1、考研数学（数学二）模拟试卷 331 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 7 设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1,2,3 是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+2一 3=(2，0，一 5，4) T， 2+23=(3，12，3，3) T， 321=(2，4，1，一 2)T，则方程组 Ax=b 的通锵 x=（A）（B）（C）（D）8 根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是 （A） （B） （C） （D） 二、填空题9 10 11 曲线 的渐近线方程为_12 x 轴上方的星形线： 与 x 轴
2、所围区域的面积S=_13 (1999 年试题，一) 微分方程 y一 4y=e2x 的通解为_.14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 证明：当 0a b 时，bsinb 2cosb basina2cosaa20 21 22 已知向量组 与向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求 a，b 的值23 计算下列积分：考研数学（数学二）模拟试卷 331 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确
3、答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 C6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 n 一 r(A)=42=2，故方程组 Ax=b 的通：解形式应为+k11+k22这样可排除 C，D因为 A (2+23)=b，A( 321)=一 b，所以 A中(1， 4，1，1) T 和 B 中(一 2，一 4，一 1，2)都是方程组 Ax=b 的解(A)和(B)中均有(2 ，2，一 2，1) T，因此它必是 Ax=0 的解只要检验(1，一 4，一 6，3) T 和(1，8， 2，5) T 哪一个是 Ax=0 的解就可以了由于 3(1+2 一 3)一( 2+23)=3(1一
4、3)+2(2 一 3)是 Ax=0 的解，所以(3，一 12，一 18，9) T 是 Ax=0 的解那么(1，一 4，一 6，3) T 是 Ax=0 的解故应选 A8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 /4【试题解析】 11 【正确答案】 y=x+ 1/e【试题解析】 通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线由题设，因此无水平渐近线又由因此也无铅直渐近线关于斜渐近线，设因此有斜渐近线为 y=x+ 1/e12 【正确答案】 【试题解析】 x 轴上方的星形线表达式为13 【正确答案】 先求原方程相应齐次方程的通解，其特征方程为 2 一 4=0，解得特
5、征值为 1=2， 2=一 2，从而齐次方程通解为 y=C1e-2x+C2e2x，设原方程特解为y*=Axe2x，代回原方程得 ，因此 所以原方程通解为【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 设函数 F(x)xsinx2cosxx，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且 F(x)xcosx sinx ，F() 0，F(x)cosxxsinxcosxxsinx0 (x(0 ，)所以 F(x)在0，单调减少，从而 F(x)F() 0
6、(x(0，)于是 F(x)在0，单调增加，因此当 0ab 时，F(b)F(a)即 bsinb2cosbbasina2cosaa20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 详解 1 因为 1 和 2 线性无关， 33 12 2，所以向量组1， 2， 3 线性相关，且秩为 2， 1， 2 是它的一个极大线性无关组 由于向量组1， 2， 3 与 1， 2， 3 具有相同的秩，故 1， 2， 3 线性相关，从而行列式，由此解得 a3b 又 3 可由 1， 2， 3 线性表示，从而可由 1， 2 线性表示，于是向量组 1， 2， 3 线性相关，因此有，解得 2b100 于是得 a15，b
7、5 详解 2 因 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故线性方程组有解对增广矩阵施以初等行变换：由非齐次线性方程组有解的条件知， ，得 b5 又因为 1 和2 线性无关， 33 12 2，所以向量组 1， 2， 3 的秩为 2，而题设1， 2， 3，与 1， 2， 3 同秩，从而有 由此解得 a15 【试题解析】 向量组 1， 2， 3 不含任何参数，其秩可直接计算出来为 2，从而向量组 1， 2， 3 的秩也可确定为 2即 1， 2， 3 线性相关，可导出其行列式为0，得到一个方程；为了求出两个参数，还需要一个方程，根据 3 可由 1， 2， 3线性表示，而 1， 2， 3 的秩为 2，因此 3 与 1， 2， 3 中的某两个向量线性相关，又可得一方程最终可解出两个参数当然，本题也可直接根据 3 可由1， 2， 3 线性表示，即对应的线性方程组有解，利用有解的判定求参数【知识模块】 向 量23 【正确答案】
