1、考研数学（数学二）模拟试卷 372 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)xsinxcosx，下列命题中正确的是（A）f(0)是极大值， 是极小值（B） f(0)是极小值， 是极大值（C） f(0)是极大值， 也是极大值（D）f(0)是极小值， 也是极小值 2 3 4 5 6 已知 1( 1，1，a ，4) T， 2( 2，l，5，a) T， 3(a，2，1) T 是四阶方阵 A的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为( )（A）a5（B） a4（C） a3（D）a3 且 a47 设函数 ，则（A）x0，x1 都是 f(x)的第一类间
2、断点（B） x0，x1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x0 是 f(x)的第一类间断点，x1 是 f(x)的第二类间断点（D）x0 是 f(x)的第二类间断点， x1 是 f(x)的第一类间断点8 设 则 f(x)在点 x0 处 （A）左导数不存在，右导数存在（B）右导数不存在，左导数存在（C）左、右导数都存在（D）左、右导数都不存在二、填空题9 n 阶行列式 _。10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3 满足 A3=2+315 证明 1， 2， 3 线
3、性无关；16 令 P=(1， 2， 3)，求 P-1 AP17 18 19 20 21 设奇函数 f(x)在闭区间 1，1上具有 2 阶导数，且 f(1)1证明(1)存在 (0，1) ，使得 f()1；(2)存在 ( 1，1)，使得 f“()f() 122 (2006 年试题三(17) 设区域 D=(x，y)x 2+y21，x0 ，计算二重积分22 (2003 年试题，九) 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图 161)，容器的底面圆的半径为 2m，根据设计要求，当以3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn 2min 的速率均
4、匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)23 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；24 求曲线 x=(y)的方程(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分)25 考研数学（数学二）模拟试卷 372 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 A7 【正确答案】 D【试题解析】 分析 显然 x0，x1 为间断点，其分类主要考虑左、右极限详解
5、由于函数 f(x)在 x0， x1 点处无定义，因此是间断点且 ，所以 x0 为第二类间断点 ，所以 x1 为第一类间断点，故应选(D) 评注 应特别注意：。【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 a n(1) n1 bn；【知识模块】 行列式10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量15 【正确答案】 由特征值、特征向量定义有：A 1=-1，A 2=2 设k11
6、+22+k33=0， -k 11+22+k3(2+3)=0 1， 2， 3 线性无关；【知识模块】 向量16 【正确答案】 A 1=-1,A2=-2，A 3=2+3A(1， 2， 3)=(-1,2， 2+3)=(1， 2， 3) 所以 P-1 AP=【知识模块】 向量17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 (1)方法一 令 F(x)f(x) x，则 F(1)f(1) 10由 f(x)为奇函数知 f(0)0，因此 F(0) f(0)00，即 F(x)在区间 0，1上满足罗尔定理条件，于是存在点 (0，1)，使得 F()0，即 f()1。
7、 方法二 由 f(x)为奇函数知 f(0)0，且易知 f(x)在区间0，1上满足拉格朗日中值定理条件，因此存在点 (0，1)，使得 (2)令 G(x)e xf(x)1由(1) 知 G()0又已知 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，于是 f()f()1，故 G()0因此G(x)在区间，上满足罗尔定理条件，于是存在点 (，) (1，1)，使 G()0，即 ef()1e .f“()0 因为 e0，所以 f“()f()1【试题解析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理第(2)问中的辅助函数可通过记 g(x)f(x) ，解微分方程 g(x)g(x) 1 并分离常数得到通解 exg(
8、x)1C，因此可作辅助函数 G(x)e xf(x)1 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 依题意，如图 152 所示，D 为右半单位圆，且关于 x 轴对称，所以 所以令 x=rcos，y=rsiin，作极坐标变换则有 D1: ，从而【知识模块】 重积分【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 由题设，设 t 时刻时液面的高度为 y，则此时液面面积 S=(y)2，由已知 =，即得 S=t+S0=t+4 因此 t+4=(y)2，从而 2(y)=4+t(1)此即 t与 (y)之间的关系式；当 t 时刻液面高度为 y 时，容器内液体体积为由已知，y=3t，则 将式(1)代入此式得【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 将式(2)两边对)，求导，得 2(y)=6(y)(y)，即解此方程得 (y)= 由已知 (0)=2，则可推知 C=2，所以曲线x=(y)为【试题解析】 考查了应用定积分求旋转体的体积和微分方程的求解方法【知识模块】 微分方程25 【正确答案】
