1、考研数学（数学二）模拟试卷 307 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 当 x0 时，按照前面一个比后面一个为高阶无穷小的次序排列为( )（A），（B） ， （C） ， （D），2 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存在)，则以下 4个结论中不正确的是( )（A）f (x)必以丁为周期（B） 必以 T 为周期（C） 必以 T 为周期（D） 必以 T 为周期3 设 D 是由曲线 y=x3 与直线 所围成的有界闭区域，则二重积分( )（A）（B）（C）（D）4 设 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y
2、)在点 (0，0)的某邻域内连续，则(0，0)=0 是 f(x，y)在点 (0，0)处可微的( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件5 设 则( )（A）I 2II1（B） I2I1I（C） II2I1（D）II 1I26 设 A，B，C 为常数，则微分方程 y+2y+5y=e-ycos2x 有特解形式( )（A）e -x(A+Bcos2x+csin2x)（B） e-y(A+Bxcos2x+(Csin2x)（C） e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x)（D）e -x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)7 已知 n 维向量组
3、1,2,3,4 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则向量组a1+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 4+b1 也是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是 ( )（A）a=b （B） ab（C） ab（D）ab8 设 ，则 A 合同于( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 =_.10 设 y=y(x)是由方程 x2 一 xy+y2=1 所确定，则 =_.11 设 D=(x， y)一 xyx，x 2+y22x)，则 =_.12 在区间0 ，1 上函数 f(x)=nx(1 一 x)n 的最大值记为 M(n)则 =_.13 设函数 f 与 g 可微，z=fxy，g(xy)+lnx，则 =_.1
4、4 设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=x12+2x1x2x 22+4x2x3 一 x322ax3x4+(a 一 1)2x2 的规范形式为 y12+y22 一 y32，则参数 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a(a0)试证明：对任意:f (x)都存在，并求 f(x)17 计算 其中 D=（x,y）0y1 x,yx18 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线与曲线 y=ex 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸
5、展的平面图形记为 D求 (I)D 的面积 A； ()D 绕直线 x=1 所成的旋转体的体积 V19 求不定积分20 设 其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 .21 已知： ，u(0，0)=1 ，求 u(x，y)及 u(x，y)的极值，并问此极值是极火值还是极小值?说明理由22 (I)设 问 k 满足什么条件时，kE+A 是正定阵；(II)A 是 n 阶实对称阵，证明：存在实数 k，使得 kE+A 是正定阵22 设线性齐次方程组 Ax=0为 在线性方程组(*)的基础上增添一个方程 2x1+ax2 一 4x3+bx4=0，得线性齐次方程组 Bx=0为23 求方程组(*)的基础解系和通解；24
6、问 a，b 满足什么条件时，方程组(*) 和(*)是同解方程组考研数学（数学二）模拟试卷 307 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 k 一 1=5 即k=6 时，上述极限存在且不为零，故知 (x)与 x6 同阶(x0)故知 (x)与 x4 同阶(x0)当 k=3 时，上述极限存在且不为零，故知 (x)与 x3 同阶(x0)故应选 A2 【正确答案】 B【试题解析】 B 是不正确的，反例如下：f(x)=sin 2x，以 为周期，但不是周期函数事实上，设 f(x)的周期为 T，则 的周期为丁的充要条件是 证明如下：令有 可
7、见令 f(x)=sin2x，则 以下说明选项 A，C，D 均正确由 f(x+T)=f(x)，两边对 x 求导，所以 f(z+T)=f;(x)所以 f(x)的周期为 T，A 正确对于 C， 以 T 为周期的充要条件是但 f(t)一 f(一 t)是以 T 为周期的奇函数，所以满足充要条件对于 D，令，有所以 F(x)以 T 为周期，故应选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 如图添虚线 y=一 x3，连同两坐标轴将 D 分成 4 块，由对称性可知 其中 D1如图中阴影部分所以原积分 故应选D4 【正确答案】 C【试题解析】 先证充分性，设 (0，0)=0，由于 (x，y)在点(0，0)处连续，所以
8、由于 所以所以按可微定义，f(x，y)在点 O(0，0)处可微，且 df(x，y)=0.x+0. y,即 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0 再证必要性，设 f(x，y)在点(0 ，0) 处可微，则 fx(0，0)与 fy(00)必都存在其中 x0 +时取“+”，x0 -时取“一”由于fx(0，0)存在，所以+(0， 0)=一 (0，0)，从而 (00)=0 证毕5 【正确答案】 B【试题解析】 将 1 也写成一个积分形式 为比较 I1，I 2，1 的大小，只要比较 的大小由于当 x0 时 xsinx 所以只要比较当 的大小即可，考虑所以当 时，有 I2I 11故应选 B6 【正确答案】
9、 B【试题解析】 原给方程可写成 特征方程是r2+2r+5=0特征根 r1，2 =一 12i对应于自由项 部分，对应的一个特解为y1*=Aex对应自由项 部分，对应的一个特解为 y2*=xe-x(Bcos2x+(Csin2x)所以原方程的一个特解形式为 y1*+y2*=e-x(A+Bxcos2x+(Csin2x)故应选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 向量组()a 1+b4，a 2+b3，a 4+b2，a 4+b1 均是 Ax=0 的解且共 4 个，故() 是 Ax=0 的基础解系 ()线性无关，因(a2+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 1+b1)=(1， 2， 3， 4)因1,2,
10、3,4 线性无关，则 a1+b2，a 2+b3，a 3+b4，a 4+b1 线性无关故应选 D B，C 是充分条件，并非必要，A 既非充分又非必要均应排除8 【正确答案】 C【试题解析】 写出 A 对应的二次型，并用配方法化成标准形 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+x22 一 2x32=(x1+x2)2 一 2x32，知 f 的秩为 2，正惯性指数为 1(负惯性指数也为 1)，这可排除选项 A，B，选项 C 的二次型为 x12x 22 一 x32+x2x3=x12 一(x 2 一x3)2，正负惯性指数和题干中二次型一致，而选项 D 中二次型为x12+x22+2x1x2+2x32
11、=(x1+x3)2+2x32，正惯性指数为 2故应选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 由 x2 一 zy+y2=1，有 2xzy一 y+2yy=0，则11 【正确答案】 【试题解析】 用极坐标，则12 【正确答案】 c -1【试题解析】 f(x)=nx(1-x) nf (x)=n(1 一 x)n 一 n2x(1 一 x)n-1=n(1 一 x)n-1(1 一xnx)令 f(x)=0，得 或 x=1记 由于 f(0)=f(1)=0，f(x) 0(当x(0，1)在区间(0，1)内求得唯一驻点 所以 f(x1)为最大值所以13 【正确答案】 f 3【试题
12、解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 法一 由二次型的规范形知其正惯性指数为 2，负惯性指数为 1将二次型用配方法，有 f(x1，x 2，x 3，x 4)=x12+2x1x2 一 x22 一 4x2x3 一 x32 一 2ax3x1+(a一 1)2x12=(x1+x2)2 一 2x22+4x2x3 一 x32 一 2ax3x1+(a 一 1)2x12=(x1+x2)2 一 2(x2 一 x3)2+x32 一 2ax3x4+(a 一 1)x42=(x1+x2)2 一 2(x2 一 x3)2+(x3 一 ax4)2 一(2a 一 1)x42 故 f 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1，应有
13、法二 f 是四元二次型由规范形知，其正惯性指为 2负惯性指数为 1,且有一项为零.故知其有特征值 =0，故该二次型的对应矩阵 A 有A=0 因 故应有三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 其中sinx tanx，上式的前一项来自拉格朗日中值定理由 得所以原式=3+3=616 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex 两边，得 f(0)=0为证明 f(x)仔在，用定义 =f(x)+f(0)ey=f(x)+aex说明 f(x)存有，且 f(x)=f(x)+aex解此一阶线性方程，得又因 f(0)=0，所以 C=0，得 f(x)=a
14、xex17 【正确答案】 在极坐标中，【注】不要以为以直线为边界的不能用极坐标18 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex 在点 P 的切线斜率为 y0=e1x0，切线方程为 y 一 y0=ex0(x 一 x0)它经过点(0 ，0)，所以一 y0=一 x0ex0又因 y0=ex0，代入求得 x0=1。从而 y0=e=c，切线方程为y=ex 取水平条为 A 的面积元索，D 的面积(积分 为反常积分来自洛必达法则)D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为从而19 【正确答案】 由 则20 【正确答案】 复合关系复杂，又夹来隐函数微分法采用微分形式不变性解题比
15、较方便，由 z=f(x,y)有 dz=f1dx+f2dy 由 有解得 代入第一式 dz 表达式中再解出 dz，得 这里设分母不为 021 【正确答案】 由 有 u(x,y)=x2+xy+x+(y)，再由 有x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3,(y)=5，y 2+3y+C于是 u(x，y)=x2+xy+c+y2+3y+C再由 u(00)=1 得 C=1从而 u(x，y)=x 2+xy+y2+y2+3y+1再由 解 得驻点所以为极小值22 【正确答案】 (1)由 知 A 有特征值1=0， 2=3=3则 kE+A 有特征值 k，k+3 ，k+3 kE+A 正定 k0(II)设 A 有特征
16、值 1， 2， n，且 12 n 则 kE+A 有特征值 k+k+ n 且k+1k+2k+ n, 即存在 k 是大于零的正数，使得kE+A 的特征值全部大于零kE+A 正定23 【正确答案】 得方程组(*)的通解为 k(一 3一 5，10) ，k 足任意常数24 【正确答案】 法一 方程组(*)、(*) 是同解方程组方程组(*)的通解满足方程组(*)的第 4 个方程将通解代入，得 2(一 3k)+a(一 5k)一 4(k)一 0=0，即一5ak=10k又 k 是任意常数，故 a=一 2故当 a=一 2，b 任意时，方程组(*) 、(*)同解法二 方程组(*)、(*)是同解方程组方程组(*)中新添的第 4 个方程应可由方程组(*)的三个方程线性表出，表达成列向量形式为因故 a=一 2，b 任意，方程组(*)中第 4 个方程可由方程组(*) 表出，故方程组(*)(*) 同解
