1、考研数学（数学二）模拟试卷 305 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题若 f(x)在 x=x0 存在左、右导数且 f+(x0)f-(x0)，则 f(x)在 x=x0 处连续若函数极限 则数列极限 若数列极限则函数极限 若不存在，则 不存在中正确的个数是（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 设函数 f(x)满足 f(0)=0，f (0)0，使得（A）曲线 y=f(x)在区间(一 ，)内是凸弧（B）曲线 y=f(x)在区间(一 ，)内是凹弧（C）函数 f(x)在区间(一 ，0内单调增加，而在区间0，内单调减少（D）函数 f(x)
2、在区间(一 ，O内单调减少，而在区间0，内单调增加3 设 f(x)，g(x) 二阶可导，又 f(0)=0，g(0)=0 ，f (0)0，g (0)0，令，则（A）x=0 是函数 F(x)的极小值点（B） x=0 是函数 F(x)的极大值点（C） (0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点（D）x=0 不是函数 F(x)的极值点，(0 ，F(0)也不是曲线)，=F(x)的拐点4 下列反常积分中收敛的是（A）（B） （C） （D）5 设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（A）（B）（C）（D）6 设 D=(x， y)x+y1，x 2+y21，则 的值为（A）（B）（C）（D
3、）7 a=一 5 是齐次方程组 有非零解的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件8 设 n 维列向量 矩阵 A=E 一 4T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为（A）（B）（C） n（D）n 2二、填空题9 数列极限 =_.10 微分方程(3y 一 2x)dy=ydx 的通解是_11 设曲线的参数方程为 则对应于 的曲线段的弧长s=_.12 积分值 =_.13 设极坐标系下的累次积分 将 I 写成先对 r 后对 的累次积分，则 I=_14 设 ，B 是 3 阶非零矩阵，满足 BA=0，则矩
4、阵 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 试求：15 函数 f(a)的定义域；16 函数 f(a)的值域17 求积分18 证明 f(t)在(一，+) 连续，在 t=0 不可导19 作自变量替换 ，把方程变换成 y 关于 t 的微分方程，并求原方程的通解20 设 f(x)=4x2+3x2 一 6x 求 f(x)的极值点；21 ()设有 145 它的反函数是 y=y(x)，求 y=y(x)的拐点21 设 u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，22 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin ，求 与 的关系式；23 若 求证：u(x，y)为常数；24 若 (x2+y2R
5、20)，求证25 计算二重积分 其中积分区域 D 是由曲线以及直线 x=2 围成26 设 f(x)在a，b上有三阶连续导数，写出 f(x)在a，b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式27 设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，求证：存在 (a，b)使得28 已知 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵， 1,2,3,4 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1 ，2，2，1) T+k(1，一 2，4，0) T，又 B=(3， 2， 1， 一 4)求方程组Bx=l2 的通解28 已知矩阵29 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵；30 若 A+kE 正定，求 k 的取值考研
6、数学（数学二）模拟试卷 305 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 要逐一分析若 f(x)在 x=x0，存在 f+(x0)与 f-(x0)令 f(x)在 x=x0 有连续及左连续f(x)在 x=x0 连续，即 正确由函数极限与数列极限的关系知，若函数极限 (n+) 均有 若但只有某串A如 f(x)=sinx，f(n)=0， ，但 不存在，于是正确，不正确命题 是错误的当 A=0 时 能存在例如，若取 f(x)=0，则，所以是错误因此，只有 2 个正确选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由 及 f(0) 由极限的保号性质可
7、得存在 0，使得当 0 这表明当 0(x)与 x 反号，即在区间(一，0)内 f(x)0，而在区间(0，) 内 f(x)3 【正确答案】 C【试题解析】 先求导数 F(x)=f(x)g(x)F (0)=0再求二阶导数 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)F (0)=0于是还要考察 F(x)在 x=0 处的三阶导数： F(x)=f(x)g(x)+2f(x)g(x)+f(x)g(x)F (0)=2f(0)g(0)0因此(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点故应选C4 【正确答案】 B【试题解析】 这四个反常积分中有两个收敛，两个发散【分析一】找出其中两个收敛的 收敛 收敛因此选B【 分析
8、二】找出其中两个发散的，发散，又收敛发散 发散因此选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 考察 f(x)与 f(x)的关系设 x0，1，则由牛顿一莱布尼兹公式及f(0)=0，有 由积分基本性质，并考虑到 ，有 于是 故选A【分析二】同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0，1时故选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 【分析一】D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成(它位于第一象限)，如图记 D1=(x，y)x 2+y21，x0，y0 ，D 2=(x，y)x+y1，x0，y0，显然 D=D1D 2，于是 其中 D2关于直线 y=x 对称，因此 故选 B
9、【分析二】直接用极坐标变换(x=rcos，y=rsin)D 的极坐标表示是因此选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解 A=0 又可见 a=一 5 能保证A =0，但A=0 并不必须a=一 5因而 a=一 5 是充分条件并非必要条件,故应选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 利用向量内积可计算出向量的长度由于又 ATA=(E4 T)T(E4 T)=(E T)(E T)而 所以 故应选 B注意二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 【分析一】令 f(t)=arctant，则其中(n，n+1)注意 因此 【分析二】属.0型的数列极限，转
10、化为 型的函数极限后再用洛必达法则，即有=1+0=1故原数列极限的值为 110 【正确答案】 xy 2 一 y3=C，其中 C 是任意常数【试题解析】 题设的方程是齐次微分方程，令 y=xu 或 x=yu，可把方程化为关于x，u 的可分离变量的方程求解方程又可改写成 的形式，这：是以 x 为未知函数，以 y 为自变量的一阶线性微分方程方法 1。令 x=yu，代入方程并整理化简可得 积分后去对数即得通解 y3(u1)=C y2(x 一 y)=C，其中C 是任意常数方法 2。题设方程可改写成 ，利用一阶线性微分方程通解公式得 即 xy2 一 y3=C，其中 C 是任意常数11 【正确答案】 ln2
11、【试题解析】 因 从而，当时曲线的弧微分 于是，相应曲线段的弧长12 【正确答案】 【试题解析】 其中其中 lnx=ln(1+(x 一 1)一x 一 1(x1)因此13 【正确答案】 【试题解析】 按累次积分限，在 Or直角坐标系中画出积分区域 D的图形，则 D可表示为 D如图所示 为改换积分顺序将 D表成 现重新配限(先 r 后 )得14 【正确答案】 其中 k1,k2,k3 不全为 0【试题解析】 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1由 得a=1因 ATBT=0，所以齐次线性方程组
12、ATx=0 的解就是 B 的行向量又由可知 ATx=0 的通解为 k(一 1，1,1) T故，其中 k1，k 2，k 3 不全为 0三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 即求 a 的取值范围，使得该无穷积分收敛当 a1 时，当 a=1 时，因此，仅当 a1 时原积分收敛，即函数 f(a)的定义域是(1，+) 16 【正确答案】 为求 在(1，+)上的值域，先考察求值域归结为求 f(a)的最小值求 f(a)在(1，+)的最小值等价于求 g(a)=(a 一 1)Ina-12 在(1 ，+) 的最大值由 g(a)=Ina-1/sup2+(a1)Ina-12.lnln2
13、=Ina-121+(a1)lnln2 g(n)在a=a0 处取最大值f(a)的最小值为 因此 f(a)的值域是a*，+)17 【正确答案】 因此18 【正确答案】 t0 时 f(t)与初等函数相同，故连续又故 f(t)在 t=0 也连续因此 f(t)存(一，+) 连续现考察f +(0)f-(0)f (0)不 19 【正确答案】 【分析与求解一】(I)先求 即再将求导，得 即将代入 将，代入原方程得 () 求解二阶常系数线性方程 相应的特征方程2+2+1=0，有重根 =一 1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得一(Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asi
14、nt+Bcost)=2sint即 AcostBsint=sint比较系数得 A=0B=一 1即 y*(t)=一 cost，因此的通解为 y=(C1+C2t)e-t 一 cost()原方程的通解为 其中【分析与求解二】先求再将求导得即将， 式代入原方程得 余下步骤同前20 【正确答案】 先求 f(x)=12x2+6x 一 6=6(2x 一 1)(x+1)方法 1。由可知 x=1 为 f(x)的极大值点 为 f(x)的极小值点方法 2。令 f(x)=0，得驻点 x=-1， 由于故知 x=一 1 为 f(x)的极大值点，为 f(x)的极小值点21 【正确答案】 由变限积分求导法得 ，又由反函数求导法
15、得 ，再由复合函数求导法得 方法 1。在定义域中考察 y=y(x)：即 再求只有拐点(0，0)方法 2。由 其中，x定义域同样得到只有(0，0) 是拐点22 【正确答案】 由复合函数求导法23 【正确答案】 由题(I) 又 u(rcos，rsin)对 r 在0，+) 上连续 (x，y)，有 u(x，y)=u(rcos，rsin)=u(rcos，rsin) r=0=u(0，0)24 【正确答案】 由题(I)，有 对 r 从 R 到 r 积分得注意，M(Rcos，Rsin) 对 在0，2上连续，故有界又由 因此25 【正确答案】 【解法一】 积分区域 D 可表示为如图，则有而代入即得所求二重积分
16、【解法二】为简化计算将积分区域 D 表示为 D=D1D 2，其中 D1 是上半圆域(x 一 2)2+y24 且 y0 中横坐标满足0x2 的四分之一圆域，即 D1=(x，y)0x2，0y ，D 2 是上半圆域(x一 1)2+y21 且 y0，即 D2=(x，y)10x2，0y ，从而为了计算二重积分 I1，I 2 简便起见，可分别在 D1 与 D2 上作适当的平移变换，而后再作极坐标变换对于 I1，令 u=x一 2，v=y x=u+2，y=x，则 D1 变成 D1=(u，u)u 2+v24，v0，一 2u0，令u=rcos，v=rsin，在极坐标系(r，) 中 D1=(r，) ，0r2，d=r
17、drd ，故 对于 I2，令 u=x 一 1，v=yx=u+1，y=v，则 D2 变成D2=(u,v)u 2+v21，v0，令 u=rcos，v=rsin，在极坐标系(r，)中D2=(r，)0 ，0r1，d=rdrd，由此可得26 【正确答案】 任意给定 x0(a，b)，对 xa，b，其中 在 0，x 之间27 【正确答案】 把 f(b)与 f(a)分别在点 处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式即得分别存在 与 使得将上面两式相减可得 由 f(1)在a，b连续及连续函数的中间值定理知存在 1， 2 (a,b)使得 代入即得到了要证明的结论：存在 (a，b)使得28 【正确答案】 由方程组 Ax
18、= 的解的结构，可知 r(A)=r(1,2,3,4)=3，且1+22+23+4=， 1 一 22+43=0因为 B=(3， 2， 1， 一 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，且 1,2,3 线性相关，而知秩 r(B)=2由，知(0，一 1，1，0) T 是方程组 Bx=12 的一个解又由 可知(4，一2，1，0) T，(2，一 4，0，1) T 是 Bx=0 的两个线性尢关的解故 Bx=12 的通解是：(0 ，一 1，1，0) T+k1(4，一 2，1，0) T+k2(2，一 4，0，1) T29 【正确答案】 因为 AT=A，则(AP) T(AP)=pTATAP=PTA2P，又构造二次型 xTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4，经配方，有xTA2x=x1+x22+5(x32+2x4)2，那么，令 即 则二次型化为标准形 xTA2x=y12+y22+5y32，于是，二次型合同故30 【正确答案】 由E A=( 21)( 一 5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，一 1，进而可知 A+kE 的特征值为 k+1， k+5，k，k 一 1于是由 A+kE正定可知，k1
