1、考研数学（数学二）模拟试卷 340 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y * =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y * =ax2+bx+c+Acosx2 3 4 5 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P 1 （B） PT（C） P（D
2、）(P -1)6 设 f(，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则 f(x，y)在(0， 0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值7 已知 y=x/lnx 是微分方程 y=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为（A）-y 2/x2（B） y2/x2（C） -x2/y2（D）x 2/y28 二、填空题9 10 11 12 13 904*(x3sin 2x)cos2xdx_14 设 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 f(x)在区间ab上连续，在(a，b) 内可导，且 ，求证：在(a ，b)内至少存在一点 ，使 f()
3、016 设 x2(x ，y) 是由 x26xy10y 22yz z 218 0 确定的函数，求 zz(x，y)的极值点和极值17 18 18 设 其中 E 是 n 阶单位阵，=a 1，a 2，a nT019 计算 A2，并求 A-1；20 证明 A， 线性相关21 22 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并满足(a 为常数) ，又曲线 yf(x)与 x1，y0 所围的图形 S的面积值为 2，求函数 yf(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小23 设 0un1n (n1，2，)，则下列级数中必定收敛的是 24 设区域 D
4、 是由 y=x-1，y=x+1，x=2 及坐标轴围成的区域(图 3-1)，(X，Y) 服从区域 D 上的均匀分布 (1)求(X ，Y)的密度函数；(2)求 X，Y 的边缘密度函数考研数学（数学二）模拟试卷 340 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 行列式2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0。7 【正确答案】 A【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 B【试题解析
5、】 二、填空题9 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 10 【正确答案】 3/2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 a=1,b=1【试题解析】 13 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 积分区间为对称区间，首先想到被积函数的奇偶性，尽量用奇偶函数在对称区间上的性质简化计算过程详解评注 若 f(x)为连续函数，则 2a af(x)dx 0af(x)f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 二元函数 ，对 x 求偏导，应当作幂指函数求导，可先取对数或化为指数函数再求导详解 两边取对数，有，对 x 求偏导，得当 x1，y2
6、 时，有 ，代入上式得【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 对等式左端先用积分中值定理，再用罗尔中值定理【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 极大值点为(9，3)，极大值 z3极小值点为(9，3) ，极小值 z3【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 A 可逆，且20 【正确答案】 得 A+2=0，由定义知 A， 线性相关21 【正确答案】 22 【正确答案】 因为 ，当 x0 时，求积分得 ，又f(x)在点 x0 连续，所以 。于是，得 C4 a因此旋转体的体积令，得 a5又 ，故 a5 时，旋转体的体积最小【试题解析】 分析 先由微分方程 求得 f(x)关于参数 a及任意常数 C 的函数，再由 S 的面积值为 2，定出 a 与 C 的关系式，利用旋转体的体积公式求出体积函数 V(a)，最后对体积 V(a)求最值 评注 本题综合考查了定积分的几何应用、微分方程的求解和函数的极值，应注意对问题进行分解，从而简化运算【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 D24 【正确答案】 【试题解析】 根据均匀分布的定义，先求 D 的面积，再根据边缘分布的定义可求得边缘密度函数【知识模块】 综合
