1、考研数学（数学二）模拟试卷 394 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (x)= (et21)dt ，(x)=x 4+x5，(x)= 当 x0 时，按照前面一个比后面一个为高阶无穷小的次序排列为 ( )（A），（B） ， （C） ， （D），2 曲线 y= 的渐近线 ( )（A）只有水平的与铅直的，无斜的（B）只有水平的与斜的，无铅直的（C）只有铅直的与斜的，无水平的（D）水平的、铅直的与斜的都有3 设 f(x)与 g(x)在 zx=a 处均为极大值又设 F(x)=f(x)g(x)，则 F(x)在 x=a 处 ( )（A）必为极大值（B）必为极小值
2、（C）必不是极值（D）不能确定是否为极值4 设 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点 (0，0)的某邻域内连续，则(0，0)=0 是 f(x，y)在点 (0，0)处可微的 ( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件5 设 f(x)=3u(x)2v(x) ，g(x)=2u(x)+3v(x)，并设 v(x)都不存在下列论断正确的是 ( )（A）若 f(x)不存在，则 g(x)必存在（B）若 f(x)不存在，则 g(x)必不存在（C）若 f(x)存在，则 g(x)必不存在（D）若 f(x)存在，则 g(x)必存在6 设 A，B
3、，C 为常数，则微分方程 y+2y+5y=ex cos2x 有特解形式( )（A）e x (A+Bcos2x+Csin2x)（B） ex (A+Bxcos2x+Cxsin2x)（C） ex (Ax+Bcos2x+Csin2x)（D）e x (Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)7 已知 n 维向量组 1， 2， 3， 4 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则向量组a1+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 4+b1 也是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是 ( )（A）a=b （B） ab（C） ab（D）ab8 设 A= ，则 A 合同于 ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设
4、 y=y(x)由方程 x= dt 所确定，则 =_10 f(x)= 在(-，+)内连续的充要条件是a=_，b=_11 设 y=y(x)是由 y3+(x+1)y+x2=0 及 y(0)=0 所确定，则=_12 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_13 设 f(lnx)=xlnx，则 f(n)(x)=_14 设 A 是 3 阶方阵，有 3 个特征值为 0，1，1，且不相似于对角矩阵，则r(E A)+r(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f(x)在 x=0 处连续，且 x0 时，f(x)= ，求曲线 y=f(x)在 x=
5、0 对应的点处的切线方程17 设 D=(x， y)x 2+y21，(x1) 2+y21求 d18 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线与曲线 y=ex 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D求 ()D 的面积 A； ()D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V19 求不定积分 ln(1+x2)dx20 设 z=f(x，y)，x=g(y， z)+ ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 21 已知 =2x+y+1， =x+2y+3，u(0，0)=1，求 u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值? 说明理由22 ()设 A= ，问 k 满足什么条件时，
6、kE+A 是正定矩阵；()A 是n 阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数 k，使得 kE+A 是正定矩阵23 设齐次线性方程组 Ax=0 为 (*)在方程组(*)的基础上增添一个方程 2x1+ax24x 3+bx4=0，得齐次线性方程组 Bx=0 为(*)() 求方程组(*)的基础解系和通解；( )问 a，b 满足什么条件时，方程组(*)和(*) 是同解方程组考研数学（数学二）模拟试卷 394 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 k=6 时，上述极限存在且不为零，故知 (x)与 x6 是同阶无穷小(x0) 故知 (x)与
7、 x4 是同阶无穷小(x0)当 k=3 时，上述极限存在且不为零，故知 (x)与 x3 是同阶无穷小(x0)故应选(A) 2 【正确答案】 D【试题解析】 =，所以有铅直渐近线 x=0；=0+0=0，所以有水平渐近线 y=0(沿 x+方向)；=0+1=1，=0，所以有斜渐近线 y=x3 【正确答案】 D【试题解析】 举反例排除(A)、(B)、(C) (A)的反例：取 f(x)=x 2，g(x)=x 2， x=0 均是 f(x)与 g(x)的极大值点，而 F(x)=f(x)g(x)=x4，x=0 是它的极小值点，不选(A) (B)的反例：取 f(x)=1x 2，g(x)=1x 2，x=0 均是
8、f(x)与 g(x)的极大值点，而 F(x)=f(x)g(x)=12x 2+x4，F(x)=4x+4x 3，F(x)=4+12x 2，F(0)=0，F(0)0，故 F(0)=1 为极大值不选(B) 由(A) 、(B)反例可见，x=0 可以是 F(x)的极值点，所以不选(C) ，只能选 (D)4 【正确答案】 C【试题解析】 先证充分性设 (0，0)=0，由于 (x，y)在点(0，0)处连续，所以(x，y)=0由于 故所以 f(0+x，0+ y)f(0 ，0)= xy(x， y) = 按可微定义，f(x，y)在点 O(0，0)处可微，且 df(x，y)=0.x+0. y，即 fx(0，0)=0，
9、f y(0，0)=0再证必要性设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0， 0)与 fy(0，0)必都存在 fx(0，0)= =(0，0)，其中 x0 +时，取“+” ，x0 时，取“” 由于 fx(0，0)存在，所以 (0，0)=(0，0)，从而 (0，0)=0证毕5 【正确答案】 C【试题解析】 u(x)= 证明(C)正确由于(C)的前提是 “ v(x)必定也都存在，矛盾所以(C) 正确6 【正确答案】 B【试题解析】 原方程可写成 y+2y+5y= ex cos2x特征方程是r2+2r+5=0，特征根 r1，2 =12i对应于自由项 ex 部分的一个特解形式为y1*=Aex 对应
10、于自由项 ex cos2x 部分的一个特解形式为y2*=xex (Bcos2x+Csin2x)所以原方程的一个特解形式为y1*+y2*=ex (A+Bxcos2x+Cxsin2x)故应选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 向量组()a 1+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 4+b1 均是 Ax=0 的解，且共 4 个，故该向量组是 Ax=0 的基础解系 该向量组线性无关因(a1+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 4+b1)=(1， 2， 3， 4) ，且1， 2， 3， 4 线性无关，则 a1+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 4+b1 线性无关ab故应选(D)(B)、(C)是
11、充分条件，并非必要，(A)既非充分又非必要，均应排除8 【正确答案】 C【试题解析】 写出 A 对应的二次型，并用配方法化成标准形 f(x1，x 2，x 3)=，知 f 的秩为 2，正惯性指数为 1(负惯性指数也为 1)，这可排除选项(A) 、(B)选项 (C)的二次型为(x 2x 3)2，正负惯性指数和题干中二次型一致而选项(D) 中二次型为 正惯性指数为 2故应选(C)二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 由 x= dt，将 x=0 代入，有 y=1再将所给方程两边对x 求导，得 1=sin2 (yx)+1 ，y=2csc 2(y1)将 x=0，y=1 代入，得y x=0=3，y x
12、=0=2 10 【正确答案】 0；1【试题解析】 应写出 f(x)的分段表达式在 x=1 处，f(x)=1，所以在 x=1 处连续的充要条件是1=a+b= (1+a+b)在 x=1 处， f(x)=a b，所以在 x=1 处连续的充要条件是1=ab= (1+a b)所以解得 a=0，b=1 11 【正确答案】 【试题解析】 此未定式为“ ”型求导中要用到 y(0)，y(0)等等，先求出备用由 y3+(x+1)y+x2=0，有 3y2y+(x+1)y+y+2x=0以 y(0)=0 代入，得 0+y(0)=0，有 y(0)=0再求导，6y(y) 2+3y2y+y+(x+1)y+y+2=0以 y(0
13、)=0，y(0)=0代入，有 0+0+0+y+0+2=0，y(0)= 212 【正确答案】 x=【试题解析】 将方程改写为 ，此为 x 对 y 的一阶线性方程，代入通解公式，得 再由初始条件 y(1)=2，得C=5，所以 x=13 【正确答案】 e x(x+n1)【试题解析】 由 f(lnx)=xlnx，则 f(x)=xex由莱布尼茨高阶导数乘法公式，有 f(n)(x)=(xex)(n1) =exx+ ex(x)+0=ex(x+n1)14 【正确答案】 4【试题解析】 因 =0 是单根，所以对应的线性无关特征向量有且只有一个，即Ax=0 的基础解系只有一个非零解故 r(A)=2因 =1 是二重
14、根，又 A 不相似于对角矩阵，故对应线性无关特征向量个数也只有一个，即1=3r(EA) ，即 r(EA)=3 1=2 因此 r(A)+r(EA)=4三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由拉格朗日中值定理：tan(tanx)tan(sinx)=sec 2.(tanxsinx)，其中 sinx tanx， sec2=sec20=1于是16 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0)=e2切线方程为ye 2=2e 2(x0)，即 y=2e 2x+e217 【正确答案】 用极坐标，如图，点 A 对应的 =arctan由于 D 关于 x 轴对称， 为
15、y 的奇函数，18 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex在点 P 的切线斜率为 y0=ex0，切线方程为 yy 0=ex0(xx 0)它经过点(0，0)，所以y 0= x0ex0又因 y0=ex0，代入求得 x0=1，从而 y0=ex0=e，切线方程为 y=ex()取水平条面积元素，则 D 的面积(积分 ln ydy 为反常积分， yln y=0 根据洛必达法则得到 )()D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为 dV1=(1lny) 2(1 )2dy，从而 V 1= dy =(yln2y4ylny4y e19 【正确答案】 由 ，有其中 C 为任意常
16、数20 【正确答案】 复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，利用微分形式不变性解题比较方便，由 z=f(x，y)，有 dz= dy由 z=g(y，z)+( )有 dx=解得 dy= 代入第一式 dz 表达式中再解出 ，得 这里设分母不为 021 【正确答案】 由 =2x+y+1，有 u(x，y)=x 2+xy+x+(y)再由 =x+2y+3 有x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2+3y+C于是 u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C再由 u(0，0)=1 得 C=1，从而 u(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1令=20，所以 u为极小值22 【正确答案】 (
17、) 由EA= =(3) 2 知 A 有特征值 1=0， 2=3=3，则 kE+A 有特征值k，k+3 ，k+3，kE+A 正定 k0 =(k+2)210 k1 或k3 =k(k+3)20 k0综上，k0()设 A 有特征值 1， 2， n，且 12 n，则kE+A 有特征值 k+1，k+ n，且 k+1k+2k+ n存在 k 是大于零的实数，使得 kE+A 的特征值全部大于零，kE+A 正定23 【正确答案】 ()A=得方程组(*)的基础解系为( 3，5，1，0) T，通解为 k(3，5，1，0) T，k 是任意常数()方程组(*)、(*)是同解方程组 方程组(*)的通解满足方程组(*) 的第 4 个方程将通解代入，得 2(3k)+a(5k)4k+0=0，即5ak=10k又 k 是任意常数，得 a=2故当 a=2，b 任意时，方程组(*)、(*)同解
