[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷392及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学二)模拟试卷 392 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处 ( )(A)连续,但 f(0)不存在(B) f(0)存在,但 f(z)在 x=0 处不连续(C) f(x)在 x=0 处连续,但 f(0)不存在(D)f(0)存在2 设 f(x)在a ,b上存在二阶导数,f(a)=f(b)=0,并满足 f(x)+f(x)24f(x)=0则在区间(a,b)内 f(x) ( )(A)存在正的极大值,不存在负的极小值(B)存在负的极小值,不存在正的极大值(C)既有正的极大值,又有负的极小值(D)恒等于零3 设

2、f(x)在 x=a 处可导,则f(x)在 x=a 处不可导的充分必要条件是 ( )(A)f(a)=0,f(a)=0(B) f(a)=0,f(a)0(C) f(a)0,f(a)=0 (D)f(a)0,f(a)04 f(x)= dt 在区间( ,+)内零点的个数为( )(A)0(B) 1(C) 2(D)无穷多5 考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质: f(x)在a ,b上连续;f(x)在a ,b 上可积;f(x) 在 a,b 上可导; f(x)在a,b 上存在原函数以 P Q 表示由性质 P可推出性质 Q,则有 ( )(A) (B) (C) (D) 6 设当 x0 时,f(x)连续且严格单调递

3、增,F(x)= (2tx)f(t)dt ,则 F(x)在 x0 时 ( )(A)没有驻点(B)有唯一驻点且为极大值点(C)有唯一驻点且为极小值点(D)有唯一驻点但不是极值点7 设 A=(1, 2, n)经过若干次初等行变换得 B=(1, 2, n),b=(b1,b 2,b n)T0 则 Ax=0 和 Bx=0 同解; Ax=b 和 Bx=b 同解; A, B 中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性; A ,B 中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性 其中正确的是 ( )(A),(B) ,(C) ,(D),8 设 A 是 45 矩阵, 1=(1,1,1,0,0) T, 2=(1,3,1,

4、2,0)T, 3=(2,1,2,3,0) T, 4=(1,0,1,1,2) T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解,且 Ax=0 的任一解向量均可由 1, 2, 3, 4 线性表出,若 k1,k 2,k 3,k 4 是任意常数,则 Ax=0 的通解是 ( )(A)k 11+k22+k33+k44(B) k11+k22+k33(C) k22+k33(D)k 11+k33+k44二、填空题9 微分方程 xyy=x 的通解是 _10 曲线 y= x 2 在点(0, )处的曲率半径为_11 设 f(x)连续且 f(x)0,又设 f(x)满足 f(x)= f(xt)dt+ f2(t)dt,则 f(x)=

5、_12 =_13 设平面区域 D(t)=x, y)0xy,0ty1 , f(t)= d则 f(t)=_14 设 A= ,其中 abc=6,A *是 A 的伴随矩阵,则 A*有非零特征值_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设函数 f(x)在区间(0, +)上可导,且 f(x)0, F(x)= du求 F(x)的单调区间,并求曲线 y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标17 设常数 a 0,积分 I1= dx,试比较 I1 与 I2 的大小,要求写明推导过程18 设 b 为常数(I)求曲线 L:y= 的斜渐近线(记为 l)的方程;()设 L与 l 从 x=1 延伸到

6、x+之间的图形的面积 A 为有限值,求 b 及 A 的值19 设 z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x2y,x+3y)满足求 z=z(u,v)所满足的方程,并求 z(u,v)的一般表达式20 设 D=(x, y)0x ,0y ,计算二重积分 sin(maxx2,y 2)d21 求 yy=e x 满足初始条件 y(1)=0,y(1)=0 的特解22 设 A 是 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是 A 的 3 个不同的特征值,对应的特征向量分别是 1, 2, 3,令 =1+2+3 () 证明: 不是 A 的特征向量; ()证明:向量组 ,A,A 2 线性无关23 设 f(x1,x 2,

7、x n)=XTAX 是正定二次型证明: ()二次型平方项的系数均大于零; () A0; 举例说明上述条件均不是 f(x1,x 2,x n)正定的充分条件考研数学(数学二)模拟试卷 392 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故(A)不正确当 x0 时,f(x)=e xln(1+x)1=e xln(1+x)ln(1+x)+ , f(x)=0=f(0),故(B)不正确 故应选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 设存在 x0(a,b),f(x 0)0 且为 f(x)的极大值,于是 f(x0)=0代入所给方程得 f(x0)=4f

8、(x0) 0,则 f(x0)为极小值,矛盾进一步可知不存在c(a,b),使 f(c)0因若不然,由于 f(a)=f(b)=0,推知在(a,b) 内 f(x)存在正的最大值,同时也是极大值与已证矛盾 类似地可证 f(x)在(a,b) 内取不到负值 于是只能选(D) 当然,f(x)0 是满足所给方程的3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0,则存在 x=a 的某邻域 U(a),在该邻域内 f(x)与 f(a)同号于是推知,若 f(a)0,则f(x) =f(x)(当 xU(a);若 f(a)0,则f(x)= f(x)总之,若 f(a)0,f(x)在 x=a 处总可导若 f(a)=0,则从而知

9、其中 xa +时取“+” ,xa 时取“”,所以 f(a)=0 时,f(x)在 x=a 处可导的充要条件为f(a)=0,即 f(a)=0所以当且仅当 f(a)=0,f(a)0 时,f(x)在 x=a 处不可导,选(B) 4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为偶函数,f(0) 0,f 0,所以在区间(0, )内 f(x)至少有 1 个零点,当 x0 时,f(x)=2x +ecos2x sinx =2x 2xe cos2x +2xecos2x +ecos2x sinx =2x( e cos2x )+ecos2x (2x+sinx)0,所以在区间(0,+) 内 f(x)至多有 1 个零点,故在

10、区间(0,+)内 f(x)有且仅有1 个零点,所以在区间(,+)内 f(x)有且仅有 2 个零点5 【正确答案】 B【试题解析】 因可导必连续,连续函数必存在原函数,故(B)正确(A)是不正确的虽然由(连续)可推出(可积),但由 (可积 )推不出(可导)例如 f(x)=x在 1,1上可积,且 xdx=1,但x在 x=0 处不可导? (C)是不正确的由 (可积)推不出(存在原函数),例如 f(x)= 在1, 1上可积,且 =1+1=0 ,但f(x)在1,1上不存在原函数因为如果存在原函数 F(x),那么只能是 F(x)=x +C 的形式,而此函数在 x=0 处不可导,在区间1,1上它没有做原函数

11、的“资格”(D) 是不正确的因为由 (存在原函数)推不出(函数连续)反例如下: 它存在原函数 可以验证F(x)=f(x),但 f(x)在 x=0 处并不连续,即存在原函数可以不连续6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)= (2tx)f(t)dt=2 tf(t)dtx f(t)dt,F(x)=2xf(x)xf(x) f(t)dt=xf(x) f(t)dt = f(x)f(t)dt 由于 f(x)严格单调增加,可知当t(0,x) 时,f(x) f(t) ,故当 x0 时,F(x)= f(x)f(t)dt0,也即 F(x)在 x0时没有驻点故应选(A) 7 【正确答案】 C【试题解析】 A 经过

12、初等行变换后得 B,方程组 Ax=0 和 Bx=0 中只是方程改变倍数、两方程互换,或某方程的 k 倍加到另一方程上,它们不改变方程组的解,故成立A, B 中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组,故列向量组有相同的线性相关性,故成立而 中由于 b 没有参与行变换,故 不成立行变换后,A,B 中对应的部分行向量会改变线性相关性如故也不成立8 【正确答案】 D【试题解析】 Ax=0 的任一解向量均可由 1, 2, 3, 4 线性表出,则必可由1, 2, 3, 4 的极大线性无关组表出,且 1, 2, 3, 4 的极大线性无关组即是Ax=0 的基础解系因( 1, 2, 3, 4)= 故知1,

13、3, 4 线性无关,是极大线性无关组,是 Ax=0 的基础解系,(D) 是 Ax=0 的通解,故应选(D) 二、填空题9 【正确答案】 y= ln x+C 1x2+C2,其中 C1,C 2 为任意常数【试题解析】 此为可降阶的 y=f(x,y)型令 y=p,y=p,有 xpp=xp=dx+C0)=xlnx +C0x,y=(xln x+C 0x)dx=x2+C2= lnx+C 1x2+C210 【正确答案】 【试题解析】 曲率半径=11 【正确答案】 ex【试题解析】 f(x)= f2(t)dt = f2(u)du令 f2(t)dt=a,于是 f(x)= f(u)du+a,f(x)=f(x),f

14、(0)=a,所以 f(x)=Cex,由 f(0)=a 得 f(x)=aex于是 a= (e21)解得 a=0(舍去),a= ex12 【正确答案】 e【试题解析】 由(1+ ,则所以应填e13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 11【试题解析】 因 ab=c6,故A= =6+abc=0,r(A)3又 A11=60,故 r(A)=2,r(A *)=1故 A*有特征值 1=2=0, 3=Aii=A11+A12+A33=6+3+2=11三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先由 得所以原式为“ ”型再由式(*) ,用等价无穷小替换,得16 【正确答案】

15、由 F(x)=x du,则=du当 0x1 时, u1,从而 f( )f(u) ,F(x)= f(u)du0;当 1x+时,0 u1,从而 f( )f(u),F(x)= du0又在 x=1 处 F(x)连续,所以 F(x)在区间(0,+)上严格单调增加 所以F(1)=0,且当 0x1 时,F(x) 0,曲线 y=F(x)是凸的;当 x1 时,F(x)0,曲线 y=F(x)是凹的所以点 (1,0)为曲线 y=F(x)上的唯一拐点,且凸区间为(0,1),凹区间为 (1,+)17 【正确答案】 当0x ,且 cosxsinx于是知I1I 2,即18 【正确答案】 (I) 所以斜渐近线方程为 y=2x

16、4 ()面积 A=h(x)dx显然 h(x)在(1, +)上无奇点,又 b 为常数,则当 x 足够大时,h(x)恒为正或恒为负故 A与 I= h(x)dx 的敛散性相同I= dx = (2b+15)ln(x+2)+lnx = lnt(t+2)2b+15(2b+15)ln3若 2b+15+10,即 b8,无论 b8还是 b8,均有 lnt(t+2)2b+15=,I 枯散即 A 的值为,与 A 为有限值矛盾当 b=8 时, lnt(t+2)2b+15= =0,此时面积 A= ln319 【正确答案】 z=z(x2y,x+3y), 代入原方程,得以下求 z 的一般表达式将上式写成 ,两边对 u 积分

17、,v 看成常数,得 z+1(u),其中 1(v)为 v 的具有连续导数的任意函数再将上式看成 z 对 v 的一阶线性微分方程,代入一阶线性微分方程的通解公式,得 Z=由于 1(v)的任意性,记 (v)=1(u)dv,它表示为 v 的具有二阶连续导数的任意函数,(u)为 u 的具有二阶连续导数的任意函数,于是得到 z=z(u,v)的一般表达式为 z=z(u,v)=(v)+(u)20 【正确答案】 D 是一块矩形域,如图所示21 【正确答案】 原方程化成两个微分方程 分别得到y=C1ex+C2ex + xex,x0 ,y=C 3ex+C4ex xe x,x0由 y(1)=0,y(1)=0,从第一个

18、表达式求得 C1= ,y= xex,x0又因为在 x=0处,y(x)及 y(x)连续,所以 解得 C3= ,所以 y= xex ,x0故满足初始条件的特解为22 【正确答案】 (I)已知 A=A(1+2+3)=11+22+33若 是 A 的特征向量,假设对应的特征值为 ,则有 A=(1+2+3)=11+22+33, 从而得( 1)1+( 2)2+( 3)3=0 1, 2, 3 是不同特征值对应的特征向量,由定理知1, 2, 3 线性无关,从而得 1=2=3=,这和 1, 2, 3 互不相同矛盾故=1+2+3 不是 A 的特征向量 ()用线性无关的定义证 假设存在数k1,k 2,k 3 使得 k

19、 1+k2A+k3A2=0 由 =1+2+3 及 Ai=ii,i=1 ,2,3,代入得 k1(1+2+3)+k2(11+22+33)+k3( )=0, 整理得 (k 1+k21+k3 )1+(k1+k22+k3 )2+(k1+k23+k3 )3=0 因 1, 2, 3 线性无关,上式成立当且仅当 又 i(i=1,2,3) 互不相同,故方程组(*)的系数矩阵的行列式=(3 2)(3 1)(2 1)0,故方程组(*)仅有零解,即 k1=k2=k3=0,所以 ,A,A 2 线性无关23 【正确答案】 (I)利用厂正定的定义证:f 正定,由定义,任给 X0,均有f=XTAX0取 X=(1,0 ,0) T0 则 XTAX=(1,0,0)=a110同理,取 X=(0,1,0)T0,X TAX=aii0,i=1,2,n得证 f 的平方项的系数均大于零()用 f 正定的充要条件证:f=X TAX 正定 存在可逆矩阵 C,使得 CTAC=EA=(C T)1 C1A= C 1 20或用反证法:若A0,则A = 12 n0,必有i0设 i 对应的特征向量为 i,则有 Ai=ii,左乘 ,得i0, i0)这和 f 是正定二次型矛盾,故A 0上述条件均不是 f 正定的充分条件,例 f= =(x1+x2)2,有 a11=a22=10,但 f(1,1)=0,f 不正定f= =10,显然 f 不正定

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