1、考研数学（数学二）模拟试卷 396 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设 则必有 ( )（A）f(0)=1（B） f(0)=2（C） (0)=3（D）f (4)(0)=42 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 ，又设在该邻域内存在二阶导数，且满足 x2f(x)f(x) 2=xg(x)，则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值（D）f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定3 设 f(x，y)= 则 f(x，y)
2、在点 0(0，0)处 ( )（A）两个偏导数均存在，且函数连续（B）两个偏导数均存在，函数不连续（C）两个偏导数均不存在，函数连续（D）两个偏导数均不存在，函数也不连续4 设 f(x)在区间(-，+) 上连续且严格单调增加，又设则 (x)在区间(，+)上 ( )（A）严格单调减少（B）严格单调增加（C）存在极大值点（D）存在极小值点5 min1，t 2dt= ( )（A）（B）（C）（D）6 设 D=(x， y)(x1)+(y1) 22)，则 (xy)d= ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）87 设 A 是 43 矩阵，B 是 34 非零矩阵，满足 AB=O，其中A= ，则必有 ( )（
3、A）当 t=3 时，r(B)=1（B）当 t3 时，r(B)=1 （C）当 t=3 时，r(B)=2（D）当 t3 时，r(B)=2 8 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则线性方程组 ABx=0 和 Bx=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(B)=n （B） r(B)=s（C） r(A)=s（D）r(A)=m二、填空题9 设 f(x)= 则 ff(x)=_10 xsin8xdx=_11 设 un= un=_12 设 z=(1+x2y)xy2，则 x =_13 微分方程 y3y+2y=xe x 的通解为 y=_14 设 A= 是可逆矩阵，且 A1 = ，若 C=，则 C
4、1 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设平面区域 D 是由参数方程 0t2 给出的曲线与 x 轴围成的区域，求二重积分 y2d，其中常数 a016 设 y=f(x)= ()讨论函数 f(x)的奇偶性，单调性，极值；()讨论曲线 y=f(x)的凹凸性，拐点，渐近线，并根据以上()、()的讨论结果，画出函数 y=f(x)的大致图形17 设 f(x)在0，1上可导，且满足 f(1)=4 x3f(x)dx试证明：存在 (0，1)，使f()= 18 适当选取函数 (x)，作变量代换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程y=0 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方
5、程+u=0求 (x)及 ，并求原方程的通解19 设 f(x，y)=max ，1 ，D=(x，y)xy1求 f(x，y)d20 求由方程 2x2+2y2+z2+8xzz+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值21 ()设圆盘的半径为 R，厚为 h点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量 m；()将以曲线 y= ，x=1，x=4 及 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体记为 V，设 V 的点密度为该点到旋转轴的距离的平方，求该物体的质量 M22 已知 是 Ax=b 的一个特解， 1， 2， nr 是对应齐次方程组 Ax=0 的基础解系证明： ()，+ 1，+
6、 2，+ nr 是 Ax=b 的 nr+1 个线性无关解； ()方程组 Ax=b 的任一解均可由 ，+ 1，+ nr 线性表出23 设 3 阶矩阵 A= ()t 为何值时，矩阵 A，B 等价?说明理由；()t 为何值时，矩阵 A，C 相似?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 396 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用佩哑诺泰勒公式先考虑分母，tanxsinx=x3(x0)将分子 f(x)在 x0=0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至 n=3，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ (0)x3+o(x3)代入极限式，得所以 f(
7、0)=0，f(0)=0， f(0)=0， (0)=3故应选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0时，g(x)=x. 由于 g(x)在 x=0 处连续，g(0)=0f(0) 2=02f(0)0g(0)=0，即 f(0)=0所以f(0) 2f(0)+ =0， f(0) 2=0，f(0)= 0，所以 f(0)为 f(x)的一个极小值3 【正确答案】 A【试题解析】 =0，同理 (0，0)=0 f(x，y)f(0，0)= 0(x ，y)(0，0)，由夹逼定理知f(x， y)=f(0，0)，故 f(x，y)在点 O(0，0)处连续4 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=f(a)=(a)，所
8、以 (x)在(， +)上连续当 xa时，(x)= 令上式分子为 (x)=(xa)f(x) f(t)dt =(xa)f(x) (x a)f() =(xa)f(x)f() ，其中，当 ax 时，ax，从而 f()f(x) ，(x) 0；当 ax 时，ax，从而 f()f(x)，(x)0，所以不论 ax 还是 ax，总有 (x)0所以当 xa时，(x)0从而可知在区间(，a)与(a，+)上 (x)均严格单调增加以下证明在区间(， +)上 (z)也是严格单调增加事实上，设 x2(a，+)，则 (x2)(a)=f(a)=f( 2)f(a) 0，其中 a 2x 2+，此 2 可取在开区间(a，x 2)内同
9、理，设 x1(，a)，则有 (a)(x 1)=f(a)f( 1)0，其中x 1 1a合并以上两个不等式，有 (x2)(x 1)05 【正确答案】 B【试题解析】 将 min1，t 2写成分段函数：min1，t 2= 当x1 时， 当一 1x1时，当 x1 时，故应选(B)6 【正确答案】 A【试题解析】 用极坐标，D 的边界曲线 x2+y22(x+y)=0 化为极坐标为r=2(cos+sin)，7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 AB=O，知 r(A)+r(B)3(3是 A 的列数或 B 的行数) 又 B 是非零矩阵，有 r(B)1，从而有 1r(B)3r(A) 又当 t=3 时，r(A
10、)=1，有 1r(B)2r(B)=1 或 r(B)=2，故(A)、(C)不成立当 t3时，r(A)=2，有 1r(B)1，即 r(B)=1故应选 (B)8 【正确答案】 C【试题解析】 若 x00，使得 Bx0=0两边左乘 A，得 ABx0=0；反之，若 x00，使得 ABx0=0，且 r(A)=s(A 的列向量线性无关)，则由 ABx0=0 Bx0=0故 r(A)=s BX=0 和 ABx=0 是同解方程组故应选(C)二、填空题9 【正确答案】 ff(x)=【试题解析】 由 f(x)的表达式，有 最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4 式中 1 与 x1 的交集为空集最后化简得如答案所示
11、10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 ln2【试题解析】 另一方面，由夹逼定理得，12 【正确答案】 3xy 2(1+x2y)xy2ln(1+x2y)【试题解析】 z=(1+x 2y)xy2=exy2ln(1+x2y)， 所以x =(1+x2y)xy23xy 2ln(1+x2y)13 【正确答案】 C 1ex+C2e2x( x2+x)ex，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应的齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e2x设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)ex，代入方程，得 y*=( x2x)e x，所以通解为 C1ex+C2e2x( x2+x)ex14 【正确
12、答案】 【试题解析】 C 是由 A 经初等变换得到的，经观察，A 的 1，2 行互换后，再将第3 列加到第 1 列得到 C，即 C=E12AE13(1)，故 C1 =E12AE13(1)1 = =E13(1)A 1 E12三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先对 y 后对 x 积分，摆线纵坐标记为 y(x)，于是y3(x)dx，上式中的 y=y(x)通过参数式联系着对上式作积分变量代换 x=a(tsint)，从而 y(x)成为 t 的函数 y(x)=a(1cost) ，于是 16 【正确答案】 () 因为二次式 x2x+1 的判别式(1) 24= 30，所以x
13、2x+10， f(x)的定义域为 (，+)又 f(x)= f(x)，所以 f(x)为奇函数当 0x 时，f(x)0当 x 时，f(x)的分子中两项记为 a，b，a0，b0，考虑 a2b 2=(2x1)=6x0，故 0ab所以当 x 时，仍有 f(x)0，从而当 0x+ 时，f(x)0又 f(x)为奇函数，故当x0 时，f(x)0所以当 x(， +)时，均有 f(x)0，即 f(x)在(，+)上严格单调减少，f(x)无极值() f(0)=0所以当x0 时，曲线 y=f(x)是凸的，当 0x+时，曲线是凹的点(0，f(0)为拐点易知无铅直渐近线考虑水平渐近线：所以沿 x+方向有水平渐近线y=1由于
14、 f(x)为奇函数，所以沿 x方向有一条水平渐近线 y=1画图如下：17 【正确答案】 由积分中值定理，存在 0， x3f(x)dx=3f()令F(x)=x3f(x)，因为 f(1) x3f(x)dx=0，故有 f(1)=3f()，即 F(1)=F()显然 F(x)在0，1上可导，由罗尔中值定理得，存在 (，1) 6(0，1)，使得 F()=0，即32f()+3f()=0，即 f()= 故命题得证18 【正确答案】 由 y=(x)u，有代入原方程，得 (x)(x)u=0取 (x)使 2(x)+x(x)=0解微分方程 dx，取 (x)= 经计算可知 =(x)+x(x)+(x)=0于是原方程经变换
15、 y= =0解之得 u=C1+C2x，故原方程的通解为 y=(C1+C2x) ，其中 C1，C 2 为任意常数19 【正确答案】 如图所示，将 D 分成三块，中间一块记为 D3，左、右两块分别记为 D1 与 D2，则而所以原式=20 【正确答案】 令 F(x，y)=2x 2+2y2+z2+8xzz+8，且令解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x2+2y2+z2+8xzz+8=0 联立，解得两组解为(x，y，z)=(2，0，1)；(x，y，z) 2=( )再求二阶偏导数并以两组解分别代入，得 所以在第一组点处，B2AC0， A= 0，故 z=1 为极小值；在第二组点处，B 2AC0，A=为极大
16、值21 【正确答案】 ()以环细分圆盘，设环的宽度为 dr,内半径为 r，在环上点密度视为不变，为 r2，质量元素为 dm=r2.2rdr.h于是该圆盘的质量为 m=2h hR4()该旋转体可看成由一个个薄片组成，由()，每一薄片的质量 dM= R4dx，其中 R 为 x 处的旋转半径，即 y，于是质量元素为 dM= x2dx，所以物体的质量为 M=22 【正确答案】 ()A(+ i)=A=b，i=0，1，2，nr(其中 0=0)， 故+i， i=0，1，2，nr 均是 Ax=b 的解向量 设有数 k0，k 1，k 2，k nr ，使得 k 0+k1(+1)+k2(+2)+knr (+nr )
17、=0 (*) (*)式左乘 A，得 k0A+k1A(+1)+k2A(+2)+knr A(+nr )=0， 整理得 (k 0+k1+knr )b=0，其中 b0 故 k 0+k1+knr =0， (*) 代入(*) 式，得 k 11+k22+knr nr =0 因1， 2， nr 是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得ki=0， i=1，2，nr 代入 (*)式， 得 k0=0从而有，+ 1，+ 2，+ nr 是 Ax=b 的 nr+1 个线性无关解向量 ()设 *为Ax=b 的任一解，则 *=+11+22+ nr nr ， 且 *=+11+22+ nr nr =+1(1+ )+2(2+)+
18、nr (nr +) =(1 1 2 nr )+1(1+)+2(2+)+ nr (nr +)， 故任一个 Ax=b 的解 *，均可由向量组，+ 1，+ 2，+ nr 线性表出23 【正确答案】 ()A B r(A)=r(B)B=，知 r(B)=2显然，当 t=0 时，有 r(A)=r(B)=2，A B( )EC= =(2)(2) 21=( 2)(3)(1) ，则 C 有三个不同的特征值 1=1， 2=2， 3=3，且存在可逆矩阵 P，使得 P1 CP=A= E A= =(t)(2) 21 =(t)(3)(1) 当 t=2 时，A 有与 C 一样的三个不同的特征值故知，当 t=2时，有可逆矩阵 Q，使得 Q 1 AQ=A=P1 CP从而有 (QP1 )1 A(QP1 )=C，即AC
