1、考研数学（数学二）模拟试卷 309 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设 则必有( )（A）f (0)=1（B） f(0)=2（C） f(0)=3（D）f (4)(0)=42 下列反常积分中，收敛的是( )（A）（B）（C）（D）3 设 则 f(x，y)在点 O(0，0)处( )（A）两个偏导数均存在，且函数连续（B）两个偏导数均存在，函数不连续（C）两个偏导数均不存在，函数连续（D）两个偏导数均不存在，函数也不连续4 设 f(x)在a ，b上可导，f (a)f(b)（A）至少存在一点 x0(a，b)使得
2、 f(x0)（B）至少存在一点 x0(a，b)使得 f(x0)（C）至少存在一点 x0(a，b)使得 f(x0)=0（D）至少存在一点 x0(a，b)使得5 ( )（A）（B）（C）（D）6 设 D=(x， y)(x 一 1)2+(y1)22，则 ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）87 设 A 是 43 矩阵，B 是 34 非零矩阵，满足 AB=0，其中*则必有( )（A）当 t=3 时，r(B)=1（B）当 t3 时，r(B)=1 （C）当 t=3 时，r(B)=2（D）当 t3 时，r(B)=2 8 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3 是 A 的 3 个特征值，且满足 1
3、23b，若 A 一 E 是正定矩阵，则参数 应满足( )（A）b（B） （C） 0)17 设 z=z(x，y)是由方程 x2+2y 一 z=ez 所确定，求18 (I)设 k 为正整数， 证明 F(x)存在唯一的零点，记为xk； ( )证明 存在，且其极限值小于 219 设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， 满足求 z 的表达式20 设 f(x)在a，b上存在一阶导数，且f (x)M， 证明：当xa，b时，21 (I)计算 其中 n 为正整数；( )求21 设 A33=1,2,3，方程组 Ax= 有通解 k+=kE1，2，一 3T+2，一 1，1 T，其中 k 是任意常数证明
4、：22 方程组( 1,2)x= 有唯一解，并求该解；23 方程组 1+2+3+， 1， 2， 3x= 有无穷多解，并求其通解24 设 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1=2=一 2， 3=2，对应的特征向量分别是 1=1，一 2，2 T， 2=2，一 5， 3T， 3=2，1，5 T，=3，11，11 T证明： 是 A100 的特征向量，并求对应的特征值考研数学（数学二）模拟试卷 309 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 法一 用皮亚诺泰勒公式先考虑分母，将分子 f(x)在 x0=0 按皮亚诺余项泰恸公式展至，n=3，得 代
5、入极限式，得 所以，(0)=0， f(0)=0，f (0)=0f (0)=3故应选 C法二 分母用等价无穷小替换可见 不然与极限为 1 矛盾用洛必达法则，得 可见 不然，上式应为，与等于 1 矛盾可以再用洛必达法则 由题设上式应为 1，所以 f(0)=3 【 注】用解法一时，本题条件只要设 f(0)存在即可用洛必达法则时，本题条件只要 f(x)在 x=0 处连续即可题设 f(4)(0)存在，是为了选项 D 而设计，保持匀称而已2 【正确答案】 C【试题解析】 通过具体计算，对于 C3 【正确答案】 A【试题解析】 当(x,y)(0，0)，由夹逼定理知在点(0，0)处连续4 【正确答案】 C【试
6、题解析】 证明 C 正确不妨设 f(a)0,f(b) 则在 x=a的右侧去心邻域，存在 x1，使得 f(x1)f(a) 又由 在 x=b的左侧去心邻域，存在 x2，使得 f(x2)f(b)所以 f(b)与 f(b)均不是 f(x)在a，b上的最大值，因此必存在 x0(a，b)，使得 所以 f()是 f(x)的一个极大值，从而 f(x0)=0故 C 正确A，B，D 的反例：f(x)=x(1x)。x 0，1，f(0)=f(1)=0，当 x(0，1)时，f(x)0故知 A，B，D 均不正确5 【正确答案】 B【试题解析】 将 min1，t 2写成分段函数 当 x一 1 时，当一 1x1 时，当 x1
7、 时， ，故应选 B6 【正确答案】 A【试题解析】 方法一 用极坐标，D 的边界曲线 x2+y2 一 2(z+y)=0，化为极坐标为r=2(cos+sin)方法二 命 X=x 一 1，Y=y 一 1 作坐标平移D 为(X，Y)X 2+Y22，被积函数为 f(X，Y)=X Y 于是由对称性及奇函数性质知7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 AB=0，知 r(A)+r(B)3(3 是 A 的列数或 B 的行数)又 B 是非零矩阵，有 r(B)1，从而有 1r(B)3，r(A) 又当 t=3 时，r(A)=1，故 1r(B)2r(B)=1 或 r(B)=2，r(B)C 不成立当 t3 时，r(
8、A)=2 ，故1r(B)1，故 r(B)=1故应选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 A 有特征值 1， 2， 3，则 A 一 E 有特征值 1 一 2 一 3 一 且满足 a 一 1 一 2 一 3 一 b ，A 一 E 正定，全部特征值应大于 0，当 b0 即 b 时， AE 正定。故应选 D二、填空题9 【正确答案】 e -2【试题解析】 而所以原式=e -210 【正确答案】 【试题解析】 作积分变量变换，令 2xt=u，即 t=2x 一 u，原式化为即 两边对 x求导，得 即令 x=1，得11 【正确答案】 e 2【试题解析】 所以原式=e -212 【正确答案】 【试题解析】 将
9、 ，化为13 【正确答案】 一 1【试题解析】 2x+y =sex2(xy).(1y )，以 x=0，y=0 代入，得 y(0)=1y (0)，所以 再求，2+y =2sec(xy)sec(x y)tan(x 一 y).(1 一 y)2+scc2(x 一 y).(y)以x=0，y=0 代入， 2+y(0)=一 y(0)，所以 y(0)=一 114 【正确答案】 2，一 6，8 T【试题解析】 因 是 的解，故 应满足 x1+2x2+x3=一 2，代入，得 2+2a+b=-2，2a+b= 一 4。得 =2，a,2a4 T又 Ax=0 和 Bx=0 是同解方程组 满足 Bx=0，即满足 Ax=0，
10、 应可南 Ax=0 的基础解系线性表出，即方程组 x11+x22= 有解由 r(1， 2)=r(1， 2，)=2，得 a=一 6，故 =2，一 6，8 T三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用皮亚诺余项泰勒公式，将 f(x)展开至 n=216 【正确答案】 法一 由分部积分，则法二 令，则17 【正确答案】 将 x2+2yz=ez 两边对 x，y 分别求偏导数，得即 将求偏导数，其中 z 应看做 x，y 的函数，有18 【正确答案】 (I) 故至少存在一个零点又 kekx0，故至多存在一个零点，所以有且仅有一个零点，记为 xk，且 ()由单调有界定理知 存在，
11、且极限值小于 219 【正确答案】 原给方程化为 记 是上式成为常微分方程 解得20 【正确答案】 令 故在(a，b) 内(x)存在最大值点x=x0若 (x0)=0 ，则 (x)0，结论自然成立若(x 0)0，则 (x0)总是(x)的极值( 极大值或极小值)，于是 (x0)=0由泰勒公式，以 (a)=0，(a)=0 分别代入上式，并且注意到 (x0)=0， (x)=f(x)，于是有于是无论是 还是总可得 于是有21 【正确答案】 (I) ()设nxn+1，有 nx(n+1)，于是即当 n时，由夹逼定理得22 【正确答案】 由题设条件( 1,2,3)x= 有通解 k1，2，一 3T+2，一 1，
12、1 T，知 r(1,2,3)=r(1,2,3，)=2，(*) 1+22 一 33=0，(*)=(k+2) 1+(2k 一 1)2+(一3k+1)3(*)其中 k 是任意常数(I)由(*) 式得 ，知 1,2 线性无关(若 1,2 线性相关，又 ;22)，得 r(1,2,3)=1，这和关系式(*)矛盾)由(*)式知 1,2 是向量组 1,2,3 及 1,2,3,3， 的极大线性无关组，从而有r(1,2)一 r(1,2，)=2 ，方程组 (1,2)x= 有唯一解由(*)式取 3 的系数一3k+1=0，即取 得( 1,2)x= 的唯一解为 即唯一解23 【正确答案】 因 r(1,2,3)=r(1,2
13、,3，)=r( 1+2+3+， 1,2,3)=r(1+2+3+， 1,2,3， )=2，故方程组( 1+2+3+， 1,2,3)x= 有无穷多解，且其通解形式为 k11+k22+*，其中 *为方程组的特解由式(*)得在(*)式中取 k=0，则得得观察故方程组( 1+2+3+， 1,2,3)x=的通解为 k11+k22+*=k11+k2(1 一 2)+1=k10，1，2，-3 T+k2一 1，3，0，2T+0，2，一 1，1 T24 【正确答案】 本题要证 A100=，并求出其中的 法一 利用 A 的特征值、特征向量反求 A，再计算 A100，即可得出结果，请读者计算法二 将 用1， 2， 3 线性表出，设 =x11+x22+x33，即解方程组 将增广矩阵作初等行变换解得x1，x 2，x 3T=1，一 2，3 T，即 =1 一 22+33因 Ai=Aii，故A100i=i100i,i=1，2，3故 A100=A100(1 一 22+33)=(一 2)1001 一 2(一 2)1002+3(-2)100i=2100(1 一 22+33)2100 得知 是 A100 的特征向量，且对应的特征值为 2100
