1、考研数学（数学二）模拟试卷 295 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )2 设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0（B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a) (a)03 设 f(x，y)= ，则函数在原点处偏导数存在的情况是 ( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在（B） fx(0，0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0，0)存在，f y(0，0)不存在（D）
2、f x(0，0)，f y(0，0)都不存在4 设 ，其中D=(x，y) x 2+y21，则 ( )（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I25 设函数 f(x)= ，则 f(x)在(-，+) 内( )（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点6 设 等于( )（A）(1+e) 3/2+1（B） (1+e-1)3/2-1（C） (1+e-1)3/2+1（D）(1+e) 3/2-17 向量组 a1， a2am 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 a1，a 2am， 线性无关（B）存在一组不全为零
3、的常数 k1，k 2km，使得 k1a1+k2a2+kmam0（C）向量组 a1，a 2am 的维数大于其个数（D）向量组 a1，a 2am 的任意一个部分向量组线性无关8 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E-A=E-B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似二、填空题9 极限 =_10 已知 xy=yx，则 y=_11 设 dy/dx=xln(1+x2)，且 y(0)=1/2，则 y(x)=_12 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，
4、f(2)=3，f (2)=5，则 01xf(2x)dx=_13 =_14 设向量组 a1，a 2，a 3 线性无关，且 a1+aa2+4a3，2a 1+a2-a3，a 2+a3 线性相关，则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求16 已知 ，求常数 a17 设 a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 dy/dx +ay=be-x ( )求该方程的通解； () 证明：当 =0 时，18 设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知经在 0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何
5、平均值，求 f(x)19 求微分方程 y+5y+6y=2e-x 的通解20 设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 0 1 时， 0f(x)dx01f(x)dx21 已知曲线 L 的方程为 ()讨论 L 的凹凸性； ()过点(-1 ，0)引L 的切线，求切点(x 0，y 0)，并写出切线的方程： ()求此切线与 L(对应于 xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积22 已知 4 阶方阵 A=(a1，a 2，a 3，a 4)，a 1，a 2，a 3，a 4 均为 4 维列向量，其a2，a 3，a 4 线性无关，a 1=2a2-a3，如果 =a1+a2+a3+a4，求线性方程组 Ax=
6、 的通解23 设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1考研数学（数学二）模拟试卷 295 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，(A)选项 (B)选项 (C)选项(D)选项 故应选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 举反例 关于(A)，令 f(x)=x2，a=0 ，则 f(a)=f(a)=0，但f(x)=x 2在 x=0 可导， 因此(A)不正确；关于(C)，令 f(x)=x，a=1 ，则 f(a)=10，f (a)=1 0， 但f(x)= x在 x=1 可导，所以(C
7、)也可排除；关于(D)，令 f(x)=-x，a=1 ， 则 f(a)=-10，f (a)=-10，但f(x) =x在 x=1 也可导，即(D) 也可排除； 关于(B)的正确性证明如下：设 f(a)=0， f(a)0，不失一般性，设 f(a)0，则 ，因而在点 x=a 左侧八戈)0，右侧 f(x)0，记 (x)=f(x)， 从而 (x)在 x=a 不可导，即f(x)在 x=a 不可导应选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 又，所以 fx(0，0)不存在；又 fy(0，0)= ，所以 fy(0，0)存在，故应选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知，积分区域 D 上有(x 2
8、+y2)x2+y2 (等号仅在区域D 的边界上成立)，于是在积分区域 D 上有 cos(x2+y2)2cos(x2+y2)cos (等号仅在区域 D 的边界上成立)， 由于三个被积函数都在区域 D 上连续，根据二重积分的性质，有 I3I 2I 1 所以选 (A)5 【正确答案】 C【试题解析】 此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f(x)的函数图形求得因为所以根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见图)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导 (图形是尖点)所以选(C)6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 所以由于所以7 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 a1，a 2
9、，a m， 线性无关有 a1，a 2，a m 线性无关，但反之不成立；(B)不对，因为 a1，a 2，a m 线性无关，则对任意一组非零常数 k1，k 2，k m 使得 k1a1+k2a2+kmam0，但反之不成立；(C) 向量组a1，a 2，a m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 线性无关，但其维数等于其个数，故选(D)8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，若 A 与 B 相似，则A-E=B-E，即 A 与 B 的特征值相同，若 A-E=B-E，则 A 与 B 相似，但是 A 与 B 相似并不能得出 A-E=B-E 的结论，由此可知(A)，(B)不正确；此外，相似矩阵 A，B 不一
10、定可以对角化，即不一定相似于对角阵，所以(C)也可排除；关于 (D)的正确性证明如下：已知 A 相似于 B，则在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 P-1(tE-A)P=P-1tEP-P-1AP=tE-B，从而 tE-A 与 tE-B 相似综上选(D)二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 因 ，且 sinx 和 cosx 均为有界函数，故10 【正确答案】 【试题解析】 由 xy=y2，得 ylnx=xlny，两边求导数得 解得11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 2【试题解析】 13 【正确答案】 1【试题解析】 14 【正确答案】 5【试题解析】 (a 1+aa2
11、+4a3，2a 1+a2-a3，a 2+a3)=(a1，a 2，a 3) 因为a1，a 2，a 3 线性无关，而 a1+aa2+4a3，2a 1+a2-a3，a 2+a3 线性相关，所以=10-2a=0，解得 a=5三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 由复合函数求导法得16 【正确答案】 由 有 2a=ln9，于是 a=ln317 【正确答案】 (1)通解为 所以，当 x0 且 a 时，当 x0 且 =a 时，18 【正确答案】 由题意得19 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 2+5+6=(+2)(+3
12、)=0，故特征根为 -2 和-3，于是，对应齐次微分方程的通解为 (x)=C1e-2x+C2e-3x，其中 C1，C 2 为任意常数设所给非齐次方程的特解为 y*(x)=Ae-x将 y*(x)代入原方程，可得 A=1 由此得所给非齐次微分方程的一个特解是 y*(x)=e-x， 从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C1e-2x+C2e-3x+e-x20 【正确答案】 因 f(x)在0 ，1上连续，由定积分的可加性和积分中值定理知又 01，f(x)在0，1上递减，则 01-1，f()f() ， 因此 (1-)f()-f()0，故 001f(x)dx21 【正确答案】 () 先求 d2y/dx2由
13、已知 代入 y 得所以曲线 L 是凸的( )设 L 上切点(x 0，y 0)处的切线方程是 y-y0= 令 x=-1，y=0 ，则有 再令，即 t02+t0-2=0解得 t0=1，t 0=-2(不合题意)所以切点是(2，3) ，相应的切线方程是 y=3+(x-2)，且 y=x+1()切点为(x 0，y 0)的切线与 L 及 x 轴所围成的平面图形如图所示，则所求平面图形的面积为22 【正确答案】 由 a2，a 3，a 4 线性无关及 a1=2a2-a3 知，向量组的秩r(a1，a 2，a 3，a 4)=3，即矩阵 A 的秩为 3，因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量，那么由(a 1，a 2，a 3，a 4) =a1-2a2+a3=0 知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0)T再由 =a1+a2+a3+a4=(a1a2a3a4) 知，(1 ，1，1 ，1) T 是 Ax= 的一个特解故Ax= 的通解是 k，其中 k 为任意常数23 【正确答案】 因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使 QTAQ=Q-1AQ=A=其中 i0(i=1，2，n) ， i 是 A 的特征值因此 QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ=A+E两端取行列式得A+E=Q TA+EQ=Q T(A+E)Q=A+E=( i+1)从而A+E1
