[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷305及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学二)模拟试卷 305 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列命题若 f(x)在 x=x0 存在左、右导数且 f+(x0)f-(x0),则 f(x)在 x=x0 处连续若函数极限 则数列极限 若数列极限则函数极限 若不存在,则 不存在中正确的个数是(A)1 个(B) 2 个(C) 3 个(D)4 个2 设函数 f(x)满足 f(0)=0,f (0)0,使得(A)曲线 y=f(x)在区间(一 ,)内是凸弧(B)曲线 y=f(x)在区间(一 ,)内是凹弧(C)函数 f(x)在区间(一 ,0内单调增加,而在区间0,内单调减少(D)函数 f(x)

2、在区间(一 ,O内单调减少,而在区间0,内单调增加3 设 f(x),g(x) 二阶可导,又 f(0)=0,g(0)=0 ,f (0)0,g (0)0,令,则(A)x=0 是函数 F(x)的极小值点(B) x=0 是函数 F(x)的极大值点(C) (0,F(0)是曲线 y=F(x)的拐点(D)x=0 不是函数 F(x)的极值点,(0 ,F(0)也不是曲线),=F(x)的拐点4 下列反常积分中收敛的是(A)(B) (C) (D)5 设 f(x)在0,1有连续导数,且 f(0)=0,令 ,则必有(A)(B)(C)(D)6 设 D=(x, y)x+y1,x 2+y21,则 的值为(A)(B)(C)(D

3、)7 a=一 5 是齐次方程组 有非零解的(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件8 设 n 维列向量 矩阵 A=E 一 4T,其中 E 是 n 阶单位矩阵,若 n 维列向量 =(1,1,1) T,则向量 A 的长度为(A)(B)(C) n(D)n 2二、填空题9 数列极限 =_.10 微分方程(3y 一 2x)dy=ydx 的通解是_11 设曲线的参数方程为 则对应于 的曲线段的弧长s=_.12 积分值 =_.13 设极坐标系下的累次积分 将 I 写成先对 r 后对 的累次积分,则 I=_14 设 ,B 是 3 阶非零矩阵,满足 BA=0,则矩

4、阵 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 试求:15 函数 f(a)的定义域;16 函数 f(a)的值域17 求积分18 证明 f(t)在(一,+) 连续,在 t=0 不可导19 作自变量替换 ,把方程变换成 y 关于 t 的微分方程,并求原方程的通解20 设 f(x)=4x2+3x2 一 6x 求 f(x)的极值点;21 ()设有 145 它的反函数是 y=y(x),求 y=y(x)的拐点21 设 u=M(x,y)在全平面上有连续偏导数,22 作极坐标变换 x=rcos,y=rsin ,求 与 的关系式;23 若 求证:u(x,y)为常数;24 若 (x2+y2R

5、20),求证25 计算二重积分 其中积分区域 D 是由曲线以及直线 x=2 围成26 设 f(x)在a,b上有三阶连续导数,写出 f(x)在a,b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式27 设函数 f(x)在区间a,b上具有三阶连续导数,求证:存在 (a,b)使得28 已知 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵, 1,2,3,4 是 4 维列向量,若方程组 Ax= 的通解是(1 ,2,2,1) T+k(1,一 2,4,0) T,又 B=(3, 2, 1, 一 4)求方程组Bx=l2 的通解28 已知矩阵29 求可逆矩阵 P,使(AP) T(AP)为对角矩阵;30 若 A+kE 正定,求 k 的取值考研

6、数学(数学二)模拟试卷 305 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 要逐一分析若 f(x)在 x=x0,存在 f+(x0)与 f-(x0)令 f(x)在 x=x0 有连续及左连续f(x)在 x=x0 连续,即 正确由函数极限与数列极限的关系知,若函数极限 (n+) 均有 若但只有某串A如 f(x)=sinx,f(n)=0, ,但 不存在,于是正确,不正确命题 是错误的当 A=0 时 能存在例如,若取 f(x)=0,则,所以是错误因此,只有 2 个正确选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由 及 f(0) 由极限的保号性质可

7、得存在 0,使得当 0 这表明当 0(x)与 x 反号,即在区间(一,0)内 f(x)0,而在区间(0,) 内 f(x)3 【正确答案】 C【试题解析】 先求导数 F(x)=f(x)g(x)F (0)=0再求二阶导数 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)F (0)=0于是还要考察 F(x)在 x=0 处的三阶导数: F(x)=f(x)g(x)+2f(x)g(x)+f(x)g(x)F (0)=2f(0)g(0)0因此(0,F(0)是曲线 y=F(x)的拐点故应选C4 【正确答案】 B【试题解析】 这四个反常积分中有两个收敛,两个发散【分析一】找出其中两个收敛的 收敛 收敛因此选B【 分析

8、二】找出其中两个发散的,发散,又收敛发散 发散因此选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 考察 f(x)与 f(x)的关系设 x0,1,则由牛顿一莱布尼兹公式及f(0)=0,有 由积分基本性质,并考虑到 ,有 于是 故选A【分析二】同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0,1时故选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 【分析一】D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成(它位于第一象限),如图记 D1=(x,y)x 2+y21,x0,y0 ,D 2=(x,y)x+y1,x0,y0,显然 D=D1D 2,于是 其中 D2关于直线 y=x 对称,因此 故选 B

9、【分析二】直接用极坐标变换(x=rcos,y=rsin)D 的极坐标表示是因此选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解 A=0 又可见 a=一 5 能保证A =0,但A=0 并不必须a=一 5因而 a=一 5 是充分条件并非必要条件,故应选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 利用向量内积可计算出向量的长度由于又 ATA=(E4 T)T(E4 T)=(E T)(E T)而 所以 故应选 B注意二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 【分析一】令 f(t)=arctant,则其中(n,n+1)注意 因此 【分析二】属.0型的数列极限,转

10、化为 型的函数极限后再用洛必达法则,即有=1+0=1故原数列极限的值为 110 【正确答案】 xy 2 一 y3=C,其中 C 是任意常数【试题解析】 题设的方程是齐次微分方程,令 y=xu 或 x=yu,可把方程化为关于x,u 的可分离变量的方程求解方程又可改写成 的形式,这:是以 x 为未知函数,以 y 为自变量的一阶线性微分方程方法 1。令 x=yu,代入方程并整理化简可得 积分后去对数即得通解 y3(u1)=C y2(x 一 y)=C,其中C 是任意常数方法 2。题设方程可改写成 ,利用一阶线性微分方程通解公式得 即 xy2 一 y3=C,其中 C 是任意常数11 【正确答案】 ln2

11、【试题解析】 因 从而,当时曲线的弧微分 于是,相应曲线段的弧长12 【正确答案】 【试题解析】 其中其中 lnx=ln(1+(x 一 1)一x 一 1(x1)因此13 【正确答案】 【试题解析】 按累次积分限,在 Or直角坐标系中画出积分区域 D的图形,则 D可表示为 D如图所示 为改换积分顺序将 D表成 现重新配限(先 r 后 )得14 【正确答案】 其中 k1,k2,k3 不全为 0【试题解析】 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0,知 r(A)2故必有 r(A)=2,r(B)=1由 得a=1因 ATBT=0,所以齐次线性方程组

12、ATx=0 的解就是 B 的行向量又由可知 ATx=0 的通解为 k(一 1,1,1) T故,其中 k1,k 2,k 3 不全为 0三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 即求 a 的取值范围,使得该无穷积分收敛当 a1 时,当 a=1 时,因此,仅当 a1 时原积分收敛,即函数 f(a)的定义域是(1,+) 16 【正确答案】 为求 在(1,+)上的值域,先考察求值域归结为求 f(a)的最小值求 f(a)在(1,+)的最小值等价于求 g(a)=(a 一 1)Ina-12 在(1 ,+) 的最大值由 g(a)=Ina-1/sup2+(a1)Ina-12.lnln2

13、=Ina-121+(a1)lnln2 g(n)在a=a0 处取最大值f(a)的最小值为 因此 f(a)的值域是a*,+)17 【正确答案】 因此18 【正确答案】 t0 时 f(t)与初等函数相同,故连续又故 f(t)在 t=0 也连续因此 f(t)存(一,+) 连续现考察f +(0)f-(0)f (0)不 19 【正确答案】 【分析与求解一】(I)先求 即再将求导,得 即将代入 将,代入原方程得 () 求解二阶常系数线性方程 相应的特征方程2+2+1=0,有重根 =一 1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost,代入得一(Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asi

14、nt+Bcost)=2sint即 AcostBsint=sint比较系数得 A=0B=一 1即 y*(t)=一 cost,因此的通解为 y=(C1+C2t)e-t 一 cost()原方程的通解为 其中【分析与求解二】先求再将求导得即将, 式代入原方程得 余下步骤同前20 【正确答案】 先求 f(x)=12x2+6x 一 6=6(2x 一 1)(x+1)方法 1。由可知 x=1 为 f(x)的极大值点 为 f(x)的极小值点方法 2。令 f(x)=0,得驻点 x=-1, 由于故知 x=一 1 为 f(x)的极大值点,为 f(x)的极小值点21 【正确答案】 由变限积分求导法得 ,又由反函数求导法

15、得 ,再由复合函数求导法得 方法 1。在定义域中考察 y=y(x):即 再求只有拐点(0,0)方法 2。由 其中,x定义域同样得到只有(0,0) 是拐点22 【正确答案】 由复合函数求导法23 【正确答案】 由题(I) 又 u(rcos,rsin)对 r 在0,+) 上连续 (x,y),有 u(x,y)=u(rcos,rsin)=u(rcos,rsin) r=0=u(0,0)24 【正确答案】 由题(I),有 对 r 从 R 到 r 积分得注意,M(Rcos,Rsin) 对 在0,2上连续,故有界又由 因此25 【正确答案】 【解法一】 积分区域 D 可表示为如图,则有而代入即得所求二重积分

16、【解法二】为简化计算将积分区域 D 表示为 D=D1D 2,其中 D1 是上半圆域(x 一 2)2+y24 且 y0 中横坐标满足0x2 的四分之一圆域,即 D1=(x,y)0x2,0y ,D 2 是上半圆域(x一 1)2+y21 且 y0,即 D2=(x,y)10x2,0y ,从而为了计算二重积分 I1,I 2 简便起见,可分别在 D1 与 D2 上作适当的平移变换,而后再作极坐标变换对于 I1,令 u=x一 2,v=y x=u+2,y=x,则 D1 变成 D1=(u,u)u 2+v24,v0,一 2u0,令u=rcos,v=rsin,在极坐标系(r,) 中 D1=(r,) ,0r2,d=r

17、drd ,故 对于 I2,令 u=x 一 1,v=yx=u+1,y=v,则 D2 变成D2=(u,v)u 2+v21,v0,令 u=rcos,v=rsin,在极坐标系(r,)中D2=(r,)0 ,0r1,d=rdrd,由此可得26 【正确答案】 任意给定 x0(a,b),对 xa,b,其中 在 0,x 之间27 【正确答案】 把 f(b)与 f(a)分别在点 处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式即得分别存在 与 使得将上面两式相减可得 由 f(1)在a,b连续及连续函数的中间值定理知存在 1, 2 (a,b)使得 代入即得到了要证明的结论:存在 (a,b)使得28 【正确答案】 由方程组 Ax

18、= 的解的结构,可知 r(A)=r(1,2,3,4)=3,且1+22+23+4=, 1 一 22+43=0因为 B=(3, 2, 1, 一 4)=(3, 2, 1, 1+22+23),且 1,2,3 线性相关,而知秩 r(B)=2由,知(0,一 1,1,0) T 是方程组 Bx=12 的一个解又由 可知(4,一2,1,0) T,(2,一 4,0,1) T 是 Bx=0 的两个线性尢关的解故 Bx=12 的通解是:(0 ,一 1,1,0) T+k1(4,一 2,1,0) T+k2(2,一 4,0,1) T29 【正确答案】 因为 AT=A,则(AP) T(AP)=pTATAP=PTA2P,又构造二次型 xTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4,经配方,有xTA2x=x1+x22+5(x32+2x4)2,那么,令 即 则二次型化为标准形 xTA2x=y12+y22+5y32,于是,二次型合同故30 【正确答案】 由E A=( 21)( 一 5),知矩阵 A 的特征值为:1,5,0,一 1,进而可知 A+kE 的特征值为 k+1, k+5,k,k 一 1于是由 A+kE正定可知,k1

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