1、考研数学（数学二）模拟试卷 349 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P 1 （B） PT（C） P（D）(P -1)7 8 设函数 f(x)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f(1)=_.（A）-1（B） 0.1（C） 1（D）0.5二、填空题9 设函数 f(x)在 x2 的
2、某邻域内可导，且 f(x)e f(x)，f(2)=1 ，则 f(2)_10 11 12 =_.13 曲线 yx 2x(x0) 上曲率为 的点的坐标是_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 设 f(x)在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在a ，a上至少存在一点 ，使 a 3f“()3 a af(x)dx20 设函数 f(x)，g(x) 满足 f(x)g(x) ，g(x)2e 2xf(x)，且 f(0)0，g(0)2，求。20 (2003 年试题，八) 设位于第一象
3、限的曲线 y=f(x)过点 其上任一点 P(x，y)处的法线与)，轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分21 求曲线 y=f(x)的方程；22 已知曲线)，=sinx 在0，上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s23 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax2by3c0， l1：bx2cy3a 0， l 1：cx 2ay360 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 ab c023 设曲线 L 的方程为 y=1/4 x2-1/2 lnx(1xe)24 求 L 的弧长；25 设 D 是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x 轴所围平面图形求 D 的形心的横坐标
4、考研数学（数学二）模拟试卷 349 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 B7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 已知 f(x)在 x2 的某邻域内可导，f(x) e f(x)，所以 f(x)在 x2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)二阶可导，且 f(x)=e xf(x)e f(x)e 2f(x
5、) 于是 f(x)也在 x2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)三阶可导，且 f(x) e 2f(x) 2f(x)e2f(x)2e 3f(x)，将 f(2)1 代入可得 f(2)2e 310 【正确答案】 2/3【试题解析】 11 【正确答案】 e/2【试题解析】 12 【正确答案】 e -1【试题解析】 13 【正确答案】 应填(1，0)【试题解析】 详解 由 yx 2x，得 y2x1，y“ 2利用曲率公式 ，即(2x1) 21，故 x0 或1又已知 x0，所以 x1，y0【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 (1)对任意 xa，a， 其中 在 0 与 x 之间(2) 因为f“(x)在a，a上连续，故对任意的 xa，a ，有 mf“(x)M，其中 M，m 分别为 f“(x)在 a，a上的最大、最小值，于是有 即因此，由 f“(x)在a， a上的连续性知，至少存在一点a ，a，使 即 a3f“()3 a af(x)dx【试题解析】 分析 (1)直接套公式即可， f(x)的带拉格朗日余项的”阶麦克劳林公式为： (2)的证明显然要用到(1)的结果，由于 f(x)在区间a，a(a 0)上具有二阶连续导数，因
7、此 f“(x)一定存在最大和最小值，若对 进行估值后，发现介于 f“(x)的最大值和最小值之间，则用介值定理即可完成证明评注 本题证明过程中得到的 与 x 有关，因此在(2)的证明过程中，干万不要误以为是常数，而由积分直接得于是推出a3f“()3 a af(x)dx这样表面上似乎证明了结论，而实际上是错误的有时为了明确起见，可将 记为 (x)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 详解 1 由题设条件，f(x)g(x)，g(x)2e xf(x) ，得解之得 f(x)sinxcosxe x所以详解 2 同详解1，f(x)sinxcosxe x【试题解析】 先由题设条件，得一微分方程，解出
8、 f(x)后再求定积分【知识模块】 微分方程【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 由题设，曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)处的法线方程为令 x=0，得出该法线与 y 轴的交点 Q 的坐标为 又由已知 PQ 被 x 轴平分，则： 即 2yy+x=0，分离变量得 2ydy=一 xdx，积分得 ，即 又由已知 y=f(x)过点 ，则 于是曲线y=f(x)方程为 2y2+x2=1 且 x0，y0【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 曲线 y=sinx 在0， 上弧长为 l，则由弧长公式知由前述已知，将曲线 y=f(x)的方程写为参数方程，则由此 y=f(x)的弧长为【试题解析】 因为曲
9、线 y=f(x)位于第一象限，所以在求弧长进行积分时，积分限应从 0 到 ，而不是 0 到 2【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 详解 1 必要性设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则线性方程组有唯一解，故系数矩阵 与增广矩阵的秩均为 2，于是 由于6(a6c)(a 2b 2c 2abacbc) 3(a 6c)(ab) 2(bc) 2(ca) 2，但根据题设(a b) 2(bc) 2(ca) 20，故abc0充分性由 a6c一 0，则从必要性的证明可知，。由于 故 r(A)2于是，因此方程组有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于点详解 2 必要性设三直线交于一点(x 0，
10、y 0)，则 为 Ax0 的非零解，其中于是 A0而 6(a 6c)(a2 b2c 2 abacbc) 3(abc)(a b) 2 (bc) 2(ca) 2，但根据题设(a b)2(b c)2(ca) 20，故 abc一 0 充分性考虑线性方程组将方程组 的三个方程相加，并由 “6c：0 可知，方程组等价于方程组 因为 2(ac b 2)2a(ab)b 2 a 2b 2(ab) 20，故方程组有唯一解，所以方程组有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点【试题解析】 分析 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2 评注 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点设有齐次线性方程组【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 25 【正确答案】
