[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷309及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学二)模拟试卷 309 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数,又设 则必有( )(A)f (0)=1(B) f(0)=2(C) f(0)=3(D)f (4)(0)=42 下列反常积分中,收敛的是( )(A)(B)(C)(D)3 设 则 f(x,y)在点 O(0,0)处( )(A)两个偏导数均存在,且函数连续(B)两个偏导数均存在,函数不连续(C)两个偏导数均不存在,函数连续(D)两个偏导数均不存在,函数也不连续4 设 f(x)在a ,b上可导,f (a)f(b)(A)至少存在一点 x0(a,b)使得

2、 f(x0)(B)至少存在一点 x0(a,b)使得 f(x0)(C)至少存在一点 x0(a,b)使得 f(x0)=0(D)至少存在一点 x0(a,b)使得5 ( )(A)(B)(C)(D)6 设 D=(x, y)(x 一 1)2+(y1)22,则 ( )(A)0(B) 2(C) 4(D)87 设 A 是 43 矩阵,B 是 34 非零矩阵,满足 AB=0,其中*则必有( )(A)当 t=3 时,r(B)=1(B)当 t3 时,r(B)=1 (C)当 t=3 时,r(B)=2(D)当 t3 时,r(B)=2 8 设 A 是 3 阶实对称矩阵, 1, 2, 3 是 A 的 3 个特征值,且满足 1

3、23b,若 A 一 E 是正定矩阵,则参数 应满足( )(A)b(B) (C) 0)17 设 z=z(x,y)是由方程 x2+2y 一 z=ez 所确定,求18 (I)设 k 为正整数, 证明 F(x)存在唯一的零点,记为xk; ( )证明 存在,且其极限值小于 219 设 f(u)具有连续的一阶导数,且当 x0,y0 时, 满足求 z 的表达式20 设 f(x)在a,b上存在一阶导数,且f (x)M, 证明:当xa,b时,21 (I)计算 其中 n 为正整数;( )求21 设 A33=1,2,3,方程组 Ax= 有通解 k+=kE1,2,一 3T+2,一 1,1 T,其中 k 是任意常数证明

4、:22 方程组( 1,2)x= 有唯一解,并求该解;23 方程组 1+2+3+, 1, 2, 3x= 有无穷多解,并求其通解24 设 A 是 3 阶矩阵,有特征值 1=2=一 2, 3=2,对应的特征向量分别是 1=1,一 2,2 T, 2=2,一 5, 3T, 3=2,1,5 T,=3,11,11 T证明: 是 A100 的特征向量,并求对应的特征值考研数学(数学二)模拟试卷 309 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 法一 用皮亚诺泰勒公式先考虑分母,将分子 f(x)在 x0=0 按皮亚诺余项泰恸公式展至,n=3,得 代

5、入极限式,得 所以,(0)=0, f(0)=0,f (0)=0f (0)=3故应选 C法二 分母用等价无穷小替换可见 不然与极限为 1 矛盾用洛必达法则,得 可见 不然,上式应为,与等于 1 矛盾可以再用洛必达法则 由题设上式应为 1,所以 f(0)=3 【 注】用解法一时,本题条件只要设 f(0)存在即可用洛必达法则时,本题条件只要 f(x)在 x=0 处连续即可题设 f(4)(0)存在,是为了选项 D 而设计,保持匀称而已2 【正确答案】 C【试题解析】 通过具体计算,对于 C3 【正确答案】 A【试题解析】 当(x,y)(0,0),由夹逼定理知在点(0,0)处连续4 【正确答案】 C【试

6、题解析】 证明 C 正确不妨设 f(a)0,f(b) 则在 x=a的右侧去心邻域,存在 x1,使得 f(x1)f(a) 又由 在 x=b的左侧去心邻域,存在 x2,使得 f(x2)f(b)所以 f(b)与 f(b)均不是 f(x)在a,b上的最大值,因此必存在 x0(a,b),使得 所以 f()是 f(x)的一个极大值,从而 f(x0)=0故 C 正确A,B,D 的反例:f(x)=x(1x)。x 0,1,f(0)=f(1)=0,当 x(0,1)时,f(x)0故知 A,B,D 均不正确5 【正确答案】 B【试题解析】 将 min1,t 2写成分段函数 当 x一 1 时,当一 1x1 时,当 x1

7、 时, ,故应选 B6 【正确答案】 A【试题解析】 方法一 用极坐标,D 的边界曲线 x2+y2 一 2(z+y)=0,化为极坐标为r=2(cos+sin)方法二 命 X=x 一 1,Y=y 一 1 作坐标平移D 为(X,Y)X 2+Y22,被积函数为 f(X,Y)=X Y 于是由对称性及奇函数性质知7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 AB=0,知 r(A)+r(B)3(3 是 A 的列数或 B 的行数)又 B 是非零矩阵,有 r(B)1,从而有 1r(B)3,r(A) 又当 t=3 时,r(A)=1,故 1r(B)2r(B)=1 或 r(B)=2,r(B)C 不成立当 t3 时,r(

8、A)=2 ,故1r(B)1,故 r(B)=1故应选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 A 有特征值 1, 2, 3,则 A 一 E 有特征值 1 一 2 一 3 一 且满足 a 一 1 一 2 一 3 一 b ,A 一 E 正定,全部特征值应大于 0,当 b0 即 b 时, AE 正定。故应选 D二、填空题9 【正确答案】 e -2【试题解析】 而所以原式=e -210 【正确答案】 【试题解析】 作积分变量变换,令 2xt=u,即 t=2x 一 u,原式化为即 两边对 x求导,得 即令 x=1,得11 【正确答案】 e 2【试题解析】 所以原式=e -212 【正确答案】 【试题解析】 将

9、 ,化为13 【正确答案】 一 1【试题解析】 2x+y =sex2(xy).(1y ),以 x=0,y=0 代入,得 y(0)=1y (0),所以 再求,2+y =2sec(xy)sec(x y)tan(x 一 y).(1 一 y)2+scc2(x 一 y).(y)以x=0,y=0 代入, 2+y(0)=一 y(0),所以 y(0)=一 114 【正确答案】 2,一 6,8 T【试题解析】 因 是 的解,故 应满足 x1+2x2+x3=一 2,代入,得 2+2a+b=-2,2a+b= 一 4。得 =2,a,2a4 T又 Ax=0 和 Bx=0 是同解方程组 满足 Bx=0,即满足 Ax=0,

10、 应可南 Ax=0 的基础解系线性表出,即方程组 x11+x22= 有解由 r(1, 2)=r(1, 2,)=2,得 a=一 6,故 =2,一 6,8 T三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用皮亚诺余项泰勒公式,将 f(x)展开至 n=216 【正确答案】 法一 由分部积分,则法二 令,则17 【正确答案】 将 x2+2yz=ez 两边对 x,y 分别求偏导数,得即 将求偏导数,其中 z 应看做 x,y 的函数,有18 【正确答案】 (I) 故至少存在一个零点又 kekx0,故至多存在一个零点,所以有且仅有一个零点,记为 xk,且 ()由单调有界定理知 存在,

11、且极限值小于 219 【正确答案】 原给方程化为 记 是上式成为常微分方程 解得20 【正确答案】 令 故在(a,b) 内(x)存在最大值点x=x0若 (x0)=0 ,则 (x)0,结论自然成立若(x 0)0,则 (x0)总是(x)的极值( 极大值或极小值),于是 (x0)=0由泰勒公式,以 (a)=0,(a)=0 分别代入上式,并且注意到 (x0)=0, (x)=f(x),于是有于是无论是 还是总可得 于是有21 【正确答案】 (I) ()设nxn+1,有 nx(n+1),于是即当 n时,由夹逼定理得22 【正确答案】 由题设条件( 1,2,3)x= 有通解 k1,2,一 3T+2,一 1,

12、1 T,知 r(1,2,3)=r(1,2,3,)=2,(*) 1+22 一 33=0,(*)=(k+2) 1+(2k 一 1)2+(一3k+1)3(*)其中 k 是任意常数(I)由(*) 式得 ,知 1,2 线性无关(若 1,2 线性相关,又 ;22),得 r(1,2,3)=1,这和关系式(*)矛盾)由(*)式知 1,2 是向量组 1,2,3 及 1,2,3,3, 的极大线性无关组,从而有r(1,2)一 r(1,2,)=2 ,方程组 (1,2)x= 有唯一解由(*)式取 3 的系数一3k+1=0,即取 得( 1,2)x= 的唯一解为 即唯一解23 【正确答案】 因 r(1,2,3)=r(1,2

13、,3,)=r( 1+2+3+, 1,2,3)=r(1+2+3+, 1,2,3, )=2,故方程组( 1+2+3+, 1,2,3)x= 有无穷多解,且其通解形式为 k11+k22+*,其中 *为方程组的特解由式(*)得在(*)式中取 k=0,则得得观察故方程组( 1+2+3+, 1,2,3)x=的通解为 k11+k22+*=k11+k2(1 一 2)+1=k10,1,2,-3 T+k2一 1,3,0,2T+0,2,一 1,1 T24 【正确答案】 本题要证 A100=,并求出其中的 法一 利用 A 的特征值、特征向量反求 A,再计算 A100,即可得出结果,请读者计算法二 将 用1, 2, 3 线性表出,设 =x11+x22+x33,即解方程组 将增广矩阵作初等行变换解得x1,x 2,x 3T=1,一 2,3 T,即 =1 一 22+33因 Ai=Aii,故A100i=i100i,i=1,2,3故 A100=A100(1 一 22+33)=(一 2)1001 一 2(一 2)1002+3(-2)100i=2100(1 一 22+33)2100 得知 是 A100 的特征向量,且对应的特征值为 2100

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