1、考研数学（数学二）模拟试卷 304 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一，+)内二阶可导且 f(x)0，则 x0，h 10，h 20，有（A）（B）（C）（D）2 设 f(x0)=f(x0)=f(x0)=0， f(4)(x0)0，则 x=x0 是 f(x)的（A）极大值点（B）极小值点（C）非极值点（D）图形的拐点的横坐标3 设 ，则 F(x)在0，2上（A）有界，不可积（B）可积，有间断点（C）连续，有不可导点（D）可导4 下列命题中正确的是（A）设 f(x)在(一，+) 为偶函数且在0，+)可导，则 f(x)在(一，+)可导（B
2、）设 f(x)在(一，+)为奇函数且在0，+) 可导，则 f(x)在(一，+) 可导（C）设 则（D）设 x0(a，b)，f(x)在a ，b除 x0 外连续，x 0 是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在a， b仍存在原函数5 设 ，则 F(x)=（A）（B）（C）（D）6 设方程 的全部解均以， 为周期，则常数 a 取值为（A）1（B）一 1（C）（D）7 已知 1， 2,3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0基础解系的是（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（B） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1（C） 1+2， 2+3
3、， 3 一 4， 4 一 1（D） 1， 2,3， 4 的等价向量组8 已知 P-1AP=B，若 A=，0，则（A）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（B） B 的特征值为 对应的特征向量是 P（C） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1（D）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1二、填空题9 =_.10 已知当 x0 时函数 f(x)一 sin(sinx)与 x4 是等价无穷小量，则 f(x)的带皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式是 f(x)=_11 函数 的值域区间是_.12 已知函数 y(x)可微(x0)且满足方程 则 y(x)=_13 已知当 x0 与 y0 时 则函数 f(x
4、，y) 在点(x，y)=(1，1) 处的全微分 af (1,1)=_14 已知 1=(1，2，一 1)T， 2=(1，一 3，2) T， 3=(4，11，一 6)T，若 A1=(0，2)T， A2=(5， 2)T，A 3=(一 3，7) T，则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 确定常数 a 与 b 的值，使得15 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：16 证明该方程确定连续函数 y=y(x)，x0，+)；17 求 y(x)的单调区间与极值点；18 求 y(x)的凹凸区间及拐点18 从抛物线 y=x2 一 1 的任意一点 P(t，t 21)引抛物线 y=x2 的两
5、条切线，19 求这两条切线的切线方程；20 证明该两条切线与抛物线 y=x2 所围面积为常数21 设函数 f(x)(x0)连续可微， f(0)=1，已知曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x 上的弧长值相等，求 f(x)21 设 z=z(x，y)是由 9x2 一 54xy+90y2 一 6yzz2+18=0 确定的函数，22 求 z=z(x，y)一阶偏导数与驻点；23 求 z=z(x，y)的极值点和极值24 设 f(t)连续，区域 D=(x，y)x1，y1，求证：24 若函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)
6、内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0 ，f (x)25 f(x)0(x(0，1) ；26 自然数 n，存在唯一的 xn(0，1) ，使得27 极限 存在，若设 则 f(x0)=M27 没 A 是 n 阶反对称矩阵，28 证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时， A*是对称矩阵；29 举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；30 证明：如果 A 是 A 的特征值，那么一 A 也必是 A 的特征值31 已知 53 求 A 的特征值与特征向量，并指出 A 可以相似对角化的条件考研数学（数学二）模拟试卷 304 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
7、。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是比较三个数 的大小问题已知 f(x)0f (x)单调上升，于是设法转化为比较导数值这是可以办到的，只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理：由 f(x)在(一，+)单调上升f ()(x)()因此选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 考察 x=x0 是否是 f(x)的极值点，就是要在 x=x0 邻域考察 f(x)一f(x0)在 x=x0 邻域，联系 f(x)一 f(x0)，f (x0)，f (4)(x0)的是带皮亚诺余项的四阶泰勒公式： 因为由极限的不等式性质 ，当00 当 x0 0)0x=x 0 是 f(x)的极小值点因此，应选 C3 【正确答案】
8、C【试题解析】 先求出分段函数 f(x)的变限积分：当 0x1 时，当 1于是 易验证 F(x)在0，2上连续(关键是考察)当 x1 时显然 F(x)可导，且F(x)在点 x=1 处不可导故应选C【分析二】不必求出 F(x)这里 f(x)在0，2上有界，除 x=1 外连续，x=1 是f(x)的跳跃间断点由可积性的充分条件f(x) 在0，2上可积，再由基本定理F(x)在0，2上连续故 A，B 不对进一步考察 F(x)的可导性当 x1 时 F(x)=f(x)，又 x=1 是 f(x)的跳跃间断点，则 F(x)在点 x=1 处不可导故应选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 关于 A、B，可从几何上
9、考察图形，易知 A 错，B 对B 是正确的 x0，f(x)=一f(一 x)由复合函数可导性f (x)=一 f(一 x)(一 1)=f(一 x)再考察 x=0 处，f (0)=f+(0)因此 f(x)在(一，+)可导故应选 B5 【正确答案】 C【试题解析】 记 被积函数 f(y)是含参变量 y 的变限积分由f(y)连续于是 F(x)=f(x)， 因此选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 一阶线性齐次方程 的全部解为它们均以 为周期 以 为周期【分析一】a+sin2t 以 为周期，则 以 为周期即 应选 D【分析二】由于它以 为周期7 【正确答案】 A【试题解析】 等价向量组不能保证向量个数相
10、同，因而不能保证线性无关例如向量组 1， 2,3， 4， 1+2 与向量组 1， 2,3， 4 等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系故 D 不正确B、C 均线性相关，因此不能是基础解系故 B与 C 也不正确注意到：( 1+2)一( 2 一 3)一( 3 一 4)一( 4+1)=0，( 1+2)一(2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0，唯有 A， 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 是Ax=0 的解，又由( 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1)=(1， 2,3， 4)，且 知 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一1 线性无关，且向量个数与 1， 2
11、,3， 4 相同所以 A 也是 Ax=0 的基础解系故选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除B、D由 P-1AP=BP -1A=BP-1P -1A=BP-1，于是有 B(P)=P-1()=(P-1)故应选 C二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 【分析一】对被积函数直接进行放大与缩小，即由于从而=1 因此【分析二】由积分中值定理，有其中 nn+1由夹逼定理知 又因为cos 1 ，根据有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小量可得 从而 【分析三】对变限积分函数 用拉格朗日中值定理得于是10 【正确答案】 【试题解析】 由题设知当 x0
12、 时 f(x)一 sin(sinx)=x4+o(x4)下求 sin(sinx)的四阶麦克劳林公式 而 sin3x=x+o(x2)3=x3+3x2.o(x2)+3x.o(x4)+o(x6)=x3+o(x4)，o(sin 4x)=o(x4)，代入即得于是11 【正确答案】 【试题解析】 f(x)在0，1连续且可导，又 f(x)在0， 1单调上升，且最小值为 f(0)=0，最大值为因此，值域区间是12 【正确答案】 【试题解析】 这是含变限积分的方程先将原方程两边求导，转化为常微分方程得 在原方程中令 x=1 得 y(1)=1于是原方程与初值问题 等价这是齐次方程，令 得 分离变量得由 y(1)=1
13、 得 C=一 1，代入 得13 【正确答案】 【试题解析】 由于 ，令 u=lnx， ，则 时求全微分可得令 x=1，y=1 就有14 【正确答案】 【试题解析】 用分块矩阵把已知条件组合起来，有 因为所以矩阵( 1,2,3)可逆于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是求一 型极限，先转化为求 型极限其中 (t0时， ) 现只须再求 方法一用洛必达法则得 方法二用泰勒公式得求出 J，后可得 时时 因此符合题目要求的常数 a 和 b 是 即16 【正确答案】 先证明 x=tint 反函数，于是 确定 y=y(x)，再用参数求导法求出 ，然后确定函数的单调性与
14、凹凸性区间等17 【正确答案】 因为 xt=(tInt)=1+Int0(t1)x=tint 在1，+) 单调上升，值域是0，+)x=t1n 反函数，记为 t=t(x)，它在0，+)连续，t(x)1 (单调连续函数的反函数连续)再由连续复合函数的连续性 连续t1，e x0，e,te ，+)xe，+) 因此 y(x)的单调增区间为 0，e，单调减区间为e，+)，极大值点x=e18 【正确答案】 因此 y(x)的凸区间为，凹区间为 拐点为19 【正确答案】 抛物线 y=x。在点(x 0，x 0)处的切线方程为 y=x02+2x0(x 一 x0)，即y=2x0x 一 x02若它通过点 P，则 t2 一
15、 1=2x0t 一 x02，即 x02 一 2x0t+t2 一 1=0，解得x0 的两个解 x1=t 一 1，x 2=t+1从而求得从抛物线 y=x2 一 1 的任意一点 P(t，t 2一 1)引抛物线 y=x2 的两条切线的方程是 L1：y=2x 1xx12；L 2：y=2x 2x 一 x2220 【正确答案】 这两条切线与抛物线 y=x2 所围图形的面积为下证 S(t)为常数方法 1。求出S(t) 方法 2。求出 S(t)S(t)为常数21 【正确答案】 由题设知所围成图形的面积为 弧长为 因而将上式两边对 x 求导数得 又 f(0)=1，从而所求函数 f(x)满足 由此得 y2=1+y2
16、， 分离变量得积分可得 即 将 y x=0=1 代入上式得 C=1，故所求解满足 即22 【正确答案】 利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx 一54(ydx+xdy)+l80ydy 一 6zdy 一 6ydz 一 2zdz=0，即 (18x 一 54y)dx+(180y 一 54x 一6z)dy 一(6y+2z)dz=0从而为求隐函数 z=z(x，y)的驻点，应解方程组可化简为x=3y，由 可得 z=30y 一 9x=3y，代入可解得两个驻点 x=3，y=1，z=3 与 x=-3，y=一 1，z=一 323 【正确答案】 z=z(x，y)的极值点必是它的驻点为判定 z=z(
17、x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求 z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数注意，在驻点P=(3，1，3)，Q=(一 3，一 1，一 3)处, 由 在驻点P，Q 处 再由 在驻点P，Q 处 于是可得出在 P 点处故 且故在点(3，1)处 z=z(x，y)取得极小值 z(3，1)=3 在 Q 点处故 ，且故在点(一 3，一 1)处 z=z(x，y)取得极大值 z(一 3，一 1)=一 324 【正确答案】 先将二重积分 化为累次积分 令x 一 y=t，则 进一步化为定积分方法 1。将 I 表为 其中 Dxt：x 一 1tx+1，一 1x1，如图所示现交换积分次序( 改为先对 x 后对 t 积分
18、)，分块积分得方法 2。对作分部积分，有25 【正确答案】 由题设条件及罗尔定理， a(0，1)，f (a)=0由 f(x)(x)在(0，1) f(x)在0，a ，在a ，1 f(x)f(0)=0(0f(1)=0(ax0(x(0，1)26 【正确答案】 由题设知存在 xM(0，1)使得 f(xM)=M，由题(I)知 M0方法 1。要证 在(0，1) 存在零点 在(0，1)存在零点对n=1，2 ，3， 引入辅助函数 F n(x)在0，1连续，在(0，1)可导，Fn(0)=f(0)=0再找 Fn(x)在(0，1)的一个零点因存在 n(x，1)使得 Fn(m)=0在0 ， n 0，1上对 Fn(x)
19、用罗尔定理 存在 xn(0， n) (0，1)，Fn(xn)=0，即 方法 2。同前分析，作辅助函数 由 Fn(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且Fn(x)在0，1的最大值不能在x=0 或 x=1 取到 由费马定理F n(xn)=0，即方法 3。先证 是 f(x)的某一中间值因 f(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在 p(0，x M)使得 亦即 由连续函数中间值定理存在 xn(n，x M) (0，1)，使得最后再证唯一性由 f(x)(x)在(0，1)单调减少 在区间(0，1)内的点是唯一的，即 xn27 【正确答案】 由极值的必要条件知，在函数 f(x)的最大值点 x=xM 处必有
20、 f(xM)=0于是，由 f(x)在(0，1)内单调减少，从 可得 f(xM)(xn+1)(xn)(x1) xMxn+1xnx1，这表明数列x n单调递增且有上界，故极限存在，记 ，利用导函数 f(x)的连续性即得再由 f(x)在 (0，1)内单调减少即知 x0=xM，故 f(x0)=M28 【正确答案】 按反对称矩阵定义：A T=一 A，那么A= A T=A=(一 1)n A，即1 一(一 1)nA=0 若 n=2k+1，必有A=0所以 A可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=一 A，由(A *)T=(AT)*有(A *)T=(AT)*=(一 A)*又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=
21、2k+1 时，有(A *)T=(一 1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵29 【正确答案】 例如, 是 4 阶反对称矩阵，且不可逆30 【正确答案】 若 是 A 的特征值，有E A=0，那么E A=(一EA)T=EA T=E+A= 一(E A)=(一 1)nE A=0，所以一 是 A 的特征值31 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到 A 的特征值是1=1 一 a， 2=a， 3=a+1由得到属于 1=1 一 n 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，k 10由 得到属于 2=a 的特征向量是 2=k2(1，12a，1) T，k 20由得到属于 3=a+1 的特征向量3=k3(2 一 a，一 4a，a+2) T，k 30如果 1， 2， 3 互不相同，即 1 一 aa，1 一na+1，aa+1 ，即 aa+1, 且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化若 即 1=2= ，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化若 a=0，即 1=3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化
