1、考研数学（数学二）模拟试卷 300 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小2 设函数 f(x)在区间(一 1， 1)内二次可导，已知 f(0)=0，f (0)=1，且 f(x)（A）当 x(一 1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)x（C）当 x(一 1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x（D）当 x(一 1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)0，且f(0)=f(0)=1，则 x(0)=（A）3（B） 1（C）一 3（D
2、）一 14 （A）（B）（C）（D）5 设函数 f(r)当 r0 时具有二阶连续导数，令 则当 x，y，z与 t 不全为零时（A）（B）（C）（D）6 设 在点 x=0 处二阶导数存在，则其中的常数 a，b，c分别是（A）a= 一 2，b=2，c=1（B） a=2，b=一 2，c=1（C） a=一 2，b=1，c=2（D）a=2 ，b=1，c=一 27 设 B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2 是任意常数，则 B=（A）（B）（C）（D）8 设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1,2,3 是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+2一 3=(2，0，一 5，4) T， 2+
3、23=(3，12，3，3) T， 321=(2，4，1，一 2)T，则方程组 Ax=b 的通锵 x=（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设曲线 F 的极坐标方程为 r=e，则 F 在点 处的法线的直角坐标方程是_.10 曲线 的斜渐近线方程为_11 设 y=y(x)是由方程 x2+y=tan(x 一 y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y(0)=_.12 13 在直角坐标系中交换累次积分的次序，则 =_14 已知 则 A-1=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在0，+)内可导，且 f(1)=2若 f(x)的反函数 g(x)满足求 f(x)15 设
4、16 求证：f(x)在0，+)上连续；17 求 f(x)在0，+)的单调性区间；18 求 f(x)在0，+)的最大值与最小值19 设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变)19 已知 y1*(x)=xe-x+e-2x，y 2*(x)=xe-x+xe-2x，y 3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x 是某二阶线性常系数微分方程 y+Py+qy=f(x)的三个特解20 求这个方程和它的通解：21 设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y (0)=0 的特解，求22 设连续函数 f(x)满足 275 求
5、 27623 设 u=u(x，y)由方程组 确定，其中 (v)，(v)有连续的二阶导数且 y(v)+(v)0，求证：24 设函数 计算二重积分 其中平面区域 D=(x，y) x 2+y22y24 已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2)T， 2=(1，2，一 1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1)T， 2=(0，一 3，1，) T，25 求矩阵 A；26 )如果齐次线性方程组 Ax=0 与 BBx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解26 已知 A 是 3 阶矩阵， 1,2,3 是 3 维线性无关列向量，且
6、A1=31+3223，A 2=一 2，A 3=81+625227 写出与 A 相似的矩阵 B；28 求 A 的特征值和特征向量；29 求秩 r(A+E)考研数学（数学二）模拟试卷 300 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价尤穷小因子替换：x0 时 ln(1+sin2x2)sin 2x2x 4， 故应选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=x，而曲线 y=f(x)在区间(一 1，1)内是凸弧由凸弧
7、与其上某点处的切线的位置关系即知结论(D)正确，故应选 D【分析二】也可以直接证明 D 正确：令 F(x)=f(x)一 x，则 F(0)=0， F(0)=f(0)一 1=0,且 F(x)=f(x)(x)在区间(一 1，1)内单调减少，从而，当x(一 1，0)时 F(x)F(0)=0，这表明 F(x)在区间( 一 1，0上单凋增加，故当 x(一1，0)时有 F(x)(x)(0)=0，这表明 F(x)在区间0，1)上单调减少，放当 x(0，1)时有F(x) f(x)3 【正确答案】 C【试题解析】 令 t=0，由题设方程可得 x(0)=0在题设方程两边对 t 求导，得 cost一 fx(f)x(t
8、)+f(t)=0，(*)在(*)式中令 t=0，可得 x(0)=2在(*)两边再对 t 求导，得一 sint 一 fx(t)x(t)2 一 fx(t)f(t)+f(t)=0，(*)在(*)式中令 t=0，可得 x(0)=一3故选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 利用恒等式 sin4x+cos4x=(cosxsinx)+2sinxcosx=cos2x 可得 故应选 A5 【正确答案】 C【试题解析】 令 则计算可得类似有从而故应选 C6 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查分段函数在分界点处具有高阶导数时应满足的条件为了处理更一般的问题，我们考虑分段函数 其中 f1(x)和f2(x)分
9、别在较大的区间(x 0，+) 和(一 ，x 0+)(0是一个常数) 中具有任意阶导数，则 f(x)在分界点 x=x0 具有 k 阶导数的充分必要条件是 f1(x)和 f2(x)有相同的泰勒公式：f 1(x)=f2(x)=a0+a1(x 一 x0)+a2(xx0)2+ak(x 一 x0)k+o(x 一 x0)k)注意，在 f(x)的定义中，分界点 x0 也可以属于 f1(x)所在区问，结论是完全一样的把上述一般结论用于本题，取 x0=0，k=2 ，f 1(x)=ax2+bx+c，f 2(x)=cos2x+2sinx，因 f2(x)=1 一 +a(x2)+2x+a(x2)=1+2x 一 2x2+o
10、(x2)，所以 a,b，c 应分别是 a=一2，b=2，c=1，这表明结沦 A 正确故选 A【分析二】首先要求 f(x)在 x=0 连续，即要求 即cosx+2sinx x=0=ax2+bx+c x=0=0，得c=1这表明 C，D 不正确当 c=1 时，f(x) 可写成 其次要求 f(0) ，即 f一(0)=f +(0)，即(cosx+2sinx) - x=0=(ax2+bx+c)+ x=0=0=b，即b=2于是 B 不正确因此只能是 A 正确故选 A7 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=B 有(AE)B=0 ，因而 B 的列向量是齐次方程组 (AE)x=0的解又 那么齐次方程组(AE)
11、x=0 的基础解系是(一 1，1)T，所以应选 D8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 n 一 r(A)=42=2，故方程组 Ax=b 的通：解形式应为+k11+k22这样可排除 C，D因为 A (2+23)=b，A( 321)=一 b，所以 A中(1， 4，1，1) T 和 B 中(一 2，一 4，一 1，2)都是方程组 Ax=b 的解(A)和(B)中均有(2 ，2，一 2，1) T，因此它必是 Ax=0 的解只要检验(1，一 4，一 6，3) T 和(1，8， 2，5) T 哪一个是 Ax=0 的解就可以了由于 3(1+2 一 3)一( 2+23)=3(1一 3)+2(2 一 3)是 A
12、x=0 的解，所以(3，一 12，一 18，9) T 是 Ax=0 的解那么(1，一 4，一 6，3) T 是 Ax=0 的解故应选 A二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 F 的参数方程是 的直角坐标是F 在此点的切线的斜率为法线的斜率为 1，因此 F 在点 处的法线方程为10 【正确答案】 y=x 【试题解析】 因为 又其中同理因此斜渐近线方程为 y=x11 【正确答案】 一 1【试题解析】 将原方程两端同时对 x 求导数，得 (*)在(*)式中令 x=0，由 y(0)=0 即得 y(0)= 把(*)式改写成(2x+y )cos2(x 一 y)=1 一 y(*)将(*)式两端同时对 x
13、 求导数，又得一 2(2x+y)(1 一 y)sin(xy)cos(x 一 y)+(2+y)cos2(x一 y)=一 y，在上式中令 x=0，由 y(0)=0，y (0)= 即得 y(0)=一 112 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】【分析二】13 【正确答案】 【试题解析】 由题设累次积分知，它所对应的二重积分的积分区域依此可画出 D 的图形，如右图所示从 D 的图形不难看出， D 中最低点的纵坐标是中最高点的纵坐标是 当 时 D 的左边界的方程是 当时 D 的左边界的方程是 x=y2而 D 的右边界的方程是 x=2故区域 D 可分解为两个区域 D1 与 D2 的并集，且 故交换累次积
14、分的积分次序可得14 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以那么三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 在题设等式中令 x=1，由于 f(1)=2，则等式自然成立现将题设等式两端对 x 求导，利用变上限定积分求导公式，复合函数求导公式及反函数的概念可得所求函数的导数满足的关系式，再由定解条件即可求出 f(x)将题设等式两端对 x 求导数，得 (将上式对 x 从 1 到 x 积分即得题设等式，因此上式与原等式等价)因 f(x)与 g(x)互为反函数，所以 gf(u)三u，代入上式，得 令 lnx+1=u，则有x=eu-1，且 f(u)=eu-1，积分得 f(u)=e
15、u-1+C利用已知函数值 f(1)=2 可确定常数C=1，故 f(x)=ex-1+116 【正确答案】 当 x0 时 f(x)与初等函数 相同，故连续又即 f(x)在 x=0 处右连续，因此 f(x)在0，+) 上连续17 【正确答案】 考察(0，+)上 f(x)的符号先求并考察 由g(x)在(0，+)单调上升f(x)在0 ，1 单调下降，在1，+)单调上升18 【正确答案】 由() 中单调性分析知， 又因此19 【正确答案】 【分析与求解一】把球的质量 集中到球心球从水中取出作功问题可以看成质量为 的质点向上移动距离为 1 时变力所作的功问题归结为求出变力，即求球在提起过程中受到的重力与浮力
16、的合力因球的比重为 1，所以球受的重力=球的体积，球受的浮力= 沉在水中部分的体积，它们的合力= 球露出水面部分的体积当球心向上移动距离 h 时(0 因此，球从水中取出要作的功为【分析与求解二】用微元分析法取 x 轴垂直水平面并通过球心，方向向上，原点为球心任取下半球中的微元薄片即一 1，0上小区间x，x+dx 相应的球体中的薄片，其重量为 (1 一 x2)dx，在水中浮力与重量相等当球从水中取出时，此薄片移至离水面高为(1+x)处需作功 dW=(1+x)(1 一 x2)dx于是，对下半球作的功为 任取上半球中的微元薄片即0，1上小区间 x，x+dx相应的球体中的薄片，其重量为 (1 一 x2
17、)当球从水中取出时，它移动的距离为 1，需作功 dW=(1 一 x2)dx于是对上半球作的功为因此，对整个球作的功20 【正确答案】 由线性方程解的叠加原理y 1(x)=y3*(x)一 y2*(x)=e-2x,y2(x)=y3*(x)一 y1*(x)=xe-2x 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是相应的特征方程为(+2) 2=0，即 2+4+4=0原方程为 y+4y+4y=f(x) 由于 y*(x)=xe-x 是它的特解，求导得 y*(x)=e-x(1 一 x)，y (x)=e-x(x 一 2)代入方程得 e-x(x 一 2)+4e-x(1一 x)+4xe-x=f(x)f(x)=(x
18、+2)e -x原方程为 y+4y+4y=(x+2)e-x，其通解为 y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中 C1， C2 为 常数21 【正确答案】 C1，C 2，方程的 解 y(x)均有 不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得22 【正确答案】 因为 所以在0，1上积分上式可得将累次积分表成二重积分后交换积分顺序，可得 (其中 D 如右图)再对内层积分作变量替换并凑微分可得 故 解得 I=2。23 【正确答案】 这是由两个方程式构成的方程组，有 4 个变量：x，y，u，v按题意 x，y 为自变量，而 u，v 均为 x，y 的函数：u=u(x，y)，v=v(x ，y)将第
19、一个方程两边分别对 x，y 求偏导数，并利用第二个方程得进一步求得 由条件知 均连续 于是因此24 【正确答案】 记 D1=(x，y)x 2+y21，x 2+y22y，x0，如图，则 作极坐标变换求此二重积分因方程x2+y2=1，x 2+y2=2y 对应的极坐标方程分别为 r=1，r=2sin，解此方程组，得2sin=1，= 于是 D，的极坐标表示：25 【正确答案】 记 C=(2， 2)，由 AC=A(2， 2)=0 知 CTAT=0，则矩阵 AT 的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解对 CT 作初等行变换，有得到 CTx=0 的基础解系为 1=(3，一 1，1
20、，0)T， 2=(一 5，1，0，1) TT所以矩阵26 【正确答案】 设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 y，则 y 既可由1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出，故可设 y=x11+x22=一 x31 一 x42，于是 x11+x22+x31+x42=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有y0 x1,x2,x3,x4 不全为 0 秩r(1， 2， 1， 2) a=0当 a=0 时解出 x4=t，x 3=一 t，x 2=一 t，x 1=2t因此Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 y=2t1 一 t2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数27 【
21、正确答案】 由于 A(1,2,3)=(31+3223 一 2，8 1+6253)令 P=(1,2,3)，因 1,2,3 线性无关，故 P 可逆记，则有 P-1AP=B，即 A 与 B 相似28 【正确答案】 由 可知矩阵 B 的特征值为一 1，一 1，一 1，故矩阵 A 的特征值为一 1，一 1，一 1对于矩阵 B，由得特征向量(0，1，0) T，(一 2，0，1) T，那么由 B= 即(P -1AP)=，得 A(P)=(P)所以是 A 的特征向量，于是 A 属于特征值一 1 的所有特征向量是 k12+k2(一 21+3)，其中 k1，k 2 不全为029 【正确答案】 由 AB 有 A+E 一 B+E，故 r(A+E)=r(B+E)=1
