1、考研数学（数学二）模拟试卷 344 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 （A） （B） （C） （D） 6 7 设 1， 2， 3， 1+a2 一 23 均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解( )（A）2 1+a2+3（B）一 21+32 一 23（C） a1+22 一 3（D）3 1 一 2a2+38 曲线 y=1/x+ln(1+ex )渐近线的条数为_.（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题9 10 11 12 13 14 设 ，E 为 4 阶单位矩阵
2、，且 B(EA) 1 (EA)，则(EB) 1 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设实对称矩阵 ，求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角形矩阵，并计算行列式丨 A-E 丨的值16 17 18 19 20 21 设 n 阶矩阵 A= ()求 A 的特征值和特征向量； ()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵22 23 求下列极限：考研数学（数学二）模拟试卷 344 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解
3、析】 5 【正确答案】 B6 【正确答案】 A【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 Ai=b，i=1，2，3 及 A(1+a22 3)=b+ab=2b=b，得(1+a 一 2)b=b，b0，即 1+a 一 2=1，故 a=2当 a=2 时，将选项逐个左乘 A，看是否满足 A=0，i=1 ，2， 3，4A 1=A(21+22+3)=5b0，A 2=A(一 21+3243)=一 3b0，A 3=A(21+22 一 3)=3b0，A 4=A(31 一 42+3)=0故 4 是对应齐次方程组 Ax=0 的解，故应选 D8 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9
4、【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 (1-cos1)/3【试题解析】 11 【正确答案】 1/2【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 b+a【试题解析】 【知识模块】 函数极限连续14 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 已知矩阵等式求逆，总是应先从已知等式分解出左端含有待求逆的矩阵作为因子，而右端为单位矩阵的情形，这样相应的逆矩阵即可直接写出详解 由 B(EA) 1 (EA)，有 (EA)B EA，即 ABAB E 2E (E A)(E B)2E ，也即 (EA).(EB)E，故【知识模块】 矩 阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
5、骤。15 【正确答案】 于是得到矩阵 A的特征值： 1=2=a+1， 3=a-2.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 () 由题设，先由特征值多项式A-E=0 求 A 的特征值，即=1-+(n-1)b(1-b)n-1，因此 A 的特征值为 1=1+(n-1)b， 2=3= n=1-b当 b0 时，对应于1=1+(n-1)b， 不难求出 1= 是(A- 1E)x=0 的基础解系，从而属于 1 的特征向量为 Cn= ，其中 C 为任意非 0 常数。对应于 2=3= n=1-b，A-(1-b)E=易得出基础解系为 2=从而特征向量为 C22+C33+Cnn，其中C2，C 3， Cn 是不全为 0 的常数当 b=0 时，A= =E，从而 A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量 ()由前述已知，当 b0，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P=(1， 2， 3， n)，则 P-1AP=而当 b=0 时，A=E ，任取 P 为可逆矩阵，都有 P-1AP=E22 【正确答案】 23 【正确答案】
