f(x)为偶函数，因此只需考虑 f(x)=0 在(0， +)内的实根情况当 x0 时，f(x)=x 1/4
8、+x1/2-cosx，可见，当 x(0，/2)时，f (x)0，f(x) 在(0，/2) 内单调增加，且 f(0)=-1，f(/2)1， 因此 f(x)=0 在(0 ， /2)上有唯一实根；当 x/2 时，f(x)0， 故在(0，+)上 f(x)仅存在唯一实根，根据 f(x)关于 y 轴对称的性质， f(x)=0 在 (-，+)上有且仅有两个实根故应选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 a 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，所以 Aa=a 矩阵(P -1AP)T 属于特征值 A 的特征向量卢必满足(P -1AP)T= 将 =PTa 代入上式得 (P -1AP)T(pTa)=PTA
9、T(P-1)TPTa=PTAT(PT)-1=PTa=PTAa=(PTa)故选(B)8 【正确答案】 D【试题解析】 由行列性质，用排除法 设 A=(A1， A2，A 3)，则A=A 1，A 2，A 3由行列式性质A 3，A 2，A 1=- A 1，A 2，A 3故(A)不对 -A 1，-A 2，-A 3=- A 1，A 2，A 3故(C) 不对， A 1+A2，A 2+A3，A 3+A1=2 A 1，A 2，A 3故(B) 不对 所以，此题正确答案应为(D)二、填空题9 【正确答案】 2e 3【试题解析】 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，f (x)=ef(x)，所以 f(x)在 x=
10、2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)二阶可导，且 f(x)=ef(x)=f(x)ef(x)=e2f(x) 于是 f(x)也在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)三阶可导，且 f(x)= e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x)，将 f(2)=1 代入可得 f(2)=2e310 【正确答案】 -(1/e (n+1)【试题解析】 f(x)=xe x， f(n)(x)=(n+x)ex， f (n+1)(x)=(n+1+x)ex， f (n+2)(x)=(n+2+x)ex， 令 f(n+1)(x)=0，解得 f(n)(x)的驻点 x=-(n+1)， 又 f(n
11、+2)-(n+1)=n+2-(n+1)e-(n+1)=e-(n+1)0， 故 x=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，f (n)-(n+1)=-(1/e(n+1)11 【正确答案】 edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)ay【试题解析】 因为 dz=ex+ydx+xdex+y+ln(1+y)d(x+1)+(x+1)din(1+y)所以 dz (1，0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)ay12 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，当 x0 时，13 【正确答案】 4/15【试题解析】 令 ，则 x=1-t2，dx=-2tdt，当 x=0 时，t=1
12、 ，当 x=1 时，t=0，于是14 【正确答案】 -3【试题解析】 由题设，r(A)=3 ，则A=0，即从而 k=-3 或k=1当五=1 时，A= ，则 r(A)=1，与已知矛盾，所以 k=-3三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 因为 ，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续，因为 ，所以 fx(0，0)=0 由对称性得 fy(0，0)=0，即函数f(x，y)在点(0，0)处可偏导 z-fx(0，0)x-f y(0，0)y=f(x，y)-ff x(0，0)x-f y(0，0)y=xysin 因为 所以函数f(x，y)在点(0，0)处可微1
13、7 【正确答案】 D 是正方形区域，因在 D 上被积函数分块表示为18 【正确答案】 由结论可知，若令 (x)=xf(x)，则 (x)=f(x)+xf(x) 因此，只需证明 (x)在0，1内某一区间上满足罗尔定理的条件令 (x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在 于是 (1)=f(1)=()，并且 (x)在 ，1 上连续，在(，1)上可导， 故由罗尔定理可知，存在 (，1)(0，1)使得 ()=0，即 f()+f()=019 【正确答案】 令 f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2 易看出 f(1)=0，且有由此得 x=1 是 f(x)的最小点，因而 f(x)f (x)f (1)=20
14、(x0，x1)；由此， f(x)在 x0 单调增，又由 f(x)=0，f (x)在 x=1 由负变正，x=1 是 f(x)的最小点， 故 f(x)f(0)=0(x0)，所以当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)220 【正确答案】 所围区域为 D，则由形心公式可知，因为 f(x)0，所以f(x)单调增加，故而 G(x)0由 G(x)0，G (0)=0，可得 G(x)0(x0)，又由G(x)0，C(0)=0，可得 G(x)0(x0)，则 G(a)0，即21 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xe-x-x，原方程化为22 【正确答案】 由题设，先求
15、矩阵 A 的特征值，设 E 为三阶单位矩阵，则由0=A-E = =(6-)(2-)2-16，可得 1=6， 2=6， 3=-2，欲使A 相似于对角阵 A，应使 1=2=6 对应两个线性无关的特征向量，因此 A-6E 的秩为 1，于足 A-6E= 可得出 a=0，从而 A= ，下面求特征向量当 1=2=6 时，由(A-6E)x=0 可得出两个线性无关的特征向量为 1=(0，0，1) T， 2=(1，2，0) T当 3=-2 时，由(A+2E)x=0 可得 3=(1，-2，0) T，于是 P= ，且 P-1 存在，并有 P-1AP=A，其中23 【正确答案】 二次型的矩阵是 A= 其特征多项式为E-A=所以 A 的特征值是 1=2=0， 3=9对于是 1=2=0，由(OE-A)x=0，即 得到基础解系 a1=(2，1，0) T，a 2=(-2，0，1)T，即为属于特征值 =0 的特征向量对于 3=9，由 (9E-A)x=0，即得到基础解系 a3=(1，-2，2) T由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对 a1， a2 正交化 1=a1=(2，1，0) T 把 1， 2，a 3 单位化，有那么经正交变换 ，所以二次型 f 化为标准形 f=9y32
