1、考研数学（数学二）模拟试卷 286 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，曲线 y=xsin1/x( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平浙近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线2 当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?( )（A）x 2（B） 1-cosx（C）（D）x-tanx3 设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则( )（A）当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点（B）当 n 为偶数时，
2、x=0 是 f(x)的极小值点（C）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点（D）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点4 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， ，则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不可导（B）可导，且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值5 设 F(x)是 f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(0，1)内( )（A）可导（B）连续（C）存在原函数（D）是初等函数6 设 ，则有（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N7 设 A 是 n 阶方阵，线性方程组 AX=0 有非零解，
3、则线性非齐次方程组 ATX=b 对任意 b=(b1，b 2，b n)T( )（A）不可能有唯一解（B）必有无穷多解（C）无解（D）或有唯一解，或有无穷多解8 已知 a1=(-1，1，a，4) T，a 2=(-2，1，5，a) T，a 3=(a，2，101) T 是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为( )（A）a5（B） a-4（C） a-3（D）a-3 且 a-4二、填空题9 微分方程 的通解是_10 设 z=esinxy，则 dx=_11 =_12 =_13 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_14 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a0，E
4、为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E-aaTB= ，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 求微分方程 y+2y-3y=e-3x 的通解17 设函数 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)，g (x)=2ex-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求18 如果 0a/2，证明：19 设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求20 计算21 已知 f(x)0，f(0)=0，试证：对任意的两正数 x1 和 x2，恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立22 设 A 为 n 阶方阵，A *为
5、A 的伴随矩阵，且 A110，证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件中 b 为 A*x=0 的解23 已知 1=6， 2=3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值且对应于 2=3=3 的特征向量为 a2=(-1，0，1) T，a 3=(1，-2 ，1) T，求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A考研数学（数学二）模拟试卷 286 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有间断点 x=0， ，没有铅直渐近线，又 ，有水平渐近线 y=1，应选(A)2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时， ，选(D)3 【正
6、确答案】 D【试题解析】 ，亦即x=0 为 f(x)的极小值点，因此选(D) 4 【正确答案】 D【试题解析】 利用极限的同号性可以判定 f(x)的正负号：由 1-cosx0，有 f(x)0，即 f(x)在 x=0 取极小值，应选(D)5 【正确答案】 C【试题解析】 因 F(x)是 f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，故 F(x)=f(x)， 因此F(x)在区间0，1内连续，于是 F(x)在区间0，1内存在原函数， 因此 F(x)+f(x)在区间(0 ，1) 内存在原函数，选(C) 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，而 A 为
7、n 阶方阵，所以A =A T=0因此 r(AT)n 于是线性非齐次方程组 ATX=b 在 r(ATb)=r(A T)时有无穷多解；在 r(AT b)r(A T)时无解故对任何 b，A TX=b 不可能有唯一解所以选(A)8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 a1，a 2，a 3 是 A 的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关，即秩(a 1，a 2，a 3)=3知其秩为3 时 a5故选(A)二、填空题9 【正确答案】 y=Cxe -x，C 为任意常数【试题解析】 微分方程 y= 是可变量分离的一阶微分方程，分离变量得积分得 lny=lny=ln x-x+C 1，即y=e C1xe
8、-x，所以，原方程的通解为 y=Cxe-x，C 为任意常数10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 (n 2+1)【试题解析】 13 【正确答案】 -3【试题解析】 f(0-0)=a，因为 f(x)在x=0 处连续，所以 a=-314 【正确答案】 a=1/2( 负根舍去 )【试题解析】 由题设，知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 这是常系数的二阶线性非齐次方程特征方程 r2+2r-3=(r-1)(r+3)=0 的两上根为 r1=1，r 2=-3；由右边 eax，a=-3=r 2 为单特征根，
9、故非齐次方程有特解 y=x*ae-3x，代入方程可得 a=-(1/4)因而所求通解为 y=c1ex+c2e-3x-(x/4)e-3x17 【正确答案】 由 f(x)=g(x)，g (x)=2ex-f(x)，得 f(x)=2ex-f(x)于是有解方程得 f(x)=sinx-cosx+ex18 【正确答案】 设 f(x)=tanx，则 f(x)在区间 ，a上连续，在(，a) 内可导， 且f(x)=1/cos2x，因 f(x)在区间，a 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知， 又因 cosx 在区间(0，/2) 内单调减少，故 则19 【正确答案】 令 u=2x-y，v=ysinx，则
10、 z=f(u，v)，20 【正确答案】 21 【正确答案】 令 F(x)=f(x+x2)-f(x)-f(x2)， 则 F(x)=f(x+x2)-f(x)=x2f(x+x2)0(0 1) 可见 F(x)单调减少，又 x10，故 F(x1)F(0) ， 即 f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)0，也即 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)22 【正确答案】 必要性：Ax=b 有无穷多解，r(A)n，即A=0， 有A*b=A*Ax=Ax=0 ，即 b 是 A*x=0 的解 充分性： b 为 A*x=0 的解，即 A*x=0有非零解 r(A *)n又 A110，r(A *)=1，r(A)=n-
11、1 同时由A*A=AE=0，A *b=0，令 A=(a1，a 2，a n)，则 a1，a 2，a n 是 A*x=0 的解，A110，a 1，a 2，a n 线性无关， a2，a 3，a n 是方程组 A*x=0 的基础解系，b 可由 a2，a 3，a n 线性表示，即 b 可由 a1，a 2，a 2，a n 线性表示， Ax=b有解，又 r(A)=n-1，Ax=b 有无穷多解23 【正确答案】 这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵 A 的问题关键在于利用已知条件中 A 为对称矩阵，而对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，依此即可求解 设 A 对应于 1=6 的特征向量是 a1=x1，x 2，x 3T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有(a 1T，a 2)=(a1T，a 3)=0，即解得 a1=x2=x3，取 a1：(1，1，1) T，即是矩阵 A 属于 1=6 的特征向量进一步，由 A(a1，a 2，a 3)=(1a1， 2a2， 3a3)，得
