1、考研数学（数学二）模拟试卷 303 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=minsinx,eosx，则 f(x)在区间0，2内不可导的点共有（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个2 设 f(x)在0，1上连续，又 ，则（A）F(x+)F(x)(x (一，+)（B） F(x+)0 时 F(x+)F(x)，x1 为自然数) 22 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=1，且函数 满足求 z 的表达式23 计算23 设函数 f(x)在一 l，l上连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)024 求证： 给定的 x(0， l)，至
2、少存在一个 (0，1)使得25 求极限25 已知向量 =(1,2,3,4)T 可以由 1=(1，0，0， 1)T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，一 1，一 3)T， 4=(0，0，3，3) T 线性表出26 求 1,2,3,4 应满足的条件；27 求向量组 1,2,3,4 的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；28 把向量 分别用 1,2,3,4 和它的极大线性无关组线性表出29 已知矩阵 试判断矩阵 A 和 B 是否相似，若相似则求出。可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，若不相似则说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 303 答案与解析一、选择题下列每题给出
3、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】 在0，2上，画出 y=sinx 与 y=cosx的图形，立即可得 y=f(x)的图形由图形直接看出，两个交点为 y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点应选 C【分析二 】写出 f(x)的表达式f(x)是一个分段函数，有两个分界点和 又 f(x)在0，2 上连续，在除分界点外其余各点处均可导，但 f(x)在 的左导数 ，由于连续，它在 一的右导数 即在 不可导，类似可得 也不可导故应选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 考察 因此选C3 【正确答案】 A【试题解析】 由 g(x)在 x=0 连
4、续及 g(x)=1+2x+o(x)(x0)由复合函数求导法及变限积分求导法 故应选 A4 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 y与 y由 在(一，+)连续，y不存在的点只有戈=0， 而 y=0 的点不存在，且在 两侧 y变号，x=0 两侧 y也变号 (0， 0)， 均为 的拐点，再无其他拐点因此，应选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 应用二元函数取极值的必要条件得所以 b=2a由于再由二元函数极值的必要条件 A0得 3a 一 b0于是常数 a，b 应满足的条件为a0，b=2a故应选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 D 1，D 2 均是以原点为圆心，半径分别为 的圆，D 2 是正方形，
5、边长 2R，如图所示因为 D1 D3 D2，又被积函数 f(x，y)=e -(x2+y2)连续，且恒正，则 I132故应选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 对行列式A按第 2 行展开，有 2A21+2A22+A23+A24=9构造行列式 则A和B第 2 行元素代数余子式相同对 B按第 2 行展开又有 A21+A22+2A23+2A24=B=0联立 ，可得A21+A12=6故选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1)T，可知 B 不正确应选 B关于 A：如果 1,2,3 线性无关，又因 1,2
6、,3,4 是 4个 3 维向量，它们必线性相关，而知 4 必可由 1,2,3 线性表出关于 C：由已知条件，有(1)r( 1， 2)r(1,2,3)，()( 1,2,3)r(2， 3， 4)若 r(2,3)=1，则必有 r(1,2)=r(1,2,3)，与条件(I)矛盾故必有 r(2， 3)=2那么由() 知r(2,3,4)=3，从而 r(1,2,3,4)=3因此 1 可以由 2， 3， 4 线性表出关于(D) ：经初等变换有( 1， 1+2， 2+3)( 1， 2， 2+3)( 1,2,3)，(4， 1+4， 2+4， 3+4)( 4， 1， 2， 2)( 1,2,3,4)，从而 r(1， 2
7、， 3)=r(1,2,3,4)因而 4 可以由 1， 2， 3 线性表出二、填空题9 【正确答案】 y=3x【试题解析】 在 3xf(x)x2+x+1 中取 x=1，可得 f(1)=3当 x1 时,即 令 x1+，由夹逼定理与导数定义可得 f+(1)=3同理，当 x 类似可得 f+(1)=3由此可知 f(1)=3，所以曲线 y=f?在点 x=1 处的切线方程为 y=f(1)+f(1)(x 一 1)=3+3(x 一 1)，即 y=3x10 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】由反函数求导公式得 再由复合函数求导法得 从而于是 【分析二】将上述导出的 (y)， (y)表达式代入得 于是【分析三】
8、在 xOy 直角坐标系中 y=f(x)与它的反函数 x=(y)代表同一条曲线，作为 x 的函数 y=f(x)与作为 y 的函数 x=(y)在同一点处的曲率是相同的，按曲率公式应有因 f(0)=1，即 x=0 时 y=111 【正确答案】 【试题解析】 取坐标系如图所示，椭圆方程为 对小区间x，x+dx 对应的小横条薄板，液体对它的压力 dP=压强 面积于是液体对薄板的侧压力为12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 I(a)是二重积分的一个累次积分，可写为其中 D：0y2a， 它是半圆域：x 2+(ya)2a2，x0 由二重积分中值定理， (，) D，使得又 ln(1
9、+a2)a 2(a0) ，于是其中 a0 +时， 2+2014 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE，又 所以于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0，x1 时，显然 f(x)连续在 x=0 处，由f(x)在点 x=0 处不连续，且点 x=0 是 f(x)的第一类间断点在 x=1 附近，由f(x)在点 x=1 处既左连续又右连续，于是 f(x)在点 x=1 处连续因此 f(x)在(一，0) ，(0，+)连续，x=0 是 f(x)的第一类间断点16 【正确答案】 题(I)中已证明这个分段函数在( 一，0，(0，1连续，且存在，要判断 f
10、(x)在( 一，1上的有界性，只需再考察 ，即因 f(x)在(一，0连续，又 存在f(x)在( 一，0有界f(x) 在(0，1连续，又 存在f(x) 在(0，1有界因此 f(x)在(-，1 有界17 【正确答案】 f(x)在(一，0 ，在0，+) 为：求 f(x)的正负值区间，先求出使 f(x)=0 的 x 值易知再由 f(x)的单调性知，f(x)f( 一 1)=0(xf(1)=0(x1)f(x)0(x(一 ，一 1)或 x(1，+)f(x)18 【正确答案】 (t)=1 一 cost0(t(0，2) ， (0)=(2)=0，又 (t)在0，2 连续(t)在0，2 ，值域为 (0)，(2)=0
11、，2x=(t)在0，2 连续的反函数t=t(x)，定义域为 在0，2上连续19 【正确答案】 由旋转体的体积公式，有其中(周期函数与奇函数的积分性质)再令t=2s 从而20 【正确答案】 按求曲线的形心公式其中因此21 【正确答案】 把证明数列不等式转化为证明函数不等式，可以用微分学方法为此引入 则为确定 f(x)的符号，考察则由故 f(x)0(x1)f(x)f(1)=0(x1)因此 f(n)0(n1)，即原不等式成立22 【正确答案】 由于 依题设有令 ，则式化为 这是一阶线性非齐次微分方程下面我们求解这个方程方法 1 两边同乘得 积分得由 f(0)=1C=0于是方法 2 代公式得由 f(0
12、)=1 可知C=0因此 从而23 【正确答案】 这是 x2+y2 在某区域 D 上的二重积分的累次积分从题设的累次积分知，积分区域 D如图所示由被积函数和区域 D 可以看出，本题宜采用极坐标而 和的极坐标方程分别为 r=2 和 r=2cos【解法一】D 的极坐标表示： 于是【解法二】D 是区域 D1 与 D2 的差集，它们的极坐标表示是 于是24 【正确答案】 方法 1。记 在(一 l，l) 内可导注意F(0)=0，F (x)=f(x)一 f(一 x)，由拉格朗日中值定理： x(0，l) ， (0(x).x=xf(x)一 f(一 x)方法 2。利用积分中值定理证明其中 在 0 与 x 之间，故
13、=x， 025 【正确答案】 由(I)的结论得 由于 f(0)存在且不为 0，在上式两边求极限：因此 即26 【正确答案】 可由 1,2,3,4 线性表出，即方程组 x11+x22+x33+x44= 有解对增广矩阵作初等行变换，有所以向量 可以由 1,2,3,4 线性表出的充分必要条件是： 1 一 2+3 一 4=027 【正确答案】 向量组 1,2,3,4 的极大线性无关组是： 1,2,3，而 4=一61+623328 【正确答案】 方程组的通解是：x 1=1 一 2+236t，x 2=223+6t，x 3=33t， 4=t，其中 t 为任意常数，所以 =(12+236t)1+(223+6t
14、)2+(33t)3+t4，其中 t 为任意常数由把 4 代入，得 =(a1a2+2a3)1+(223)2+a3329 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到矩阵 A 的特征值是 1=3， 2=3=一 1由矩阵 B 的特征多项式=( 一 3)(+1)2，得到矩阵曰的特征值也是 1=3， 2=3=一 1当 =一 1 时，由秩知(一 E 一 A)x=0 有2 个线性无关的解，即 =一 1 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化而(一 EB)x=0 只有 1 个线性无关的解，即 =一 1 时矩阵 B 只有 1个线性无关的特征向量，矩阵 B 不能相似对角化因此矩阵 A 和 B 不相似
