1、考研数学（数学二）模拟试卷 395 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)=cosx+(2x 3) 3+ (x1)在区间( ， )上零点个数为( )（A）正好 1 个（B）正好 2 个（C）正好 3 个（D）多于 3 个2 设 F(x，y)= ，其中 xy，且 xy0又设 f(x)= 则 x=0 为f(x)的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点3 f(x)在 x=a 处可导是 f(x)在 x=a 处可导的 ( )（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）既非充分又非必要条件（D）充分必要条件4 由方
2、程 2y32y 2+2xy+yx 2=0 确定的函数 y=y(x) ( )（A）没有驻点（B）有驻点但不是极值点（C）驻点为极小值点（D）驻点为极大值点5 dx= ( )（A） (e21)（B） (e2+1)（C） (e2 1)（D） (e2+1)6 设 p(x)、q(x)、f(x)均是关于 x 的已知连续函数，y 1(x)、y 2(x)、y 3(x)是 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解， C1、C 2 是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是 ( )（A）C 1y1+(C2C 1)y2+(1C 2)y3（B） (C1C 2)y1+(C21)y 2+(1C
3、 1)y3（C） (C1+C2)y1+(C1C 2)y2+(1C 1)y3（D）C 1y1+C2y2+(1C 1C 2)y37 设 1=(1，2，3，2) T， 2=(2，0，5，2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量的是 ( )（A） 1=(1， 3，3，3) T（B） 2=(0，0，5，2) T（C） 3=(1，6，1，10) T（D） 4=(1， 6，1，0) T8 设 A 是 3 阶矩阵，Ax=0 有通解 k11+k22，A 3=3，则存在可逆矩阵 P，使得P1 AP= ，其中 P 是 ( )（A）( 1， 2， 1+3)（B
4、） (2， 3， 1)（C） (1+2， 2，2 3)（D）( 1+2， 2 3， 3)二、填空题9 设 y=y(x)是由 所确定的函数，则 =_10 微分方程 x 满足初始条件 y(1)=1 的特解是 y=_11 心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长为_12 设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 f(xy， )=y2(x21)，则 dz=_13 设 G(x)=ex 2， G(x)=0，则 t2G(t)dt=_14 设 A、B 均是 3 阶矩阵，其中A=2，B=3，A *、B *分别是矩阵 A、B的伴随矩阵，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)具
5、有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f(0)0在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距记为 u，求16 设 a 为正常数， f(x)=xeaae xx+a 证明：当 xa 时，f(x)017 已知抛物线 y=ax2+bx+c，在其上的点 P(1，2)处的曲率圆的方程为求常数 a，b，c 的值18 设微分方程及初始条件为 ()求满足上述微分方程及初始条件的特解；()是否存在那种常数 y1，使对应的解 y=y(x)存在斜渐近线，请求出此 y1 及相应的斜渐近线方程19 设 f(x，y)=maxx ，y，D=(x，y)0x1，0y1求 f(x，y
6、)yx2d20 求函数 u= 在约束条件 下的最大值与最小值21 求微分方程 y =y4 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解22 设 1= ，问 a，b，c 为何值时，向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 是等价向量组，向量组等价时，求 1 由1， 2， 3 线性表出的表出式及 1 由 1， 2， 3 线性表出的表出式23 设 A= ，求( )A 的特征值，特征向量； ()正交矩阵 Q，使得 QTAQ=Q1 AQ=A，其中 A 是对角矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 395 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
7、易知 f(1)=0， f 0所以 f(x)在(，+)上至少有 3 个零点又因 f(x)=sinx+6(2x3) 2+ ，f(x)= 2cosx+24(2x3)， (x)= 3sinx+480所以 f(x)在区间( ，+)上至多有 3 个零点结合以上两项知，f(x)在(，+) 上正好有 3 个零点2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，f(x)= 所以 x=0 为f(x)= 的无穷间断点3 【正确答案】 C【试题解析】 举例说明既非充分又非必要条件例如设 f(x)=1 在 x=a 处可导，但 f(x)在 x=a 处不连续，不可导又如，设 f(x)=xa，在 x=a 处 f(x)可导，f(
8、x)=1但f(x)= xa在 x=a处形成尖点，f(x)在 x=a 处不可导4 【正确答案】 C【试题解析】 将所给方程两边对 x 求导数，y 看成由此式确定的 x 的函数，有6y2y4yy+2y+2xy+y2x=0，(6y 24y+2x+1)y+2(yx)=0先考虑驻点，令y=0，得 y=x，再与原方程联立： 得 2x32x 2+2x2+xx 2=0，即 x(2x2x+1)=0 由于 2x2x+1=0 无实根，故得唯一实根 x=0，相应地有 y=0在此点有 y=0不选(A) 再看此点是否为极值点，求二阶导数，由 以x=0，y=0，y=0 代入，得 y=20，所以该驻点为极小值点，选(C)5
9、【正确答案】 A【试题解析】 由积分上、下限知，积分区域 D=D1D2=(x，y)0x1，0y1(x， y)lnyx1，1ye)=(x ，y)0ye x，0x1原式= dy而 dy 可看成半径为 ex 的 圆面积，为 (ex)2所以原式= (e21)6 【正确答案】 B【试题解析】 将(B)改写为 C1(y1y 3)+C2(y2y 1)+(y3y 2)因为 y1、y 2、y 3 均是y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，所以 y1y 3、y 2y 1 是 y+p(x)y+q(x)y=0 的解，并且y1y 3、y 2y 1 线性无关事实上，若它们线性相关，则存在不全为零的 k1 与 k2，使
10、得 k1(y1y 3)+k2(y2y 1)=0，即 k 1y3+k2y2+(k1k 2)y1=0 由于题设 y1、y 2、y 3线性无关，故 k1=0，k 2=0，k 1k 2=0 与 k1，k 2 不全为零矛盾于是推知C1(y1 y3)+C2(y3y 1)为对应的齐次方程的通解，而 y3y 2 也是对应齐次方程的一个解，它包含于 C1(y1y 3)+C2(y2y 1)之中，所以 C1(y1y 3)+C2(y2y 1)+(y3y 2)，即(B)也是该非齐次方程对应的齐次方程的通解故应选(B)7 【正确答案】 C【试题解析】 Ax=0 的基础解系为 1， 2，若 i 是 Ax=0 的解向量 i
11、可由 1， 2线性表出 非齐次线性方程组 1x1+2x2=i 有解逐个 i 判别较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便显然因 r(1， 2)=r(1， 2， 3)=2， 1x1 +2x2=3 有解，故 3 是 Ax=0 的解向量故应选(C)而 r(1， 2)=2r(1， 2， i)=3，i=1，2，4，故 1， 2， i 不是 Ax=0 的解向量8 【正确答案】 C【试题解析】 1， 2 是 A 的对应于特征值 1=0 的线性无关的特征向量， 3 是 A 的对应于特征值 2=1 的特征向量，且注意下列概念： A 的同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合。如 =0 对应的特征向量是 1，
12、2，则 k11+k22 为非零向量时，仍是 A 的对应于该特征值的特征向量=1 对应的特征向量是 3，则 k3 仍是 =1 对应的特征向量，k 为任意非零常数 对不同特征值 12，则对应的特征向量的线性组合，如 1+3， 2 3 等不再是 A 的特征向量 P 中的特征向量排列次序应与对角阵中 的排列次序一致 由上述三条知应选 (C)，因(C)中，1+2， 2 仍是对应于特征值 =0 的特征向量，2 3 仍是对应于特征值 =1 的特征向量，且与对角矩阵中特征值的排列次序一致故应选(C) (A) 中 1+3 不是特征向量，(B) 中 3， 1 对应的特征值的排列次序不一致， (D)中 2 3 不是
13、特征向量，故都是错误的二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 将 t=0 代入，得 x=3，y=1，10 【正确答案】 xe 1x【试题解析】 此为一阶齐次方程令 y=ux，有 ，原方程化为u+x =ulnu，u x1 =1得 lnlnu 1=ln C 1x，去掉对数记号及绝对值号，得 lnu=C1x+1，u=e C1x+1，将 u x=1=1 代入，得 C1=1，u=e 1x ，原方程的解为y=xe1x 11 【正确答案】 8a【试题解析】 弧长=2 =2ad=8a12 【正确答案】 (2xy)dxxdy【试题解析】 设 xy=u， =v，有 x2= ，y 2=uvf(u ，v)=uv(
14、1)=u 2uv，即z=f(x，y)=x 2xy所以 dz=(2xy)dxxdy13 【正确答案】 【试题解析】 中括号内，前一项应用洛必达法则，得 后一项化为：所以原式=14 【正确答案】 【试题解析】 A *=AA 1 ，则A *=A 3 A 1 =A 2，同理，B * =B 2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 f(0)=0 及 f(0)0，故当 x0 时，f(x)0过点(x，f(x)(x0)的切线方程为 Yf(x)=f(x)(Xx)令 Y=0，得截距 u=x 从而16 【正确答案】 f(a)=0，f(x)=e aae x1，f(x)=ae x0以
15、下证明 f(a)0令(a)=f(a)=eaae a1，(a) a=0=0(a)=ae a0，所以 (a)0(a0)，即 f(a)0(a 0)将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开：f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ f()(xa) 20(x a0)证毕17 【正确答案】 曲线 L：y=ax 2+bx+C 经过点 P(1，2)，从而 2=a+b+c曲率圆(x 在点 P 处的切线的斜率为 与 L 在此点的切线斜率相等故 y (1，2) =(2ax+b) (1，2) =2a+b=1又 L 在点 P 处曲率应与曲率圆的曲率相等，即 所以a= 4=2，b=12a= 3，c=2 a b=318
16、【正确答案】 () 改写所给方程为 y(2x )y=x2，由通解公式得通解由初始条件 y(1)=y1，得C=(y1+1)e1 ，得初值问题的特解为 ()若 y11，则=，无斜渐近线若 y1=1，则故此时有斜渐近线 y=19 【正确答案】 如图所示，曲线 y=x 和 y=x2 将 D 划分成三块：D 1D2D3，20 【正确答案】 求函数 u= 在约束条件 下的最大值与最小值，等价于求函数 v=x2+y2+z2 在同样的约束条件下的最大值与最小值令F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2z)+(x+y+z 4)，由=0 得 2x+2x+=0， 2y+2y+=0 ， 2z+=0， x
17、2+y2 z=0， x+y+z4=0 解得(+1)(xy)=0若=1，可得 =0，z= ，与式矛盾故只能推得 x=y再由、两式，得(x1，y 1，z 1)=(1，1，2)或(x 2，y 2，z 2)=(2，2，8)由约束条件 x2+y2z=0 及x+y+z4=0 可见，(x，y，z)只能在有限范围内变动，可见 u= 在此范围内必存在最小值与最大值所以 minu=21 【正确答案】 此为 y=f(y，y)型令 p= ，原方程化为p 2=y4，即 p2=2y3解得 p2= dy+C1)=y2(y2+C1)当 x=0时，y=1 ，y=1代入得 1=1(1+C1)，所以 C1=0于是得 p2=y4，故
18、 p=y2(因 y=1 时，y=1，取正号)于是有 =p=y2再分离变量积分得 =x+C2将 x=0 时，y=1 代入得 C2=1从而得解22 【正确答案】 将( 1， 2， 3 1， 2， 3)作初等行变换，有向量组(1， 2， 3)(1， 2， 3) r(A)=r(B)故应取 a=1，b=2，c=2当 a=1，b=2 ，c= 2 时，从而有( 1， 2， 3)(1， 2， 3)求 1 由 1， 2， 3 线性表出的表出式，即解方程组 得通解为 l(4，1，2) T+(1，0，0) T，即 1=(4l+1) 1+l2+2l3，其中 l 是任意常数求 1 由 1， 2， 3 线性表出的表出式，
19、即解方程组得通解为 k(1，1，1) T+(1，0，0) T，即 1=(k+1)1 k2+k3，其中 k 是任意常数23 【正确答案】 () 由特征方程，得即 A 的特征值为1=2， 2=2(三重根)当 1=2 时，(2EA)x=0 ，即=0(每行元素之和为 0)，得 1= (只有一个线性无关特征向量)当 2=2 时，(2EA)x=0 ，即 =0同解方程为 x1+x2+x3+x4=0，对应特征向量 (取正交特征向量)为 2=(1，1，0，0)T， 3=(1，1，2，0) T， 4=(1，1，1，3) T 当有解 2 后，求 3 时， 3 与 2 正交，且又满足方程，当有解 2， 3，求 4 时，令 4 和 2， 3 正交，且满足方程()将 1， 2， 3， 4 单位化，合并成正交矩阵得则 Q TAQ=Q1 AQ=A
