1、考研数学（数学二）模拟试卷 362 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 7 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量且当x0 时，a 是 x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于（A）2（B） （C） e/4（D）e /48 下列各对函数中，两函数相同的是 （A） （B） （C） （D） 二、填空题9 10 11 12 13 14 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 设 A 为 3 阶矩阵，a 1，a 2 为 A 的分别属于特征值-1、1
2、 的特征向量，向量 a3 满足 Aa 3=a2+a3， () 证明 a1，a 2，a 3 线性无关； ()令 P=(a1，a 2，a 3，求 P-1AP20 设 f(x)在 上连续，证明：当 021 求极限 ，记此极限为 f(x)，求函数 f(x)的间断点并指出其类型22 证明：方程x 14 x 12 12cosx0 在(，)内仅有两个实根23 考研数学（数学二）模拟试卷 362 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正
3、确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 -1【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 e(2e+3)/4【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 1【试题解析】 【分析一】对被积函数直接进行放大与缩小，即由于从而=1 因此【分析二】由积分中值定理，有其中 nn+1由夹逼定理知 又因为cos 1 ，根据有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小量可得 从而 【分析三】对变限积分函数 用拉格朗日中值定理得于是三、
4、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 假设 a1，a 2，a 3 线性相关，则 a3 可由 a1，a 2 线性表出， 可设a3=k1a1+k2a2，其中 k1，k 2 不全为 0， 否则由等式 Aa3=a2+a3 得到 a2=0，不符合题设 因为 a1， a2 为矩阵 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，所以Aa1=a1，Aa 2=a2， 则 Aa3=A(k1a1+k2a2)=-k1a1+k2a2=a2+k1a1+k2a2等式中 a1，a 2 的对应系数相等，即 显然此方程组
5、无解，故假设不成立，从而可知a1，a 2，a 3 线性无关()因为 a1，a 2，a 3 线性无关，所以矩阵 P=(a1，a 2，a 3)可逆，由于 AP=A(a1，a 2，a 3)=(-a1，a 2，a 2+a3)=(a1，a 2，a 3) 等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得 P-1AP=P-1 P20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 详解 1 原式即 显然，f(x)的间断点为 x0，xk(k1 ，2，)由于 ，所以 x0 是函数 f(x)的第一类( 或可去)间断点；而有一不存在，故xk(k1，2，)是 f(x)的第二类间断点详解 2 原式而求间断
6、点并指出其类型同详解 1【试题解析】 分析 本题为“1 ”型未定式极限问题，可用第二类重要极限或化为指数函数这两种方法求解，得到 f(x)后，再求其间断点并进行分类 评注 从本题可看出，求“1 ”型未定式的极限，有时直接用第二类重要极限来计算可能更简便，指出间断点的类型，通常只需说明是第一或第二类即可，当然若能更详细地指出是第一类中的可去或跳跃间断点，以及第二类中的无穷或振荡间断点则更好【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 证：由于x 14 x 12 12cosx 为偶函数，只要证明所给方程在(x ，) 仅有一个实根即可 设 F(x)x 14 x 12 12cosx 先证根的存在性
7、 因 F(0)120，可知 x0 不是方程 F(x)0 的根，又因 lim F(x)，故存在一点 x。0，使得 F(x。) 0，例如，取 x。1，便有 F(1)11120，于是，由零点定理，在区间(0，1)内 F(x)0 至少存在一个根 注意到当 x1 时，F(x)恒大于 0，故在区间(1，) 内方程 F(x)0 不可能有根 再证根的唯一性 因为 0x12 时，函数 x14 、x 12 ，cosx 都是单调增加的，所以 F(x)在(0，1) 内单调增加，从而 F(x)0 在(0，1)内仅有一个实根 综上，又因为x 14 x 12 12cosx 为偶函数，即所给方程在(，)内仅有两个实根23 【正确答案】 【知识模块】 综合
