1、考研数学（数学二）模拟试卷 383 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则（A）C=p -1AP（B） C=PAP-1（C） C=PTAP（D）C=PAP T2 已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， ，则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不可导（B）可导但 f(x)0（C）取得极大值（D）取得极小值3 4 5 设矩阵 则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是（A）（B）（C）（D）6 7 定
2、积分 取值（A）为正（B）为负（C）为零（D）的符号无法直接判定8 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点二、填空题9 10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 ，A T， B T，其中 T 是 的转置，求解方程 2B2A2 xA 4xB 4x 16 17 18 19 设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(12)=2 ，f y(1,2)=3，f y(
3、1，2)=4，(x)=fx，f(x ，2x)求20 设 f(x)在区间(0，+)上连续，且严格单调增加试求证 F(x)=在区间(0，+)上也严格单调增加21 证明：函数 在全平面上连续22 计算下列积分：23 求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解考研数学（数学二）模拟试卷 383 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小的代换求得 f(x) 由于 x0 时，1-cos1/2x 2，所以令 f(x)=x2，则 f(x)符合原题设条件，而 f(x)在 x=0 处可导 f(
4、0)=0，取极小值则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 可知矩阵 A 的特征值是 3，一 3，0，故秩 r(A)=2，二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1(A)中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；C 中矩阵的特征值为 3，一 3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意对于 D，记其矩阵为 D，由可知 D 的特征值为 1，一 1，0x TAx 与xTDx 的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似( 因为特征值不同)，符合题意，故应选 D注意，(B)中矩阵
5、的特征值为 1，4，0，正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1，与 A 既不合同也不相似，但等价 (因为秩相等)6 【正确答案】 A7 【正确答案】 A【试题解析】 令 x2=t，则 又于是故选 A8 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题9 【正确答案】 a 0【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 (1-cos1)/3【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 -4【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 k(1，2，1) T【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 对第 1 个积分作变量变换，令 则当 0x1 时，由于是当 时，有 当 x1 时，由 1，于是当时，有 f(u)0不论哪种情形，总有 F(x)0(当 r0 且x1)此外易知 F(1)=0所以当 0x+时，F(x)严格单调增加21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】
