1、考研数学（数学二）模拟试卷 392 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）连续，但 f(0)不存在（B） f(0)存在，但 f(z)在 x=0 处不连续（C） f(x)在 x=0 处连续，但 f(0)不存在（D）f(0)存在2 设 f(x)在a ，b上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足 f(x)+f(x)24f(x)=0则在区间(a，b)内 f(x) ( )（A）存在正的极大值，不存在负的极小值（B）存在负的极小值，不存在正的极大值（C）既有正的极大值，又有负的极小值（D）恒等于零3 设
2、f(x)在 x=a 处可导，则f(x)在 x=a 处不可导的充分必要条件是 ( )（A）f(a)=0，f(a)=0（B） f(a)=0，f(a)0（C） f(a)0，f(a)=0 （D）f(a)0，f(a)04 f(x)= dt 在区间( ，+)内零点的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）无穷多5 考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质： f(x)在a ，b上连续；f(x)在a ，b 上可积；f(x) 在 a，b 上可导； f(x)在a，b 上存在原函数以 P Q 表示由性质 P可推出性质 Q，则有 ( )（A） （B） （C） （D） 6 设当 x0 时，f(x)连续且严格单调递
3、增，F(x)= (2tx)f(t)dt ，则 F(x)在 x0 时 ( )（A）没有驻点（B）有唯一驻点且为极大值点（C）有唯一驻点且为极小值点（D）有唯一驻点但不是极值点7 设 A=(1， 2， n)经过若干次初等行变换得 B=(1， 2， n)，b=(b1，b 2，b n)T0 则 Ax=0 和 Bx=0 同解； Ax=b 和 Bx=b 同解； A， B 中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性； A ，B 中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性 其中正确的是 ( )（A），（B） ，（C） ，（D），8 设 A 是 45 矩阵， 1=(1，1，1，0，0) T， 2=(1，3，1，
4、2，0)T， 3=(2，1，2，3，0) T， 4=(1，0，1，1，2) T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，且 Ax=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4 线性表出，若 k1，k 2，k 3，k 4 是任意常数，则 Ax=0 的通解是 ( )（A）k 11+k22+k33+k44（B） k11+k22+k33（C） k22+k33（D）k 11+k33+k44二、填空题9 微分方程 xyy=x 的通解是 _10 曲线 y= x 2 在点(0， )处的曲率半径为_11 设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 f(x)= f(xt)dt+ f2(t)dt，则 f(x)=
5、_12 =_13 设平面区域 D(t)=x， y)0xy，0ty1 ， f(t)= d则 f(t)=_14 设 A= ，其中 abc=6，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*有非零特征值_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设函数 f(x)在区间(0， +)上可导，且 f(x)0， F(x)= du求 F(x)的单调区间，并求曲线 y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标17 设常数 a 0，积分 I1= dx，试比较 I1 与 I2 的大小，要求写明推导过程18 设 b 为常数(I)求曲线 L：y= 的斜渐近线(记为 l)的方程；()设 L与 l 从 x=1 延伸到
6、x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值19 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x2y，x+3y)满足求 z=z(u，v)所满足的方程，并求 z(u，v)的一般表达式20 设 D=(x， y)0x ，0y ，计算二重积分 sin(maxx2，y 2)d21 求 yy=e x 满足初始条件 y(1)=0，y(1)=0 的特解22 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的 3 个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1， 2， 3，令 =1+2+3 () 证明： 不是 A 的特征向量； ()证明：向量组 ，A，A 2 线性无关23 设 f(x1，x 2，
7、x n)=XTAX 是正定二次型证明： ()二次型平方项的系数均大于零； () A0； 举例说明上述条件均不是 f(x1，x 2，x n)正定的充分条件考研数学（数学二）模拟试卷 392 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故(A)不正确当 x0 时，f(x)=e xln(1+x)1=e xln(1+x)ln(1+x)+ ， f(x)=0=f(0)，故(B)不正确 故应选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 设存在 x0(a，b)，f(x 0)0 且为 f(x)的极大值，于是 f(x0)=0代入所给方程得 f(x0)=4f
8、(x0) 0，则 f(x0)为极小值，矛盾进一步可知不存在c(a，b)，使 f(c)0因若不然，由于 f(a)=f(b)=0，推知在(a，b) 内 f(x)存在正的最大值，同时也是极大值与已证矛盾 类似地可证 f(x)在(a，b) 内取不到负值 于是只能选(D) 当然，f(x)0 是满足所给方程的3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，则存在 x=a 的某邻域 U(a)，在该邻域内 f(x)与 f(a)同号于是推知，若 f(a)0，则f(x) =f(x)(当 xU(a)；若 f(a)0，则f(x)= f(x)总之，若 f(a)0，f(x)在 x=a 处总可导若 f(a)=0，则从而知
9、其中 xa +时取“+” ，xa 时取“”，所以 f(a)=0 时，f(x)在 x=a 处可导的充要条件为f(a)=0，即 f(a)=0所以当且仅当 f(a)=0，f(a)0 时，f(x)在 x=a 处不可导，选(B) 4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为偶函数，f(0) 0，f 0，所以在区间(0， )内 f(x)至少有 1 个零点，当 x0 时，f(x)=2x +ecos2x sinx =2x 2xe cos2x +2xecos2x +ecos2x sinx =2x( e cos2x )+ecos2x (2x+sinx)0，所以在区间(0，+) 内 f(x)至多有 1 个零点，故在
10、区间(0，+)内 f(x)有且仅有1 个零点，所以在区间(，+)内 f(x)有且仅有 2 个零点5 【正确答案】 B【试题解析】 因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确(A)是不正确的虽然由(连续)可推出(可积)，但由 (可积 )推不出(可导)例如 f(x)=x在 1，1上可积，且 xdx=1，但x在 x=0 处不可导? (C)是不正确的由 (可积)推不出(存在原函数)，例如 f(x)= 在1， 1上可积，且 =1+1=0 ，但f(x)在1，1上不存在原函数因为如果存在原函数 F(x)，那么只能是 F(x)=x +C 的形式，而此函数在 x=0 处不可导，在区间1，1上它没有做原函数
11、的“资格”(D) 是不正确的因为由 (存在原函数)推不出(函数连续)反例如下： 它存在原函数 可以验证F(x)=f(x)，但 f(x)在 x=0 处并不连续，即存在原函数可以不连续6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)= (2tx)f(t)dt=2 tf(t)dtx f(t)dt，F(x)=2xf(x)xf(x) f(t)dt=xf(x) f(t)dt = f(x)f(t)dt 由于 f(x)严格单调增加，可知当t(0，x) 时，f(x) f(t) ，故当 x0 时，F(x)= f(x)f(t)dt0，也即 F(x)在 x0时没有驻点故应选(A) 7 【正确答案】 C【试题解析】 A 经过
12、初等行变换后得 B，方程组 Ax=0 和 Bx=0 中只是方程改变倍数、两方程互换，或某方程的 k 倍加到另一方程上，它们不改变方程组的解，故成立A， B 中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组，故列向量组有相同的线性相关性，故成立而 中由于 b 没有参与行变换，故 不成立行变换后，A，B 中对应的部分行向量会改变线性相关性如故也不成立8 【正确答案】 D【试题解析】 Ax=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4 线性表出，则必可由1， 2， 3， 4 的极大线性无关组表出，且 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组即是Ax=0 的基础解系因( 1， 2， 3， 4)= 故知1，
13、3， 4 线性无关，是极大线性无关组，是 Ax=0 的基础解系，(D) 是 Ax=0 的通解，故应选(D) 二、填空题9 【正确答案】 y= ln x+C 1x2+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 此为可降阶的 y=f(x，y)型令 y=p，y=p，有 xpp=xp=dx+C0)=xlnx +C0x，y=(xln x+C 0x)dx=x2+C2= lnx+C 1x2+C210 【正确答案】 【试题解析】 曲率半径=11 【正确答案】 ex【试题解析】 f(x)= f2(t)dt = f2(u)du令 f2(t)dt=a，于是 f(x)= f(u)du+a，f(x)=f(x)，f
14、(0)=a，所以 f(x)=Cex，由 f(0)=a 得 f(x)=aex于是 a= (e21)解得 a=0(舍去)，a= ex12 【正确答案】 e【试题解析】 由(1+ ，则所以应填e13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 11【试题解析】 因 ab=c6，故A= =6+abc=0，r(A)3又 A11=60，故 r(A)=2，r(A *)=1故 A*有特征值 1=2=0， 3=Aii=A11+A12+A33=6+3+2=11三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先由 得所以原式为“ ”型再由式(*) ，用等价无穷小替换，得16 【正确答案】
15、由 F(x)=x du，则=du当 0x1 时， u1，从而 f( )f(u) ，F(x)= f(u)du0；当 1x+时，0 u1，从而 f( )f(u)，F(x)= du0又在 x=1 处 F(x)连续，所以 F(x)在区间(0，+)上严格单调增加 所以F(1)=0，且当 0x1 时，F(x) 0，曲线 y=F(x)是凸的；当 x1 时，F(x)0，曲线 y=F(x)是凹的所以点 (1，0)为曲线 y=F(x)上的唯一拐点，且凸区间为(0，1)，凹区间为 (1，+)17 【正确答案】 当0x ，且 cosxsinx于是知I1I 2，即18 【正确答案】 (I) 所以斜渐近线方程为 y=2x
16、4 ()面积 A=h(x)dx显然 h(x)在(1， +)上无奇点，又 b 为常数，则当 x 足够大时，h(x)恒为正或恒为负故 A与 I= h(x)dx 的敛散性相同I= dx = (2b+15)ln(x+2)+lnx = lnt(t+2)2b+15(2b+15)ln3若 2b+15+10，即 b8，无论 b8还是 b8，均有 lnt(t+2)2b+15=，I 枯散即 A 的值为，与 A 为有限值矛盾当 b=8 时， lnt(t+2)2b+15= =0，此时面积 A= ln319 【正确答案】 z=z(x2y，x+3y)， 代入原方程，得以下求 z 的一般表达式将上式写成 ，两边对 u 积分
17、，v 看成常数，得 z+1(u)，其中 1(v)为 v 的具有连续导数的任意函数再将上式看成 z 对 v 的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得 Z=由于 1(v)的任意性，记 (v)=1(u)dv，它表示为 v 的具有二阶连续导数的任意函数，(u)为 u 的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到 z=z(u，v)的一般表达式为 z=z(u，v)=(v)+(u)20 【正确答案】 D 是一块矩形域，如图所示21 【正确答案】 原方程化成两个微分方程 分别得到y=C1ex+C2ex + xex，x0 ，y=C 3ex+C4ex xe x，x0由 y(1)=0，y(1)=0，从第一个
18、表达式求得 C1= ，y= xex，x0又因为在 x=0处，y(x)及 y(x)连续，所以 解得 C3= ,所以 y= xex ，x0故满足初始条件的特解为22 【正确答案】 (I)已知 A=A(1+2+3)=11+22+33若 是 A 的特征向量，假设对应的特征值为 ，则有 A=(1+2+3)=11+22+33， 从而得( 1)1+( 2)2+( 3)3=0 1， 2， 3 是不同特征值对应的特征向量，由定理知1， 2， 3 线性无关，从而得 1=2=3=，这和 1， 2， 3 互不相同矛盾故=1+2+3 不是 A 的特征向量 ()用线性无关的定义证 假设存在数k1，k 2，k 3 使得 k
19、 1+k2A+k3A2=0 由 =1+2+3 及 Ai=ii，i=1 ，2，3，代入得 k1(1+2+3)+k2(11+22+33)+k3( )=0， 整理得 (k 1+k21+k3 )1+(k1+k22+k3 )2+(k1+k23+k3 )3=0 因 1， 2， 3 线性无关，上式成立当且仅当 又 i(i=1，2，3) 互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式=(3 2)(3 1)(2 1)0，故方程组(*)仅有零解，即 k1=k2=k3=0，所以 ，A，A 2 线性无关23 【正确答案】 (I)利用厂正定的定义证：f 正定，由定义，任给 X0，均有f=XTAX0取 X=(1，0 ，0) T0 则 XTAX=(1，0，0)=a110同理，取 X=(0，1，0)T0，X TAX=aii0，i=1，2，n得证 f 的平方项的系数均大于零()用 f 正定的充要条件证：f=X TAX 正定 存在可逆矩阵 C，使得 CTAC=EA=(C T)1 C1A= C 1 20或用反证法：若A0，则A = 12 n0，必有i0设 i 对应的特征向量为 i，则有 Ai=ii，左乘 ，得i0， i0)这和 f 是正定二次型矛盾，故A 0上述条件均不是 f 正定的充分条件，例 f= =(x1+x2)2，有 a11=a22=10，但 f(1，1)=0，f 不正定f= =10，显然 f 不正定
