1、考研数学（数学二）模拟试卷 363 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 在下列哪个区间内有界（A）(1，0) （B） (0，1) （C） (1，2) （D）(2 ，3)2 3 4 5 设当 x0 时，f(x)连续且严格单调递增， 则 F(x)在 x0 时( )（A）没有驻点。（B）有唯一驻点且为极大值点（C）有唯一驻点且为极小值点（D）有唯一驻点但不是极值点6 设函数 f(x， y)可微，且对任意 x，y 都有 ，则使不等式f(x1，y 1)2，y 2)成立的一个充分条件是（A）x 1x 2,y1y 2（B） x1x 2,y1y 2（C） x1x
2、 2,y1y 2（D）x 1x 2,y1y 27 设向量组 I： 1， 2， r，可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则下列命题正确的是（A）若向量组 I 线性无关，则 rs （B）若向量组 I 线性相关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs （D）若向量组线性相关，则 rs8 （A）极小值 12（B）极小值12（C）极大值 12（D）极大值12二、填空题9 设 其中aiaj(ij，i ， j1，2， ，n)，则线性方程 ATxB 的解是_10 11 12 设 f(x)有连续的导数，f(0) 0 且 f(0)b，若函数在 x0 处连续，则常数 A_13 设 y=f(x)在(1，1)邻域
3、有连续二阶导数，曲线 y=f(x)在点 P(1，1)处的曲率圆方程为 x2+y2=2，则 f(1)=_14 设函数 yf(x)由方程 e2xy cos(xy)e1 所确定，则曲线 yf(x)在点(0，1)处的法线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位矩阵，求 X16 17 18 19 19 设 1a2x，求证 f(x)满足不等式20 0(x)1)21 22 设数列x n满足 0x 1 ，x n1 sinx n(n1，2 ，)(1) 证明 存在，并求该极限；(2)计算23 求下列各函数
4、的 n 阶导数(其中，a，m 为常数)： (1)ya x (2)yln(1x) (3)ycosx (4)y(1x)m (5)yxe x24 利用定积分定义计算下列积分：考研数学（数学二）模拟试卷 363 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)严格单调增加，可知当 t(0，X)时，f(x)f(t)，故当 x0 时也即 F(x)在 x0 处没有驻点故应选 A6 【正确
5、答案】 D【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 详解 因向量组 I 能由向量组线性表示，所以 r(I)r() ，即 r(1， 2， ， r)r(1， 2， s)s， 若向量组 I 线性无关，则r(1， 2， ， r)r，所以 r5故应选(A) 评注 这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案【知识模块】 向 量8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，0) T；【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 /8【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 由于 F(x)在 x0 连续，13
6、 【正确答案】 一 2【试题解析】 【分析一】y=f(x)存点 P 处的切线与 。垂直 斜率为 1f (1)=一1点 P 处 y=f(x)的曲率半径为 ，故曲线 y=f(x)在点 P 处的曲率为 于是按曲率计算公式 由于曲率中心在曲线 y=f(x)凹的一侧f (1)(1)=一 2【分析二】曲率圆 x2+y2=2 在(1，1)邻域确定 y=y(x)(y(1)=1)，y=f(x) 与 y=y(x)在 x=1 有相同的二阶导数现由 x2+y2=22x+2yy =0，即x+yy=0 令 x=1,y=1y (1)=一 1，又 1+y12+yy=0 令 x=1，y=1，y =一 1=y (1)=一2因此
7、f(1)=y(1)=一 214 【正确答案】 应填 x2y20【试题解析】 分析 本题综合了隐函数求导和导数的几何应用两个知识点，方程两边直接对 x 求导得到在 x0 处的导数值 f(0)后，相应法线方程的斜率为，再用点斜式即可求出法线方程详解 等式 e2xy cos(xy)e1 两边同时对 x 求导，得 e 2xy .(2y) sin(xy).(yxy)0， 将 x0，y1 代入上式，得 y(0)2 故所求法线方程为 ，即 x2y20【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 17 【正确答案】 18
8、 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 求出f (x)在1，+)单调下降f (x)(1)=2(x1)21 【正确答案】 方法 1。引进辅助函数利用单调性证明不等式将 b 改为 x，考察辅助函数 其中 1a其中 又当1a(x) 即 G(x)在a ，+) ，从而 G(x)G(a)=0(xa)，特别有 G(b)0，即 方法 2。用泰勒公式在处展开，有 分别取被展开点 x=a，b，得其中+得由题(I)22 【正确答案】 (1)因为 0x 1 ，则 0x 2sinx 11 可推得0x n1 sinx n1 ，n1，2，则数列x n有界 于是 (因为当 x0 时，sinxx)，则有 xn1 x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在 设，在 xn1 1sinx n 两边令 n ，得 sin，解得 0，即(2)因 ，由(1)知该极限为“1 ”型，令 tx n，则 n，t0，而又故【试题解析】 题设数列由递推公式给出，一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 24 【正确答案】
