1、考研数学（数学二）模拟试卷 390 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把当 x0 时的无穷小量 =In(1+x2)一 In(1 一 x4)， = 02tantdt，=arctanx 一 x 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， ， （C） ， （D）， 2 设 f(x)，g(x) 在点 x=x0 处可导且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x0)0，则（A）x 0 不是 f(x)g(x)的驻点（B） x0 是 f(x)g(x)的驻点，但不是 f(x)g(x)的极值点（C） x0 是 f(x)g(x
2、)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点（D）x 0 是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点3 设 f(x)=0x2et2dt，g(x)在 x=0 连续且满足 g(x)=1+2x+o(x)(x0)又 F(x)=fg(x)，则 F(0)=（A）4e（B） 4（C） 2（D）2e4 曲线 的拐点的个数为（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个5 已知累次积分 其中 a0 为常数，则，可写成（A）（B）（C）（D）6 设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=F(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F xx
3、(x0，y 0)0由方程 F(x， y)=0 在 x0 的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x0)=y0，则（A）y(x)以 x=x0 为极大值点（B） y(x)以 x=x0 为极小值点（C） y(x)在 x=x0 不取极值（D）(x 0，y(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点7 设 A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，一 1，一 2，则下列矩阵中可逆的是（A）A+E（B） AE（C） A+2E（D）2A+E8 已知向量组 1,2,3 和 1， 2， 3， 4 都是 4 维实向量，其中 1,2,3 线性无关，每个 i 都是与 1,2,3 都正交的非零向量则 r(1，
4、2， 3， 4)=（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 设 y=f(x)在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线 y=f(x)在点 P(1，1)处的曲率圆方程为 x2+y2=2，则 f(1)=_10 设 f(x)=arcsin(1-x)，且 f(0)=0，则 01f(x)dx=_11 设有摆线 x=(t)=tsint，y=(t)=1 一 cost(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积 S=_12 设 u=u(x，y)满足 则 u(x，y)=_13 已知当 x0 与 y0 时 则函数 f(x，y)在点(x，y)=(1，1) 处的全微分 df (1,1)=_14
5、 已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则(A *)*的最大特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 (I)求及 f(1)；() 若又设 f(1)存在，求 f(1)16 (I)设 f(x)=4x3+3x26x 求 f(x)的极值点； ()设有 x=0ye-t2dt，它的反函数是y=y(x)，求 y=y(x)的拐点17 求证：18 求 f(x，y， z)=2x+2y 一 z2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值19 计算二重积分 其中 D=(x，y)x 2+y2a2，常数a020 设有一容
6、器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 V 点(0，0， z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径的圆面若以每秒 v0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的(I)写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积y=y(t)之间的关系式，并求出水面高度 z 与时间 t 的函数关系；()求水表面上升速度最大时的水面高度；()求灌满容器所需时间21 (I)设 f(x)在(0，+)可导， f(x)0(x (0，+) ，求证 f(x)在(0，+)单调上升( )求证： 在(0，+)单调上升，其中 n 为正数
7、()设数列22 设 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，齐次方程组 Ax=0 的通解为c(1， 0，一 3，2) T，证明 2， 3， 4 是 A*x=0 的基础解系23 已知 判断 A 与 B 是否相似?要说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 390 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 我们分别确定当 x0 时，、 、 分别是 x 的几阶无穷小当 x0时 =ln(1+x2) 一 ln(1 一 x4) x 2，因为 ln(1+x2)一 x2ln(1 一 x4)一 x4=o(x2)这表明当 x0 时，
8、 是关于 x 的 2 阶无穷小量， 是关于 x 的 4 阶无穷小量，而 是关于 x 的 3 阶无穷小量按题目的要求，它们应排成 ，； 的次序故应选C2 【正确答案】 D【试题解析】 由于f(x)g(x) x=x0=f(x0)g(x0)+f(x0)g(x0)=0，因此 x=x0 是 f(x)g(x)的驻点，进一步考察是否是它的极值点x(x0，x 0)时 f(x)0(0) ，g(x)0(0)x(x 0，x 0+)，xx 0 时 f(x)g(x)0=f(x 0)g(x0)x=x 0 是 f(x)g(x)的极大值点因此选 D3 【正确答案】 A【试题解析】 故应选A4 【正确答案】 D【试题解析】 5
9、 【正确答案】 C【试题解析】 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题.先将 I 表成 由 D 的极坐标表示6 【正确答案】 B【试题解析】 按隐函数求导法，y(x)满足 令 x=x0，相应地 y=y0由 Fx(x，y)=0，F y(x0，y 0)0 得 y(x0)=0将上式再对 x 求导并注意 y=y(x)即得再令 x=x0，相应地 y=y0 得因此 x=x0 是 y=y(x)的极小值点故选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质： 是 A 的特征值 不可逆由 1，一 1，一 2 都是特征值，得到 A 一 E，A+E，A+2E 都不可逆而一 12 不是特
10、征值，A+(12)E可逆，因此 2A+E=2A+(12)E可逆8 【正确答案】 A【试题解析】 构造矩阵 A=(1,2,3)，则 都是与 1,2,3 正交说明 i 都是 4 元方程组 ATx=0 的解.再由 1,2,3 线性无关，得 r(AT)=r(A)=3，于是 ATx=0 的解集合的秩为 1，从而 r(1， 2， 3， 4)=1二、填空题9 【正确答案】 一 2【试题解析】 y=f(x) 在点 P 处的切线与 OP 垂直，OP 斜率为 1f(1)=一 1点 P处 y=f(x)的曲率半径为 ，故曲线 y=f(x)在点 P 处的曲率为 ，于是按曲率计算公式 由于曲率中心在曲线y=f(x)凹的一
11、侧 f(1) 0(y=f(x)在(1，1)邻域是凸的 )因此 f(1)=一 210 【正确答案】 【试题解析】 已知 f(x)=aresin(x 一 1)，求 I=02f(x)dx，我们不必先求出 f(x)，而是把求，转化为求与 f(x)有关的定积分，就要用分部积分法或把，再积分利用分部积分法可得11 【正确答案】 【试题解析】 由旋转面面积公式得12 【正确答案】 ，c(y)为 y 的任意函数【试题解析】 偏导数实质上是一元函数函数的导数当 y 任意给定时就是一阶线性常微分方程13 【正确答案】 【试题解析】 由于令 x=1，y=1 就有14 【正确答案】 18【试题解析】 A=123=6，
12、于是 A 的特征值为 6，3，2，A *=36 则(A *)*的特征值为 6，12，1 8，最大的是 18三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 (I)先求 f(x)=12x2+6x 一 6=6(2x 一 1)(x+1)由()由变限积分求导法得，又由反函数求导法得 ，再由复合函数求导法得17 【正确答案】 把证明数列不等式转化为证明函数不等式，可以用微分学方法为此引入18 【正确答案】 f(x，y，z) 在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值第一步，先求 f(x，y，z) 在 内的驻点由 在 内无驻点，因此f(x，y，z)在 的最大、最小值
13、都只能在 的边界上达到第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x2+y2+z22=0下的最大、最小值令 F(x，y，z，)=2x+2y z2+5+A(x2+y2+z22)，解方程组由，x=y=y，由 z=0 或 A=1由 x=y，z=0 代入 x=y=1，z=0当=1 时由，也得 x=y=一 1，z=0因此得驻点 P1(一 1，一 1，0)与P2(1，1，0)计算得知 f(P1)=1，f(P 2)=9因此，f(x，y，z)在 的最大值为 9，最小值为 119 【正确答案】 20 【正确答案】 (I)由截面已知的立体体积公式可
14、得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积 V(t)之间的关系是 其中 S(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)=z2+(1 一 z)2 将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得两边积分并注意 z(0)=0，得(若未解答题(I)，可对题(I)告知要证的结论即(*，*)式两边对 t 求导得因此，求 364 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1 一 z)2 在0， 1上的最小值点由()归结求容器的体积，即 因此灌满容器所需时间为或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，是在(*)中令z=1 得21 【正确答案】 (I)
15、对 V0x 1x 2+ ，在x 1，x 2上可用拉格朗日中值定理得，22 【正确答案】 Ax=0 的通解为 c(1，0，一 3，2 T 表明了：4 一 r(A)=1，即 r(A)=3，于是 r(A*)=1，A *x=0 的基础解系应该由 3 个线性无关的解构成 1 一33+24=0r(A)=3，则A=0，得 A*A=0于是 1,2,3,4 都是 A*x=0 的解因为 133+24=0，所以 1 可以用 3， 4 线性表示于是 r(2， 3， 4)=r(1,2,3,4)=r(A)=3， 2， 3， 4 是 A*x=0 的 3 个线性无关的解，构成 A*x=0 的基础解系23 【正确答案】 关于两个矩阵相似的有关性质是：相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手A 的特征值为一 1，一 1，3B 的特征值也是一 1，一 1，3再看它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值一 1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看 r(A+E)和 r(B+E)是否为 1r(A+E)=1，因此 A 有属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 r(B+E)=2，因此 B 没有两个属于特征值一 1 的线性无关的特征向量，B 不相似于对角矩阵由相似关系的传递性，A 与 B 不相似
