1、考研数学（数学二）模拟试卷 391 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内存在二阶导数，且 =a0则存在点(x 0，f(x 0)的左、右邻域 U-与 U+使得 ( )（A）曲线 y=f(x)在 U-内是凹的，在 U+内是凸的（B）曲线 y=f(x)在 U-内是凸的，在 U+内是凹的（C）曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凹的（D）曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凸的2 设 f(x)为连续函数，F(y)= f(x)dx，则 F(y)dy= ( )（A） (1x) 2f(x)dx（B） f(x)dx（C） f
2、(x)dx（D） f(x)dx3 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内有定义，则“ f(x)存在且等于 A”是“f(x 0)存在且等于A”的 ( )（A）充分条件非必要条件（B）必要条件非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件4 设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（A）设存在 X0，在区间(X，+) 内 f(x)有界，则 f(x)在(X ，+)内亦必有界（B）设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界（C）设存在 0，在(0 ，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界（D）设存在 0，在(0，) 内 f(x
3、)有界，则 f(x)在 (0，) 内亦必有界5 设平面区域 D=(x，y) (x1) 2+(y1) 22，I 1= (x+y)d，I 2= ln(1+x+y)d则正确的是 ( )（A）8I 1I 2（B） I18I 2（C） I1I 28（D）I 28I 16 微分方程 y2y+y=e x 的特解形式为 ( )（A）y *=Aex(A0)（B） y*=(A+Bx)ex(B0)（C） y*=(A+Bx+Cx2)ex(C0)（D）y *=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D0)7 设 f(x1，x 2， x3)= 4x 1x2+4x1x38x 2x3，则 f(x1，x 2，x 3)的规范形是 (
4、)（A）（B）（C）（D）8 设 A= 是 3 阶可逆矩阵，B 是 3 阶矩阵，满足 BA=，则 B 有特征值 ( )（A）1，1，4（B） 1，1，4（C） 1，2，2（D）1，2，2二、填空题9 =_10 椭圆 =1 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面 S 的面积=_11 dx=_12 在区间0 ，1 上函数 f(x)=nx(1x) n 的最大值记为 M(n)，则 M(n)=_13 设函数 f 与 g 可微，x=fxy，g(xy)+lnx，则 =_14 设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)= 2ax 3x4+ (a1) 2 的规范形为 ，则参数 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤。15 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成的两块区域，计算 ex2+sin(x+y)d16 已知 z=f 在 x0 时有二阶连续导数，且满足 =0求 z 的表达式17 设 f(x)在区间(0，+)上连续，且严格单调增加试求证：F(x)=在区间(0，+)上也严格单调增加18 设平面区域 D 用极坐标表示为 D=(r ，)sin求二重积分 d19 已知摆线的参数方程为 其中 0t2，常数 a0设该摆线一拱的弧长的数值等于该弧段绕 x 轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值求 a 的值20 设三角形三边的长分别为 a、b、c ，此三角形的面积为 S求此三角形内的点到三边距
6、离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离21 设 f(x，y)= 证明： ()f(x ，y)在点(0，0)处的两个偏导数 (0，0)与 (0，0)都存在，函数 f(x，y)在点(0，0)处也连续；()f(x，y)在点(0，0)处不可微22 设方程组 有通解k11+k22=k1(1，2，1，1) T+k2(0，1，3，2) T方程组有通解11+22=1(2，1，6 ，1) T+2(1，2，4，a+8) T已知方程组有非零解，试确定参数 a 的值，并求该非零解23 设 A 是 3 阶矩阵，满足 A 1= 1，A 2=1+22，A 3=1+32+3， 其中1=(0， 1，1) T， 2=(1，0，1)
7、 T， 3=(1，1，0) T 证明：A 相似于对角矩阵 A，求A，并求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=A考研数学（数学二）模拟试卷 391 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件推知存在 x=x0 的去心邻域0，于是知，当 x (x0)且 xx 0 时，f(x) 0，曲线是凸的；当 x (x0)且 xx 0 时，f(x)0，曲线是凹的，故应选 (B)2 【正确答案】 B【试题解析】 交换积分次序，3 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x)= f(x)=0但因 f(x)在x=0 处不连续，f(0)不存在所以 “
8、f(x)存在”不是“f(x 0)存在”的充分条件设f(x)= =0(存在)但当 x0 时，f(x)=2xsinf(x)不存在所以“ f(x)存在”也不是“f(x 0)存在”的必要条件4 【正确答案】 C【试题解析】 对于区间(0，) 内任意的 x，再另取一固定的 x1，有 f(x)f(x 1)=f()(xx 1)， f(x)=f(x 1)+f()(xx 1)， f(x)f(x 1)+Mxx 1f(x 1)+M， 所以 f(x)在(0，)内必有界，其中 M 为f(x) 在(0，) 内的一个上界5 【正确答案】 A【试题解析】 区域 D 如下图所示， 由于 D 的面积为( )2=2，从而可将 8
9、化成 8= 4d由于当(x ，y)D 时，4x+yln(1+x+y)0，仅在原点处等号成立，所以 ln(1+x+y)d6 【正确答案】 C【试题解析】 因为方程右边 ex 指数上的 1 是二重特征根，故特解形式为y*=Ax2ex(A0)，即(C) 中 C0 的形式故应选(C)7 【正确答案】 D【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)= 4x 1x2+4x1x38x 2x3 =(x12x 2+2x3)2，令得 f 的规范形为 f= 8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件得A 是可逆矩阵，故有 A1 BA= C相似矩阵有相同的特征值，故 C 和 B 有相同的特征值因为EC= =(1)(2
10、)(+2)，故 B 有特征值为 1=1， 2=2， 3=2，故应选 (C)或由 BA=A=AC，两边取行列式，得BA= AC，B= C=4= i，故应选(C) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 6+ 2【试题解析】 (*)处 x2时，被积函数极限存在，所以积分存在，可约分11 【正确答案】 ln2【试题解析】 用分部积分法，12 【正确答案】 e 1【试题解析】 f(x)=nx(1x) n，f(x)=n(1x) nn 2x(1x) n1 =n(1x)n 1(1xnx)令 f(x)=0，得 x= ，x 2=1由于 f(0)=f(1)=0， f(x)0(x (0，1)
11、在区间(0，1)内求得唯一驻点 x1= ，所以 f(x1)为最大值所以13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 f 是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为 2，负惯性指数为1，且有一项为零故知其有特征值 =0，故该二次型的对应矩阵 A有A=0因三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 画出区域 D，如图所示第一象限中的一块记为 D1，第三象限中的一块记为 D2而同理cos(x+x3)dx=0，所以原式=e216 【正确答案】 由 z=f( )，有所以 原方程化为 (1+u 2)f+2uf=0，其中 u= ，f 中的变量为u，解上述方程，得
12、 ，解得 f=C1arctanu+C2即 z=f( )=C1arctan +C2，x0，其中 C1，C 2 为任意常数17 【正确答案】 对第 1 个积分作变量代换，令 =u，t=ux则当 0x1 时，1，于是当 1u f(u)0；当 x1 时，0 1，于是当f(u)0不论哪种情形，总有 F(x)0(当 x0 且x1)此外易知 F(1)=0所以当 0x+ 时，F(x)严格单调增加18 【正确答案】 D 如图阴影部分，为清楚起见， 4 个圆只画出有关的 4 个半圆D 关于直线 y=x 对称，被积函数也关于 y=x 对称交点A、B、C 的直角坐标分别为 换算成极坐标分别为19 【正确答案】 摆线一
13、拱弧长摆线一拱绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面的面积为 由题意得，a2=8a，所以 a= 20 【正确答案】 设 P 为三角形内的任意一点，该点到边长分别为 a、b、c 的边的距离分别为 x、y、z 由三角形的面积公式有 cz=S求 f=xyz 在约束条件 ax+by+cz2S=0 下的最大值，令 W=xyz+(ax+by+cz2S) ，由拉格朗日乘数法， 解得唯一驻点为x= 显然，当 P 位于三角形的边界上时， f=0，为最小值；当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值，由于驻点唯一，故当 x= 时，f 最大，21 【正确答案】 (I)按偏导数定义， 同理(0，0)都存在；f(x，y)=0=
14、f(0，0) ，f(x，y)在(0，0)连续 ()f=f(0+x，0+ y)f(0，0)= f(x，y) 在点(0，0)可微的充要条件是 取y=k(x)，令 x0， 极限值随 k 而异故不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处不可微22 【正确答案】 方程组(*)有非零解，即方程组(*)、方程组(*)有非零公共解，设为 ，则 属于方程组 (*)的通解，也属于方程组(*)的通解，即=k11+k22=11+22，其中 k1，k 2 不全为零，且 1， 2 不全为零得 k11+k22 11 22=0， (*)(*)式有非零解 r(1， 2， 1， 2)4对(1， 2， 1， 2)作初等行变换，(
15、1， 2， 1， 2)=r(1， 2， 1， 2)4 a=8故当 a=8 时，方程组(*) 有非零解当 a=8 时，方程组(*)的系数矩阵经初等行变换化为( 1， 2， 1， 2) 方程组(*)有解(k 1， k2， 1， 2)=k(1，1，1，1)故方程组(*)，(*)的公共解为其中 k 是任意常数23 【正确答案】 由题设条件，合并得 A(1， 2， 3)=( 1， 1+22， 1+32+3)=(1， 2， 3) QB，其中 Q=(1， 2， 3)，Q= =20，Q 可逆，B= 则有 AQ=QB，Q 1 AQ=B，即AB，所以 A 和 B 有相同的特征值EA =EB = =(+1)(2)(1)，故 A，B 有特征值 1=1， 2=2， 3=1， 1， 2， 3 互不相同知 AA= 当 1=1时，( 1EB)X=0， ，解得 1=(1，0，0) T当 2=2 时，(2E B)X=0， ，解得 2=(1，3，0) T当 3=1 时，(3E B)X=0，
