1、考研数学（数学二）模拟试卷 313 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)满足 f(x)+xf(x)2=sinx，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C）曲线 y=f(x)在点(0 ，f(0) 左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的（D）曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的2 下列命题设 与 均存在，则 f(x)在 x=x0 处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在，则 f(x)在 x=x0 处必连续 设 f(x0-)与 f(x0+)均存在，则 f(
2、x)在x=x0 处必连续 设 与 中至少有一个不存在，则 f(x)在 x=x0 必不可导正确的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设区域 其中常数 ab0D 1 是 D 在第一象限的部分，f(z，y) 在 D 上连续，等式 成立的个充分条件是( )（A）f(一 x，一 y)=f(x，y)（B） f(一 x，一 y)=一 f(z，y)（C） f(一 x，y)=f(x，一 y)=一 f(x，y)（D）f(一 x， y)=f(x，一 y)=f(x，y)4 设 f(x)在( 一，+)内连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数，并设则正确的是( )（A）F(x)在(一，0)
3、内严格单调增加，在(0，+)内也严格单调增加（B） F(x)在(一，0)内严格单调增加，在 (0，+)内严格单调减少（C） F(x)在(一，0)内严格单调减少，在 (0，+)内严格单调增加（D）F(x)在(一，0) 内严格单调减少，在(0，+)内也严格单调减少5 设 f(x)在区间(一，+)上连续，且满足 则在(一，+)上，当 x0 时，f(x)( )（A）恒为正（B）恒为负（C）与 x 同号（D）与 x 反号6 设 f(x)在( 一，+)上连续，下述命题若对任意 坝 f(x)必是奇函数若对任意 则 f(x)必是偶函数若 f(x)为周期为 T的奇函数，则 也具有周期 T正确的个数是 ( )（A
4、）0（B） 1（C） 2（D）37 已知向量组 1， 2 s 线性相关，其中 i=i1， i2 inT， i=1，2，s则下列向量组可能线性无关的是( )（A）pi= i1， i2， i3 inT，i=1，2，s（B） i=i1， i1 i2， i3， inT，i=1 ，2， ，s （C） i=i1， i2， in1 T，i=1，2，s（D） i=i1， i2， in， in+1T，i=1，2，s8 设 1， 2， 3， 1+a2 一 23 均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解( )（A）2 1+a2+3（B）一 21+32 一 23（C） a1+22 一
5、 3（D）3 1 一 2a2+3二、填空题9 设 则 f(f(x)=_10 设 f(x)在 x=a 处存在二阶导数，则 =_.11 设常数 a0，则 =_.12 设 z=(1+x2y)xy，则 =_.13 微分方程 y3y +2y=xex 的通解为 y=_14 设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B 可逆，并满足关系 A2+BA+A+2B=0，则 A+B 可逆，且(A+B) -1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设函数 f(x)在区问(0， +)上可导，且 f(x)0 求 F(x)的单调区间，并求曲线 y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标17 没常数 a0，积分
6、 ，试比较 I1 与 I2 的大小。要求写明推导过程17 设 b 为常数18 求曲线 的斜渐近线(记为 l)的方程；19 设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积八为有限值，求 b 及 A 的值20 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(z 一 2y，x+3y)满足求 z=z(u,v)所满足的方程，并求 z(u，v)的一般表达式21 设 D ，计算二重积分22 求 y一 y=ex 满足初始条件 y(1)=0，y (1)=0 的特解22 设 其中 E 是 n 阶单位阵，=a 1，a 2，a nT023 计算 A2，并求 A-1；24 证明 A， 线性相关24 设 A
7、 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的 3 个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1， 2， 3，令 =1+2+325 证明 不是 A 的特征向量；26 证明向量组 ，A ，A 2 线性无关考研数学（数学二）模拟试卷 313 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)+xf(x)2 一 sinx 有 f(0)=0，再求导，得 f(x)+f(x)2+2xf(x)f (x)=cosx，f (0)=1所以 由保号性知，存在 x=0 的去心邻域 ，当 且 x0 时，f (x) 且 x0 时， f(x)0，故应选 D2
8、【正确答案】 A【试题解析】 f -(x)存在，即 f(x)在 x=x0 处左导数存在，推知 f(x)在 x=x0 处左连续；f+(x0)存在，推知 f(x)在 x=x0 处右连续故 f(x)在 x=x0 处连续正确 与都不正确，因为这两种情形，f(x 0)可能没有定义也不正确，反例可知 不存在，但 f(x0)却存在3 【正确答案】 D【试题解析】 当 C 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 都是奇函数，积分应为零，而题中未说 类似地，可知，也不选 A，B当 D 成立时，f(x，y)关于 x 和 y分别都是偶函数，将 D 在各个象限中的部分分别记为 D1、D 2、D 3 与 D4，于是4 【
9、正确答案】 C【试题解析】 设 x0，则0x，0 n xn，0f()f(x)，故 0 f()x nf(x)，从而 F(x)0设 x0，则x0，x n 0，f()f()0，故 xn() nf()，从而 F(x)0，故应选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=u ，作积分变量代换，得所以又因 f(0)=0，f (0)=1，所以 C1=1，C 2=0从而故应选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 是正确的记 有 F(a)=f(a)+f(-a)由于 F(a)=0，所以 F(a)=0，所以 f(a)=一 f(-a)，f(x)为奇函数是正确的记所以 f(-a)=f(a)，推知 f(x)为偶函数
10、所以 F(x)具有周期T故应选 D7 【正确答案】 D【试题解析】 n 维向量 i 后面增加了分量(即维数)成 n+1 维向量 n，讨论线性相关性时，相当于以 i 为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程，有可能使方程组1x1+2x2+ sxs=0 变得只有零解，即使 1， 2， s 可能线性无关故应选DA，B 相当于作初等变换，不改变向量组的秩，不改变向量组的线性相关性C 中向量减少分量，仍保持线性相关8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 Ai=b，i=1，2，3 及 A(1+a22 3)=b+ab=2b=b，得(1+a 一 2)b=b，b0，即 1+a 一 2=1，故 a=2当 a=
11、2 时，将选项逐个左乘 A，看是否满足 A=0，i=1 ，2， 3，4A 1=A(21+22+3)=5b0，A 2=A(一 21+3243)=一 3b0，A 3=A(21+22 一 3)=3b0，A 4=A(31 一 42+3)=0故 4 是对应齐次方程组 Ax=0 的解，故应选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)的表达式，有 最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4 式中 与 x1 的交集为空集最后化简得如上所填10 【正确答案】 【试题解析】 法一 通分，分子用皮亚诺余项泰勒公式，得法二 用洛必达法则，得最后一步来自二阶导数定义11 【正确答案】 【试题解析】 令
12、，则 原式=以下有两种解法：法一 令 tant=u，法二 12 【正确答案】 一 3xy2(1+x2y)xy2ln(1+x2y)【试题解析】 所以13 【正确答案】 【试题解析】 对应的齐次方程的通解为 y=C2ex+C2e2x设原方程的一个特解为y*=x(AxB)e ，代入方程左边，令左、右两边相等，求得 所以通解如上所填14 【正确答案】 一(A+E)B -1【试题解析】 由题设(A+B)A+(A+B)= 一 B，(A+B)(A+E)=一 B.(A+B)一(A+E)=B.B 可逆，两边右乘 B-1，得(A+B) 一(A+E)B -1=E，故 A+B 可逆，且(A+B) -1=一(A+E)B
13、-1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先由所以所以原式为 再由式(*)，用等价无穷小替换，得16 【正确答案】 则当 0x1 时, 从而当 1x+时， 从而又在 x=1 处 F(x)连续所以 F(x)在区间(0，+)上严格单调增加 所以 F(1)=0，且当 0 x1 时，F (x)0，曲线 y=F(x)为凸；当 x1 时，F (x)0，曲线y=F(x)为凹点(10)为曲线 y=F(x)上的唯一拐点17 【正确答案】 当时， ，从而 ，且 cossinx于是知 I1 I2即18 【正确答案】 求 的斜渐近线所以斜渐近线方程为 y=2x 一 419 【正确答案】
14、 面积 如果2b+15+10，即如果 b一 8，无论 b一 8 还是 b一 8，均有与 A 为有限值矛盾当 b=一 8 时，此时面积20 【正确答案】 代入原方程，得 或写成 以下求 z 的一般表达式，将上式写成，两边对 u 积分，v 看成常数，得 其中 1(u)为 v 的具有连续导数的任意函数再将上式看成 z 对 v 的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得 由于1(v)的任意性，记 它表示为 v 的具有二阶连续导数的任意函数，(u) 为 u 的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到 z=z(u，v) 的一般表达式为21 【正确答案】 D 是一块矩形域，如图所示22 【正确答案】
15、 化成两个微分方程 分别得到由 y(1)=0，y (1)=0，从第一个表达式求得又因为 x=0 处，y(x)及 y(x)连续，所以 解得 所以故满足初始条件的特解为23 【正确答案】 A 可逆，且24 【正确答案】 得 A+2=0，由定义知 A， 线性相关25 【正确答案】 已知 A=A(1+2+3)=11+22+33若 是 A 的特征向量，假设对应的特征值为 ，则有 A=(1+2+3)=11+22+33，从而得( 一 1)1+( 一 2)2+( 一 3)3=0 1， 2， 3 是不同特征值对应的特征向量，由定理知1， 2， 3 线性无关，从而得 1=2=3=，这和 1， 2， 3 互不相同矛
16、盾故=1+2+3 不是 A 的特征向量26 【正确答案】 法一 用线性无关的定义证假设有数 k1，k 2，k 3 使得k1+k2A+kA2=0由 =1+2+3 及 Ai=ii，i=1，2，3代入得 k2(2+2+3)+k2(22+22+33)+k3(11+2222+223)=0，整理得 (k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0因 1， 2， 3 线性无关，上式成立当且仅当又 i，i=1 ，2，3 互不相同，故方程组(*)的系数行列式 故方程组(*)仅有零解，即 k1=k2 一 k3=0，所以 ，A，A 2 线性无关法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证因，A，A 2=1+2+3， 11+22+33， 121+222+323其中 所以 C 是可逆阵故r1，A，A 2=r(1， 2， 3)=3因此，A，A 2 线性无关(请读者用等价向量组或初等变换自行证明)
