1、考研数学（数学二）模拟试卷 338 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 设 f(x)在( 一，+)内连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数，并设则正确的是( )（A）F(x)在(一，0) 内严格单调增加，在(0，+)内也严格单调增加（B） F(x)在(一，0)内严格单调增加，在 (0，+)内严格单调减少（C） F(x)在(一，0)内严格单调减少，在 (0，+)内严格单调增加（D）F(x)在(一，0) 内严格单调减少，在(0，+)内也严格单调减少4 5 6 设函数 ，则 f(x)有（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1
2、个可去间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个跳跃间断点（D）2 个无穷间断点7 具有特解 y1e x ，y 2 2xex ，y 33e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（A）yy“y y0 （B） yy“yy0（C） y6y“11y6y0 （D）y2y“y 2y08 二、填空题9 10 11 12 13 (2003 年试题，一) 设三阶方阵 A*B 满足 A2B 一 AB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 则B=_.14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知连续函数 f(x)满足条件 ，求 f(x)16 17 18 19 设 ，试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性和
3、可导性20 已知抛物线 y=ax2+bx+c，在其上的点 P(1，2)的曲率圆的方程为求常数 a，b，c 的值21 22 23 (2002 年试题，八) 设 01n+1= 证明数列x n的极限存在，并求此极限考研数学（数学二）模拟试卷 338 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 设 x0，则0x，0 n xn，0f()f(x)，故 0 f()x nf(x)，从而 F(x)0设 x0，则x0，x n 0，f()f()0，故 xn() nf()，从而 F(x)0
4、，故应选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性【知识模块】 函数极限连续7 【正确答案】 B【试题解析】 分析 由于常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程 详解 由特解的形式可知，对应特征方程的根为 1 21， 31，于是特征方程为 (1) 2(1) 3 3 10，故所求方程为 yy“yy0，故应选(B) 评注 已知齐次微分方程的特解，求
5、微分方程，关键在于掌握特征根与对应特解之间的关系，包括实单根、重根和复数根所对应的特解形式【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 【知识模块】 综合二、填空题9 【正确答案】 4【试题解析】 10 【正确答案】 1/2【试题解析】 11 【正确答案】 x=-10,x=0( 三重)【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 由题设所给方程 A2B 一 AB=E，得(A 2 一 e)B=A+E，即(A+E)(AE)B=A+E 又由已知 则 且A 一 E20，于是 B=(A 一 E)-1(A+E)-1(A+E)=(A 一 E)-1，因此【试题解析】 考查了矩阵的运算和行列式的
6、计算，这类题一般用方程的思想来解决，要先化简再计算【知识模块】 行列式14 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 f(x)3e 3x2e 2x；【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 连续性因为所以 f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1，即 f(x)在 x=0 处连续可导性因为 f_(0)=f+(0)=所以 f(0)=0即 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=020 【正确答案】 曲线 L：y=ax 2+bx+c 经过点 P(1， 2)，从而
7、2=a+b+c曲率圆在点 P 处的切线的斜率为 与 L 在此点的切线斜率相等，故 y p=(2ax+b) p=2a+b=1又 L 在点 P 处曲率应与曲率圆的曲率相等，即 所以21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 通常证明数列有极限都是通过证明其单调有界来达到目的，本题考查的也是这一思路，由题设，已知 01a+1= 知，x 2= 显然假设 ，则 xk0 且 3 一 xk0，从而于是由归纳假设得出结论x 1有上界且全为正数，关于单调性，当 n1 时，由于已知 0k ，所以 即x n单调递增，综上，由数列单调有界收敛准则知x n收敛设极限为 A，即 两边令 n，则解之得 (A=0 舍去)，所以 评注在证明x n单调性时，也可利用 来达到目的。【知识模块】 函数、极限、连续
