1、考研数学（数学二）模拟试卷 337 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 其中 a 是比x( x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=( )（A）e /4（B） 2（C） （D）e /43 设 f(x)=2x+3x-2，则当 x0 时( ) （A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)比 x 更高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小4 5 6 设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零
2、，则 ( )（A）0。（B） 2（C）（D）17 设 其中函数 f(x)可导，且 f(x)0 在区间(一 1，1)成立，则（A）函数 F(x)必在点 x=0 处取得极大值（B）函数 F(x)必在点 x=0 处取得极小值（C）函数 F(x)在点 x=0 处不取极植，但点(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点（D）函数 F(x)在点 x=0 处不取极值，且点(0 ，F(0)也不是曲线 y=F(x)的拐点8 二、填空题9 设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且Aa，Bb， ，则C _。10 11 设 f(x)xe x，则 f(n)(x)的极小值为_。12 设 n 为正整数，则13 14 设
3、 A 为 3 阶矩阵，A3，A *为 A 的伴随矩阵，若交换 A 的第 1 行与第 2行得矩阵 B，则BA * _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t 4， 4=4+t1，讨论实数 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也是 Ax=0 的一个基础解系。16 17 18 19 20 21 求证 (n1 为自然数) 22 (2007 年试题，三(19) 求微分方程 y(x+y2)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解23 设函数 f(x)，g(x) 满足
4、条件： f(x)g(x) ，g(x)f(x)，f(0)0，g(x)0 设yF(x)f(x)g(x) ，求由曲线 yF(x)(x0)，直线 y1 和 x0 所围图形的面积考研数学（数学二）模拟试卷 337 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 由题设， ，且 a 是比x( x0) 高阶的无穷小从而此为可分离变量的微分方程，则，两边积分得 lny=arctanx+C由已知 y(0)=，代入上式解得C=ln，于是 y=earctanx，因此 y(1)=e/4，选(A)3 【正确答案】 B【试题解析】
5、 因为 且ln2+ln31，所以应选 (B)4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查变上限定积分求导法、函数的极值以及曲线的拐点等有关知识因 于是由 F(x)符号的变化情况知，曲线 y=F(x)在区间( 一 1，0 是凸的，在区间0，1) 是凹的，可见(0，F(0)是其拐点由 F(x)符号的变化情况还知道，F (0)是 F(x)的最小值，又 F(0)=0，从而知F(x)0 当 x0 时成立这表明 F(x)在 x=0 处不取极值综合以上分析知，结论 C正确，其余均不正确故应选 C8 【正确
6、答案】 【知识模块】 综合二、填空题9 【正确答案】 (1) mnab；【知识模块】 行列式10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 f(x)xe x，f (n)(x)(nx)e x， f (n1) (x)(n1x)e x， f (n2) (x)(n 2x)e x，令 f(n1) (x)0，解得 f(n)(x)的驻点 x(n1) ，又 f(n2) (n1)n 2(n 1)e(n1) e (n1) 0，故 x(n 1)为 f(n)(x)的极小值点，f (n)(n1)12 【正确答案】 2【试题解析】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 根据题意设 ，则由题知 PAB，A 为 3
7、阶矩阵，又A3，所以A *A 29 因此BAs *B A *PA A *PA A *27三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 1， 2， 3， 4 均为 1， 2， 3， 4 的线性组合，所以1， 2， 3， 4 均为 Ax=0 的解下面证明 1， 2， 3， 4 线性无关设k11，k 22，k 33，k 44=0，即(k 1+tk4)1+(tk1+k2)1+(tk2+k3)1+(tk3+k4)4=0，由于1， 2， 3， 4 线性无关，因此其系数全为零，即=1-t4 可见，当 1-t40，即 t1 时，上述方程组只有零解 k1=k2=k3=k4=0，因此
8、向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，又因 Ax=0 的基础解系是 4 个向量，故 1， 2， 3， 4 也是 Ax=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 把证明数列不等式转化为证明函数不等式，可以用微分学方法为此引入 则为确定 f(x)的符号，考察则由故 f(x)0(x1)f(x)f(1)=0(x1)因此 f(n)0(n1)，即原不等式成立22 【正确答案】 令 P=y，则方程 y(x+y12)=y化为 解此线性方程得p(p+C)=x又 y(1)=1，则 C=0故 ，即 得 又 y(1)=1，则故函数【知识模块】 微分方程23 【正确答案】
