1、考研数学（数学二）模拟试卷 287 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 F(x)= ，讨论函数 f(x)的间断点其结论为( )（A）不存在间断点（B）存在间断点 x=1（C）存在间断点 x=0（D）存在间断点 x=-12 设 f(x)为连续函数，(x)= 0sinxf(tx)dt，则在 x=0 处，下列正确的是( )（A） (x)无界（B） (x)为无穷大量（C） (x)连续（D） (x)不连续3 设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是( )4 设平面区域 D：1x 2+y29，f(x，y) 是区域 D 上的连续函数，
2、则等于( ) 5 设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h (1)=l，g (1)=2，则 g(1)等于( )（A）ln3-1（B） -ln3-1（C） -ln2-1（D）ln2-16 设 y=f(x)是满足微分方程 y+y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在( )（A）x 0 的某个邻域内单调增加（B） x0 的某个邻域内单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取得极大值7 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当A=a(a0)时，B=a（B）当 A=a(a0)时，B=-a（C）当 A0 时，B=0（D）当A=0 时，B=08 设 n
3、 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )（A）(A *)*=A n-1A（B） (A*)*=A n+1A（C） (A*)*=A n-2A（D）(A *)*=A n+2A二、填空题9 设 =_10 由方程 所确定的函数 z=z(x， y)在点(1，0，-1)处的全微分dz=_11 设，则 a=_12 =_13 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=-(1/9)的解为_14 设 3 阶方阵 A=(a，1 1，r 2)，B=(，r 1，r 2)，其中 a，r 1，r 2 都是 3 维列向量，且A=3，B =4，则5A-2B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过
4、程或演算步骤。15 16 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x，y)=17 计算 ，其中 D 由 x 轴，x=1，y=2 及 xy=1 围成18 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 V/6，流人湖泊内不含 A 的水量为 V/6，流出湖的水量为 V/3设 2010 年年底湖中 A 的含量 5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2011 年年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 m0/V，问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内( 设湖中 A 的浓度是均匀的)?19 设 f(x)a，b ，在(a ， b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是
5、区间a，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1，证明： abf(x)(x)dxfab(x)dx20 设 f(x)，g(x) 在-a ，a 上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数) ()证明 ()利用 () 的结论计算定积分21 设 a1，a 2，a n 为 n 个实数，并满足，证明方程 a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x=0 在 (0，/2)内至少有一实根22 已知齐次线性方程组求 a，b，c 的值23 设二二次型 f(x1，x 2，x 3)：X TAX=ax12+2x22+(-232)+2bx1x3 (b0)， 其中二：次
6、矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12 ( )求 a，b 的值； () 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 287 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 ，当 x-1 时，f(x)=0；当-1x1 时，f(x)=1+x；当 x=1 时，f(x)=1；当 x1 时，f(x)=0所以 f(x)= ，不难确定在 x=1 点处 f(x)间断，选 (B)2 【正确答案】 C【试题解析】 故 (x)在 x=0处连续选(C) 3 【正确答案】 D【试题解析】
7、由排除法(A)、(B)、(C) 正确，故选(D) 显然(A)是正确的，(B)与(A)条件等价，故 (B)正确，在区域 D，df(x ，y)0 所以(C)也是正确的，因此选(D)4 【正确答案】 C【试题解析】 ，选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件有 h(x)=e1+g(x)g(x) 令 x=1，得 h(1)=e1+g(1)g(1)，即1=e1+g(1)*2， 所以 1+g(1)=ln(1/2)，即 g(1)=-1-ln2故选(C)6 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)满足方程 f(x)+f(x)-esinx=0， 所以有 f(x0)=esinx-f(x0)=esinx0，
8、 即 f(x0)=0， f(x0)0，故 f(x)在 x0 处取得极小值故选(C)7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，若 B=A，则 A 与 B 等价，因此 A=B，显然(B)、(C)不正确其次，当A0 时，若对 A 施以一定的初等变换得 B，则B可以变为任何不为 0 韵实数，可见(A)亦不正确，所以只有(D) 正确事实上，由于初等变换不改变矩阵的秩，直接可判断出只有(D) 正确，综上，选 (D)8 【正确答案】 C【试题解析】 涉及伴随矩阵 A*，首先联想到公式 AA*=A*A=AE 由题设，矩阵 A 非奇异，故 A 可逆，所以由公式 AA*=A*A=AE 可得 A*=A A -1，
9、于是(A *)*=( A n-1A)*=AA -1f(AA -1)-1=A nA -11/ A (A-1) -1= A n-2A，故应选 (C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由参数式求导公式得 再对 x 求导，由复合函数求导法得10 【正确答案】 【试题解析】 这是求隐函数在某点的全微分这里点(1，0，-1)的含意是x=x(1，0)=-1将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得再由全微分四则运算法则得(xy)dx+(ydx+xdy)z=令 x=1，y=0，x=-1，得11 【正确答案】 2【试题解析】 可得12 【正确答案】 2/3【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】
10、 14 【正确答案】 63【试题解析】 因 5A-2B=5(a，r 1，r 2)-2(，r 1，r 2)=(5a-2，3 1，3r 2) 故5A-2B=5a-2 3r1 3r2=95a r 1 r2-2 r1 r2 =9(5A -2B)=9(53-24)=63三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 x0 时， 所以16 【正确答案】 由于17 【正确答案】 18 【正确答案】 设从 2011 年年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 m/V，任取时间元素t，t+dt ，排人湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此
11、时间元素内污染物 A 的改变量为 于是 ，令 m=m0，得 t=6ln3， 即至多经过 7 年湖中污染物 A 的含量不超过 m019 【正确答案】 因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0) 取 x0=abx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1，于 是有 aabx(x)dx=x0b，把 x0=abx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)中， 再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)-x0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 ab(x)(x)dxfab(x)d
12、x20 【正确答案】 21 【正确答案】 所以由罗尔定理存在 (0/2)使 F()=0， 即 a1cos+a2cos3+a ncos(2n-1)=022 【正确答案】 根据题意可知方程组()中方程组个数未知数个数，从而()必有无穷多解，所以() 必有无穷多解所以() 的系数行列式必为 0，即对(I)系数矩阵作初等变换，有可得方程组()的通解为 k(-1，-1，1) T，其中 k 为任意常数由于(-1，-1，1) T 是方程组()的解，故有 解得b=1，c=2，或 b=0，c=1当 b=0，c=1 时，方程组()为 其系数矩阵的秩为 1，从而() 与() 不同解，故 b=0，c=1 舍去 当 a
13、=2，b=2，c=2 时()与()同解23 【正确答案】 () 由题设，二次型 f 相应的矩阵为 A= 设 A 的 3 个特征值为 1， 2， 3，则由已知条件知 1+2+1=l，A 。A2A3=一 12；利用“矩阵特征值之和：矩阵主对角线元素之和”及“ 特征值之积 =矩阵行列式”两个关系，得 a=1及 =2(-2-b2)=-12，可求出 b=2，即 a=1，b=2()由A-E=0，即=0，可求出 A 的特征值为 1=2=2， 3=-3不难求得对应于1=2=2 的特征向量为 对应于 3=-3 的特征向量为 3= ，对1， 2， 3 正交规范化，得 令矩阵P=(1， 3， 3)= 则 P 为正交矩阵，在正交变换 x=Py 下，其中因此二次型的标准形为 2y12+2y22-3y32
