1、考研数学（数学二）模拟试卷 365 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在点 xa 处可导，则函数f(x)在点 xa 处不可导的允分条件是（A）f(a)0 且 f(a)0 （B） f(a)0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0 （D）f(a)0 且 f(a)02 3 4 5 设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，一 1，一 2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是（A）A+E（B） AE（C） A+2E（D）2A+E6 7 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（A）（B）（C）（D）8 设区域 D 由曲线
2、ysinx， ，y1 围成，则 （A） （B） 2（C） 2（D）二、填空题9 设 A= ，B=P -1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B2004 -2A2 =_.10 11 12 已知函数 y(x)可微(x0)且满足方程 则 y(x)=_13 =_14 三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“y2y0 的通解为 y_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 17 函数 f(x)在18 求导数 f(x)；19 证明：当0 时，成立不等式 e-xf(x)120 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 Y=x 相切于原点记 a 为曲线 f 在点
3、 (x,y，)处切线的倾角，若 da/dx=dy/dx,求 y(x)的表达式21 (2000 年试题，八) 设函 f(x)在0，上连续，且 试证明：在(0 ，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=022 已知某商品的需求价格弹性为 EQEPP(lnP1)，且当 P1 时，需求量为Q1(1)求商品对价格的需求函数；(2)当 P时，需求是否趋于稳定 ?23 欲做一个底为正方形，容积为 108m3 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省 ?24 某林区现有木材 10 万米 3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设 10 年内该林区有木材 20 万米 3，试确定木
4、材数 P 与时间 t 的关系考研数学（数学二）模拟试卷 365 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 故 A 可逆 A 的特征值不为 0由 A 的特征值为1，一 1，一 2，可知 2A+E 的特征值为 3，一 1，一 3所以 2A+E 可逆故选D6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 详解 选项(A) 相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续
5、，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，因此 (A)，(B)均不能保证 f(x，y)在点(0， 0)处可微 选项(D)相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0) ，f y(0，0)在点(0，0)连续，但不能推导出两个一阶偏导函数 fx(x，y)，f y(x，y) 在点(0，0)处连续，因此也不能保证 f(x，y)在点(0 ，0)处可微若 ，则 ，即fx(0，0)0，同理有 fy(0，0)0从而根据可微的定义，知函数 f(x，y)在(0 ，0)处可微故应选 (C)【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 详解 如图 154：(利用对称区间上奇
6、函数的性质)故应选(D) 【知识模块】 重积分二、填空题9 【正确答案】 【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 1,1,1【试题解析】 11 【正确答案】 -1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 这是含变限积分的方程先将原方程两边求导，转化为常微分方程得 在原方程中令 x=1 得 y(1)=1于是原方程与初值问题 等价这是齐次方程，令 得 分离变量得由 y(1)=1 得 C=一 1，代入 得13 【正确答案】 1【试题解析】 14 【正确答案】 应填 yC 1e2xC 1cosxC 3sinx。【试题解析】 分析 求特征方程的解，直接写出三阶常系数线性齐次微分方程的通解，属基础题型
7、 详解y“2y“ y2y0 的特征方程为32 220， 即(2)( 21)0，解得 12， 2,3i，所以通解为 yC 1e2xC 2cos xC 3sin x 评注 虽然此题是三阶微分方程，但是考试大纲明确要求会的内容【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由题设，引入变上限定积分形式的辅助函数则由已知条件知 F()=0=F(0
8、)，此外，由 ，有 即则由积分中值定理知存在 (0，)，使得 F()sin=0又当(0， )时，sin0，所以 F()=0由此知 F(0)=F()=F()=0，0 1(0，) 和2(，)，使得 F(1)=f(2)=0，此即 f(1)=f(2)=0， 评注也可直接由已知条件，应用积分中值定理，则存在 1(0，)，使得即 f(1)=0，其中 011，使 f(1)=0，则由 可知 f(x)在(0， 1)内与 (2，) 异号，不失一般性，设(0， 1)内 f(x)0，从而( 1，)内 f(x)及 cosx 在0，上的单调性，有此为矛盾，因此假设不成立，必至少存在另一点 2(0，) 且 21，使得 f(2)=0，至此，原命题同样得证证明价值性问题，往往用中值定理，证明 f(x)有 k 个零点的一个有效方法是证明它的原函数有 k+1 个零点注意 为 f(x)的一个特殊的原函数【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 23 【正确答案】 设底面正方形边长为 x 米，高为 h 米(x0，h0)，则 容积Vx 2h10824 【正确答案】
